什么是数学归纳法？
1、什么时候可以想到用它了？跟“N”整数有关的数学命题，且用于证明该命题是否正确。
a) 什么是命题：判断一件事对与错的陈述句，叫做命题。
比如： 1、2+2=5 ——错误命题。 2、表达式1+2+……+n，记住为f(n)，那么命题：f(n)=(1+n)n/2 ——正确命题。 ps：什么是表达式：由数字、算符、数字分组符号(括号)、自由变量和约束变量等以能求得数值的有意义排列方法所得的组合。
b) 上述中的f(n)=(1+n)n/2 就是适合跟“N”整数有关的命题
2、定义?
a)对于任何整数r，如果已知命题f(r)为真，可推倒出f(r+1)为真。——也就是f(r+1)命题可以通过f(r)推倒出
b) 存在第一个命题假设为1，确实有f(1)为真。
如何理解？ 对于命题f(n)=(1+n)n/2
一般情况，f(1)=1 ，使用命题f(1)=(1+1)1/2=1，说明此命题正确，关于命题f(1)正确
可以这么理解：
对于定义b) f(1)=(1+1)1/2 确实为真，这个是根据结果说话，计算出来结果确实等于命题结果。
对于定义a) 如果f(n+1)能通过f(n)推导出命题f(n+1)=(1+(n+1))(n+1)/2，那f(2)=(1+2)2/2命题就可以通过f(1)推导得到，又因为f(1)是被证明正确的命题，所以f(2)也是正确命题（因为是可以推导出的），f(3)通过f(2)推导得到……依次类推，任何一个f(n)就可以知道了。
总结：第一个命题是正确的，又后面的命题可以从前一个命题（当然第一个命题符合这里的前一个命题）得到。则这个命题可归纳得出。
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递归
1）定义
要知道f(n)的值，首先它需要知道它前面的某一个值。比如f(n)=f(n-1)+1;
2）它像什么？
它类似于数学归纳法中的定义b），就是“推导”
3）举例分析：
a)例子：汉诺塔问题（自己上网查）
b)思路：
对于关于n可变的，且可以由前面推导出来 这类问题三个步骤 1、看看小的情形（数学归纳法中的定义：存在最小整数使得命题成立） 2、求出和证明关于量（要求的f(n)）的数学表达式，比如之前的f(n)=f(n-1)+n推导 3、猜出一个命题f(n)=(1+n)*n/2，并证明 以上既是解题步骤，也是数学归纳法的题目要求+你的证明
分析：
1、罗一个塔的时候，它只要移动一步；罗两个塔，它只要移动三步
2、记表达式为f(n)，表示罗n个塔到某一个柱子上面。罗n个塔，它得先罗n—1个塔都临时位置(f(n-1))，把最大的n塔移到目标位置f(1)，然后再把n-1移到目标位置(f(n-1))
所以f(n)=f(1)+f(n-1)*2。得出了推导公式
3、f(1)=1 f(2)=3 f(3)=7 f(4)=15 f(5)=31……
我猜：f(n)=2^n-1——这个是我们的最终目的
靠猜确实很难办，其实
f(n)=1+f(n-1)*2 两边同时+1
f(n)+1=2(f(n-1)+1) 记t(n)=f(n)+1
t(n)=2t(n-1) t(n)=2^n
f(n)=2^n-1
这里使用数学归纳法证明：）
类似：斐波那契数列，如果你能猜出来第三步，你牛b。它的结果是：f(n)=（√5/5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}（√5表示根号5）见http://baike.baidu.com/view/816.htm
参考文献：《具体数学》