[学习笔记]数学归纳法

数学归纳法

一.什么是数学归纳

​ 数学归纳是一种对于已有结论（比如说什么瞎猜的结论）的证明方法。

二.如何数学归纳

1.第一归纳法

​ 对于任意关于自然数的命题\(P(n)\)，若\(P(0)=true\;,\;P(n)\Rightarrow P(n+1)\),则该命题对于所有自然数成立。

​ 例：试证明
\[ \Sigma_{i=1}^{n}\;i^3=[\frac{n(n+1)}{2}]^2 \]
​ 证：很显然，对于i=1,上式成立。
\[ \begin{align} &对于k>1\\ &[\frac{(k+1)(k+2)}{2}]^2-[\frac{k(k+1)}{2}]^2=(k+1)^3\\ &\because P(1)=true\\ &\therefore 成立 \end{align} \]

2.第二归纳法

​ 对于对任意关于自然数的命题P(n)，若\(\bigcap_{k=1}^{k<n}P(k)\;\Rightarrow P(n)\),则该命题对任意非负整数n成立

​ 例：对于一个正整数n(n>1)，可将它分为a+b.(1<=a,b,a,b为整数),此时得到的分值为a*b.

​ 试证明：
\[ 将整数n分尽所得的分值为\frac{(n-1)n}{2} \]
​ 证：
\[ \begin{align} &\because\bigcap_{i=1}^{n-1}P(i)=\frac{(i-1)i}{2}\\ \therefore P(n)&=P(a)+P(b)+a*b\\ &=\frac{(a-1)a+(b-1)b+2ab}{2}\\ &=\frac{(a+b)^2-(a+b)}{2}\\ &=\frac{(n+1)(n)}{2} \end{align} \]
​ 很显然P(2)符合，证毕。