【自动机dp建图优化+矩阵乘法】CF506E Mr. Kitayuta's Gift

【题目】
原题地址
题目大意：字符集大小为小写字母，给定一个字符串$s$，你可以在$s$中的任意位置添加一共$m$个字符。问最后得到的字符串是回文串的方案数（方案不同当且仅当最终得到的回文串不同）。

【题目分析】
这题$m$很大，我们可以显然发现这是一个矩阵快速幂，但是这样做的复杂度爆炸，需要用一些巧妙的方法来优化。

【题目分析】
以下设$|s|=n$，图片均来自官方题解。
题意其实要求的就是一个回文串中有s这个子序列的方案数。
因为回文串左边确定了，右边也一定确定了，那么当只确定一部分字符时，匹配的$s$串一定是一段前缀加一段后缀。
我们设$f[i][l][r]$表示已经确定了前$i$个字符，左边和$s$前缀匹配到l，右边和$s$的后缀匹配到$r$的方案数。
那么$f[i][l][r]$可能可以转移到：
$f[i+1][l+1][r]$，$f[i+1][l][r-1]$，$f[i+1][l+1][r-1]$这些边权值都为1，代表字符唯一确定，即分别表示新字符匹配左边/右边/两边都匹配。
还可能存在自环，即转移到$f[i+1][l][r]$，此时可能存在边权为24或25的自环（前者是两端字符不同，后者是相同）。
最后还有终点的自环，边权为26（因为可以随意匹配）
答案就是在这个图上走$\frac {n+m} 2$步能到终点的方案数。图长得和下面差不多。

但直接做矩阵快速幂，状态数是$n^2$的，显然过不了。

发现这个图是一个DAG，每一条从起点到终点的路径都可以抽出来，当作一个单独的自动机做快速幂，对其他路径没有影响。这样状态数是$n$，但还要乘上链数，复杂度是$n^4*logm$，仍然过不了。

接下来想优化这个做法需要发现一些性质。

我们记一条链有24自环的节点有$n24$个，有25自环的节点有$n25$个，可以发现$n24+2*n25=n$或$n+1$（因为可能字符串长度为奇数）,也就是说对于一个确定的$n24$，一定有一个确定的$n25$

现在考虑这每一条链，实际上自环顺序对答案没有影响，那么现在实际上我们要求的就是将除了链长外的步数分给24/25/26，的所有方案，看起来可以用数学方法来做，然而很不可做。

每一条链看起来十分相似，那么我们有没有什么办法能将他们通过特殊的方法合并起来呢？
这里要用一个技巧来合并这$n$条链的状态。

我们构建一个自动机$start->24->24->24->\dots ->24->25->25->25$，然后每个25后面再接上一个$end$，每个$end$有一个26的自环。
我们发现，这样每一条链都可以由这个自动机上的某一段表示出来。这个自动机只有$2n$个节点，且转移矩阵是唯一确定的。

那么我们可以计算出这个矩阵的$m$次幂，并构造一个矩阵使得可以表示出从每个24出发的方案（实际上就是某些格子为1），算出从这里所有$end$的答案。
这样子的复杂度仍然有$n^3*logm$，超了一点。但是我们发现，最后构造出的自动机相当于一颗树，因此转移矩阵的左下角一定都是0，因此for (i=1 to n) (j=i to n) (k=i to j) 就行了。
当然还有一些细节比如说字符串长度是奇数偶数这种。
需要去除一些算重的情况，这里不多说了，有点复杂233（主要是懒）。

据说还有$n^3+log$的做法，但是CF官方题解也没说，只是将代码贴了出来，于是我也不打算去看qwq。

【参考代码】

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=405,mod=1e4+7;
int n,m,len,ans,sum;
char s[N];
int f[N>>1][N>>1][N>>1];

struct Matrix
{
    int a[N][N];
    Matrix(){memset(a,0,sizeof(a));}
    void init(){for(int i=1;i<=len;++i) a[i][i]=1;}
}mat,tmp;

Matrix mult(Matrix A,Matrix B)
{
    Matrix ret;
    for(int i=1;i<=len;++i)
        for(int j=i;j<=len;++j)
        {
            ret.a[i][j]=0;
            for(int k=i;k<=j;++k) (ret.a[i][j]+=A.a[i][k]*B.a[k][j])%=mod;
        }
    return ret;
}

Matrix qpow(Matrix A,int y)
{
    Matrix ret;ret.init();
    for(;y;y>>=1,A=mult(A,A)) if(y&1) ret=mult(ret,A);
    return ret;
}

int calc(int x,int l,int r)
{
    if(~f[x][l][r]) return f[x][l][r];
    f[x][l][r]=0;
    if(l==r) return f[x][l][r]=(x==0);
    if(s[l]==s[r]) return (l+1==r?(f[x][l][r]=(x==0)):(f[x][l][r]=calc(x,l+1,r-1)));
    if(x>0) return f[x][l][r]=(calc(x-1,l+1,r)+calc(x-1,l,r-1))%mod;
    return f[x][l][r];
}

int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("CF506E.in","r",stdin);
    freopen("CF506E.out","w",stdout);
#endif
    scanf("%s%d",s+1,&m);n=strlen(s+1);m+=n;memset(f,-1,sizeof(f));
    int pw=(m+1)>>1,n24=n-1,n25=(n+1)>>1,n26=n25;
    len=n24+n25+n26;
    for(int i=1;i<=n24;++i) mat.a[i][i]=24,mat.a[i][i+1]=1;
    for(int i=n24+1;i<=n24+n25;++i) mat.a[i][i]=25,mat.a[i][i+n25]=mat.a[i-1][i]=1;
    for(int i=n24+n25+1;i<=n24+n25+n26;++i) mat.a[i][i]=26;
    tmp=qpow(mat,pw-1);mat=mult(tmp,mat);
    for(int i=0;i<=n24;++i)
    {
        int j=(n-i+1)>>1,k=pw-i-j;
        if(k<0) continue;
        sum=calc(i,1,n)%mod;
        (ans+=sum*mat.a[n24-i+1][n24+n25+j])%=mod;
        if((m&1) && (n-i&1^1)) ((ans-=sum*tmp.a[n24-i+1][n24+j]%mod)+=mod)%=mod;
    }
    printf("%d\n",ans);

    return 0;
}

【总结】
十分可怕的一题，这题dp优化的意义很大，自动机合并的新套路get。