AA@数学归纳法

引言

• 观察下列等式并猜测规律:
  • $1=1^2$
  • $1+3=2^2$
  • $1+3+5=3^2$
  • $1+3+5+7=4^2$
  • $\cdots$
• 容易猜测,对于任意正整数n,有$1+3+5+\cdots +(2n-1)=n^2$,即${\sum }_{i=1}^{n}2i-1=n^2$

归纳法

• 由有限多个 个别的特殊事例得出的一般结论的推理方法,称为归纳法

• 归纳法是人们认识客观世界的一个重要方法,大量的定理定律运用了归纳推理

• 但是仅仅更具一系列有限特例得出结论不都是正确的

  • 一个错误归纳的例子:设数列A={ $a_n$},$a_n=n^2+{\sum }_{i=1}^4(n-1)$
  • 如果我们计算数列A的前4项发现:$a_1=1^2,a_2=2^2,a_3=3^2,a_4=4^2$,很可能猜测$a_n=n^2$对于任何$n$成立
  • 而实际上$n=5$时就已经不满足假设了

• 由归纳法得到的某些与自然数有关的命题(记为命题$P(n)$),常用以下方法来证明命题的正确性

  • 证明当$n=n_0$时$P(n)$成立
    • $n_0$是初始值,例如$n_0=0,n_0=1$
  • 假设当$n=k$,$(k\in {\mathbb{N}}^{+},k⩾n_0)$时命题是正确的(作为推理条件或归纳假设条件,简称假设条件,在数学归纳法中扮演重要角色)
  • 利用假设条件证明当$n=k+1$时命题仍然正确
  • 顺利完成上述步骤后,就可以断定命题对于从初始值$n_0$开始的所有自然数都正确

• 数学归纳法证明的思路是使用递推的方式进行,即从第一项(初始值$n_0$)开始,前一项成立推出后一项也成立,来表明n取任何值时命题都成立

等式左右边的引用

• 通常用LHS表示等式左边,RHS表示等式右边,例如$f(x)=g(x)$,$LHS=f(x)$,$RHS=g(x)$

• LHS stands for “left-hand side” and RHS stands for “right-hand side”. These terms are commonly used in mathematical equations and expressions to refer to the parts of the equation or expression on the left-hand side and right-hand side, respectively.

• For example, in the equation 2x + 5 = 9, the left-hand side (LHS) is 2x + 5 and the right-hand side (RHS) is 9. Similarly, in the expression y = 3x + 2, the left-hand side (LHS) is y and the right-hand side (RHS) is 3x + 2.

例

• 借用引言中的例子演示数学归纳法证明某个自然数有关的命题
• 题:用数学归纳法证明:$\forall n\in {\mathbb{N}}^{+}$,${\sum }_{i=1}^{n}2i-1=n^2$
• 证明:
  • $n=1$时,$LHS=RHS=1$
  • 假设$n=k$,命题正确,即有${\sum }_{i=1}^{k}2i-1=k^2$
    • 在该假设下,$n=k+1$时:
      • $LHS={\sum }_{i=1}^{k+1}(2i-1)$
        • $={\sum }_{i=1}^{k+1}2i-{\sum }_{i=1}^{k+1}1$
        • $=2{\sum }_{i=1}^{k+1}i-(k+1)$
        • $=2\times \frac{1}{2}(k+1+1)(k+1)-(k+1)$
        • $(k+1{)}^2$
      • $RHS=(k+1{)}^2$
      • $LHS=RHS$
  • 因此,等式对于任何正整数$n$都成立假设的命题是成立的
  • Note:
    • 事实上,计算$LHS$在数学归纳法中更加合适的做法是将LHS展开(变形)为包含$n=k$时的假设条件,然后带入假设条件来推进$LHS$的计算
    • $LHS={\sum }_{i=1}^{k+1}(2i-1)={\sum }_{i=1}^k(2i-1)+(2(k+1)-1)={\sum }_{i=1}^k(2i-1)+2k+1$,代换第一项${\sum }_{i=1}^{k}2i-1=k^2$
      • $=k^2+2k+1$
      • $=(k+1{)}^2$

例

• 用数学归纳法证明等式:${\sum }_{i=1}^n{i}^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$
  • 当$n=1$时,LHS=RHS=1
  • 设$n=k$时,等式成立,即成立${\sum }_{i=1}^k{i}^2=\frac{1}{6}k(k+1)(2k+1)$
    • 当$n=k+1$时
      • $LHS={\sum }_{i=1}^{k+1}{i}^2={\sum }_{i=1}^k{i}^2+(k+1{)}^2$
        • 带入假设条件,$LHS=\frac{1}{6}k(k+1)(2k+1)+(k+1{)}^2$
        • $=\frac{1}{6}[k(k+1)(2k+1)+6(k+1{)}^2]$
        • $=\frac{1}{6}[(k+1)(k(2k+1)+6(k+1))]$
        • $=\frac{1}{6}[(k+1)(2k^2+7k+6)]$
        • $=\frac{1}{6}[(k+1)(k+2)(2k+3)]$
        • $=\frac{1}{6}(k+1)((k+1)+1)(2(k+1)+1)$
      • $RHS=\frac{1}{6}(k+1)((k+1)+1)(2(k+1)+1)$
      • LHS=RHS
    • 因此,当$n=k+1$时,等式也成立
    • 由数学归纳法,命题对于一切正整数$n$都成立

例

• $$(\sum _{i=1}^n{a}_i{)}^2=\sum _{i=1}^n{a}_i^2+2S_n$$

  • $S_n=\sum _{i,j\in \mathbb{D},i\ne j}{a}_i{a}_j$
    • $={\sum }_{i=1}^{n-1}{a}_i({\sum }_{j=i+1}^n{a}_j)$
  • D = { 1 , 2 , ⋯   , n } D=\{1,2,\cdots,n\} D={ 1,2,⋯,n}

• 证明:$n=2$时,$LHS=(a_1+a_2{)}^2=a_1^2+a_2^2+2a_1{a}_2$,显然$LHS=RHS$

• 设$n=k$时等式成立,即:

  • $$(\sum _{i=1}^k{a}_i{)}^2=\sum _{i=1}^k{a}_i^2+2S_k$$

  • $n=k+1$时

    • $LHS=({\sum }_{i=1}^{k+1}{a}_i{)}^2=(({\sum }_{i=1}^k{a}_i)+a_{k+1}{)}^2$

      • $=({\sum }_{i=1}^k{a}_i{)}^2+a_{k+1}^2+2({\sum }_{i=1}^k{a}_i)a_{k+1}$
      • $={\sum }_{i=1}^k{a}_i^2+2S_k+a_{k+1}^2+2({\sum }_{i=1}^k{a}_i)a_{k+1}$
      • $={\sum }_{i=1}^{k+1}{a}_i^2+2S_k+2({\sum }_{i=1}^k{a}_i)a_{k+1}$
      • $={\sum }_{i=1}^{k+1}{a}_i^2+2(S_k+a_{k+1}{\sum }_{i=1}^k{a}_i)$
      • $={\sum }_{i=1}^{k+1}{a}_i^2+2S_{k+1}$
      • 该推导用到了$S_{k+1}=S_k+a_{k+1}{\sum }_{i=1}^k{a}_i$
        • 该等式见Note部分说明

    • $RHS={\sum }_{i=1}^{k+1}{a}_i^2+2S_{k+1}$

    • 所以$LHS=RHS$在$n=k+1$时也成立

    • 所以命题对于任意$n⩾2$的正整数n成立

  • Note:

    • 方式1:

      • $$\begin{array}{rl}{S}_k=& \sum _{i=1}^{k-1}{a}_i\sum _{j=i+1}^k{a}_j\\ & \\ S_{k+1}=& \sum _{i=1}^k{a}_i(\sum _{j=i+1}^{k+1}{a}_j)\\ =& \sum _{i=1}^{k-1}{a}_i\sum _{j=i+1}^{k+1}{a}_j+a_k\sum _{j=k+1}^{k+1}{a}_j\\ =& \sum _{i=1}^{k-1}{a}_i((\sum _{j=i+1}^k{a}_j)+a_{k+1})+a_k\sum _{j=k+1}^{k+1}{a}_j\\ =& \sum _{i=1}^{k-1}{a}_i\sum _{j=i+1}^k{a}_j+a_{k+1}\sum _{i=1}^{k-1}{a}_i+a_k{a}_{k+1}\\ =& S_k+a_{k+1}\sum _{i=1}^k{a}_i\end{array}$$

    • 方式2:

      • 从两两组合的角度看(排列组合),源序列 A 1 = { a 1 , a 2 , ⋯   , a k } A_1=\{a_{1},a_2,\cdots,a_k\} A1​={ a1​,a2​,⋯,ak​}增加一个元素得到序列 A 2 = { a 1 , a 2 , ⋯   , a k , a k + 1 } A_2=\{a_1,a_2,\cdots,a_k,a_{k+1}\} A2​={ a1​,a2​,⋯,ak​,ak+1​}

      • 设 D 1 = { 1 , 2 , ⋯   , k } D_1=\{1,2,\cdots,k\} D1​={ 1,2,⋯,k}, D 2 = D 1 ∪ { k + 1 } D_2=D_1\cup{\{k+1\}} D2​=D1​∪{ k+1}

      • $A_1$中元素两两组合构成的集合 T 1 = { a i a j ∣ i ≠ j , i , j ∈ D 1 } T_1=\{a_{i}a_{j}|i\neq{j},i,j\in{D_1}\} T1​={ ai​aj​∣i=j,i,j∈D1​},其中共有$m_1=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{2}\right)=\frac{k(k-1)}{2}$

        • 另一种计算方式$m_1={\sum }_{i=1}^{k-1}i$也是正确的

      • 类似的,$A_2$中元素两两组合构成的集合 T 2 = { a i a j ∣ i ≠ j , i , j ∈ D 2 } T_2=\{a_ia_j|i\neq{j},i,j\in{D_2}\} T2​={ ai​aj​∣i=j,i,j∈D2​},其中共有$m_2=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{k+1}{2}\right)=\frac{(k+1)k}{2}$个元素

      • $T_1\to T_2$而增加的元素均是$a_i{a}_{k+1},i=1,2,\cdots ,k$,这些元素的和为$\Delta =a_{k+1}{\sum }_{i=1}^k$

其他形式示例

• 因式分解及唯一性定理的证明 (csdn.net)