F Fraction Construction Problem

题意：

给两个数a,b求另外四个数c,d,e,f满足

1. $\frac{c}{d}-\frac{e}{f}=\frac{a}{b}$
2. d < b and f < b
3. $1\le c,e\le 4\times 10^{12}$
   如果不存在就输出-1 -1 -1 -1

思路：

看了题解之后来写一下思路，当时做一个笔记。

这题的关键点在于第二个条件，如果没有第二个条件，这就是一道非常简单的水题因为直接构造$\frac{a+k}{b}-\frac{k}{b}$(这不是乱杀么 )。

但是有了条件二就无法这样构造，条件二似乎在提示我们，$d\ast f$一定要是$b$的整数倍，而且$d$和$f$每个都一定要含有$b$的非1因子，否则无法满足条件二。

那么很自然就会想到质数，当$b$为质数时上述条件似乎就无法满足了，但是如果分子是质数倍数的话不就又可以直接构造了么？

1. 此时就可以自然地想到，假设分子分母不互质，那么毕竟约分后分母小于原分母，那么约分后的分数就可以随便构造了
   比如：
   约分后是$\frac{u}{n}$那么就可以构造$\frac{u+1}{n}-\frac{1}{n}$(真就乱杀呗 )
2. 那么当分子和分母互质时呢，此时把式子进行通分得$\frac{cf-ed}{df}=\frac{a}{b}$，根据上面的条件$d$和$f$每个都一定要含有$b$的非1因子,若$d$与$f$不互质，那么$\frac{cf-ed}{df}=\frac{a}{b}$就会约分，那么$df$一定到达不了$b$，所以对于存在的质因子数等于1的b一定无解
3. 当$d$与$f$互质时$d\ast f=b$所以只需要求出$c$和$e$满足$cf-ed=a$这明显就是exgcd的内容了

#include<bits/stdc++.h>
#define INF 0x3f3f3f3f
#define ll long long
#define pb push_back
#define eps 1e-8
#define endl '\n'
using namespace std;
const ll maxn = 2e6 + 5;

ll t,a,b,c,d,e,f,cb[maxn];
bool vis[maxn];

ll exgcd(ll a,ll b, ll &x,ll &y){
    
    
    if(!b){
    
    
        x = 1,y = 0;
        return a;
    }else{
    
    
        ll d = exgcd(b,a % b,y,x);
        y -= a / b * x;
        return d;
    }
}

void Sz(){
    
    
    for(int i = 2; i <= maxn; i++){
    
    
        if(!vis[i]){
    
    
            vis[i] = 1;
            for(int j = i + i; j <= maxn; j += i){
    
    
                vis[j] = 1;
                if(!cb[j]){
    
    
                    ll k = i;
                    while(!(j % (k * i))) k *= i;
                    if(k < j)cb[j] = k;
                }
            }
        }
    }
}

void solve(){
    
    
    ll x,y,d = __gcd(a,b);
    if(d != 1)
        printf("%lld %lld %lld %lld\n",a / d + 1,b / d,1ll,b / d);
    else{
    
    
        if(!cb[b])printf("-1 -1 -1 -1\n");
        else{
    
    
            d = cb[b],f = b / d;
            exgcd(d,f,x,y);
            if(x > 0)
                printf("%lld %lld %lld %lld\n",x * a,f,-y * a,d);
            else
                printf("%lld %lld %lld %lld\n",y * a,d,-x * a,f);
        }
    }
}

int main(){
    
    
    Sz();
    scanf("%lld",&t);
    while(t--){
    
    
        scanf("%lld %lld",&a,&b);
        solve();
    }
    return 0;
}