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题目
793. 阶乘函数后 K 个零
解析
思考一下，乘法中如何获得一个10？
- 要么是一个数本身就是10的倍数。
- 要么就是5的倍数乘上2的倍数。
那么，带着这个思路来分析一下这个题目：
- 既然是阶乘，那么乘上的数必然是连续的，也就是说：如果遇到了一个5的倍数，必然能找到一个2的倍数（且不是10的倍数），和这个5能凑成10的倍数；并且，后面的结果只会大于等于前面的结果。
也就是说：
- 假设y=x+5,那么f(x) = f(x+1) = f(x+2) = f(x+3) = f(x+4) = f(y)-m,其中5^m^ = y.[1]
这个可以参考题目所给的：k = 5,结果为0，因为中间有一个25,因此不存在后面有5个连续0的情况。
那么，看题目所给的K，我们的函数为F，(对应的函数为W(x),即X的阶乘后有几个0)那么必然有：
- F(K) = 0或F(K) = 5(根据【1】推知)
那么，如何推知在哪些K上的结果为0？
根据【1】，可以得知：
- 在遇到某个可以拆出多个5的情况时，这个情况下W(x)-W(x-1)>1,那么W（x-1）到W（x）之间的这些k都是0。
而且：由于每个0都包含1个5，那么K个0必然有恰好K个5组合而成。
那么，问题就转化为了：
- 是否可以找到某个数，到某个数为止的所有数恰好包含了K个5？如果包含了，结果就是5；如果没有，那么就是0.
且：5*K！中，必然包含了大于等于K个5。
那么，一个朴素的解法就是：从(5*K)!开始，每次做K-=5，来取是否有恰好W（x）=K。
因为可以得知：从K到K-5，有且仅有一次，F（X）会加上一个大于1的数；否则，都是+1;根据这个，我们可以在每个长度为5的区间里看看K是否会被包含在区间里。
那么，如何快速地判断W（x）可以参考下面的问题。
子问题：阶乘后的0
题目
解析
按照上面的分析，对于任意x，我们都可以通过快速地将X除以5，来得知到x可以提取出多少个5，这些5就是从1到X中可以提取到的5的个数。
public static int trailingZeroes(int n) {
if(n<5) return 0;
return n/5 + trailingZeroes(n/5);
}
复制代码那么就可以拟出最简单的答案：
public static int preimageSizeFZF(int k) {
long y = 5*k;
while(true){
long m = trailingZeroes(y);
if(m>k) {
y -=5;
continue;
}
if(m == k) return 5;
if(m < k) return 0;
}
}
public static long trailingZeroes(long n) {
if(n<5) return 0;
return n/5 + trailingZeroes(n/5);
}
复制代码然后超时了。
最后执行的输入：
24397491
反思一下：
-
在这个算法中，是否需要判断从0到5K的所有数？
答案当然是否定的，那么如何确定下界？
根据上面的trailingZeroes方法，可知：
W(x) = sum(x/5 + x/25 + ... + 1），根据等比数列求和公式可知：
W(x) = x/5 * (1-(1/5)^n^)/(1-1/5) => W(x)>=x/4。
也就是说：下界其实就是4X：满足题目所给的数的大小，必然在4x到5x之间。
这样子只要最后y小于等于4x就可以知道不存在这么个数了（毕竟我们取的值必然是逼近4x但不会达到4x）。
并且，其实由于最终结果函数是一个随着n递增的函数，可以用二分法来确定这个数是否存在。
这里之所以可以使用二分法，原因就是：返回条件为5的情况是我们的值恰好满足条件。
这里有个坑，java里int * long ，答案会按照int范围来取值，因此必须在乘的时候，让乘数都为long类型。
那么最终答案呼之欲出：
public static int preimageSizeFZF(int k) {
long r = 5L*k,l = 4L*k+1L;
while(l<=r){
long mid = (l+r)/2;
long n = trailingZeroes(mid);
if(n == k) return 5;
if(n > k) r = mid-1;
else l = mid+1;
}
return trailingZeroes(l)==k?5:0;
}
public static long trailingZeroes(long n) {
if(n<5) return 0;
return n/5 + trailingZeroes(n/5);
}
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