牛客多校3 - Fraction Construction Problem(扩展欧几里得)

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题目大意：给出 a 和 b ，求解满足条件的 c,d,e,f ，使得：

1. 
2. d < b
3. f < b
4. c,e 均为小于等于 4e12 的正整数

题目分析：分情况讨论一下，首先如果 a 和 b 可以约分的话，那么直接约分后，输出 a+1 , b , 1 , b 显然就是答案了，如果不能约分的话，且 b 的相异质因子的个数不超过 1 个的话，那么是无解的，证明如下：（来自官方题解）

最后一种情况就是 b 的相异质因子个数超过一个，对于这种情况可以将条件 1 的公式转换一下： 

这样一来，d 和 f 显然就是 b 的两个相异质因子了，而 cf - de = a ，在已知 d 和 f 的前提下，一定有解，且可以用扩展欧几里得来解决，注意最后求出来的答案需要处理一下，因为需要保证 c 和 e 为正整数

在找 d 和 f 的时候也有技巧，如果 sqrt( n ) 暴力去找的话，会超时，所以可以用埃氏筛预处理一下，保存一下每个数字的最大质因子，这样就可以令 d 为该质因子的幂，然后 f = b / d 了

代码：
 

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<stack>
#include<climits>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<sstream>
#include<cassert>
#include<bitset>
using namespace std;
 
typedef long long LL;
 
typedef unsigned long long ull;
 
const int inf=0x3f3f3f3f;
 
const int N=2e6+100;

int pri[N];//pri[i]:i的最大质因子为pri[i]
 
template<class T> void exgcd(T a,T b,T &d,T &x,T &y){
    if(!b) {d=a;x=1;y=0;}
    else {exgcd(b,a%b,d,y,x);y-=x*(a/b);}
}
//求解二元一次方程 a*x+b*y=c,一组解为x,y,无解则返回false
template<class T> bool Solve_equation(T a,T b,T c,T &x,T& y){
    T gcd;
    exgcd(a,b,gcd,x,y);
    if(c%gcd) return false;   //无解
    T k=c/gcd;
    x*=k;y*=k;
    T xplus=b/gcd,yplus=a/gcd; 
    if(xplus<0) xplus*=-1;if(yplus<0) yplus*=-1;
    //此时求出的x,y即为一组解，该方程的通解形式为X=x+t*(b/gcd),Y=y-t*(a/gcd) t为任意正整数
    //根据题目要求我们需要构造特殊解
    //x=(x%xplus+xplus)%xplus;y=c-a*x; //x的最小正整数解
    //y=(y%yplus+yplus)%yplus;x=c-b*y; //y的最小正整数解
    return true;
}

void init()
{
    pri[1]=1;
    for(int i=2;i<N;i++)
        if(!pri[i])//当前的数为质数
            for(int j=i;j<N;j+=i)
                pri[j]=i;
}
 
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
//  freopen("data.in.txt","r",stdin);
//  freopen("data.out.txt","w",stdout);
#endif
//  ios::sync_with_stdio(false);
	init();
    int w;
    cin>>w;
    while(w--)
    {
        LL a,b;
        scanf("%lld%lld",&a,&b);
        LL gcd=__gcd(a,b);
        a/=gcd,b/=gcd;
        if(gcd!=1)
        {
            printf("%lld %lld %lld %lld\n",a+1,b,1,b);
            continue;
        }
        LL d=1,f=b;
        while(pri[b]!=1&&f%pri[b]==0)
        {
            f/=pri[b];
            d*=pri[b];
        }
        if(f==1)//只有一个质因子 
        {
            printf("-1 -1 -1 -1\n");
            continue;
        }
        LL c,e;
        Solve_equation(f,-d,a,c,e);
        LL k=abs(min(c/d,e/f))+1;
        c+=d*k,e+=f*k;
        printf("%lld %lld %lld %lld\n",c,d,e,f);
    }
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
    return 0;
}