【矩阵乘法】【AGC003】F - Fraction of Fractal

F - Fraction of Fractal

题意：

给出一个大小为 $n*m$的只有黑色或白色格子的图，这个图被我们称作1级构型。1级构型保证所有的黑色格子是联通（从上下或左右走可达）的。当初就因为没有注意到这句话将一个错误的思路想了半天。读题要仔细啊！！尤其是英文
特别的，0级构型是一个 $1*1$的黑色格子。
定义一个k级构型：它由k-1级构型转化而来，怎么转化呢？首先，它具有与1级构型的格子数量和形状都相同的‘块’，每一个‘块’都与1级构型中的格子一一对应。而这个’块’的大小和形状与k-1级构型相同。如果这个‘块’对应的1级构型中的格子是白色，那么这个‘块’中所有格子都为白色，否则，这个‘块’就是k-1级构型。

给出n,m,k,和1级构型，求k级构型中联通块的数量。

思路：

记cnt为1级构型中黑格子的数量，s1为上下相邻的黑格子数，s2为左右相邻的黑格子数，f1为一列中，第一行与最后一行都是黑格子的数目，f2为一行中，第一列和最后一列都是黑格子的数目。
画一画图，可以很明显地看出来：
若f1>0且f2>0，无论多少级构型，所有黑色格子始终联通，答案为1；
若f1=0且f2=0,ans[k]=ans[k-1]*cnt,答案为cnt $^{k-1}$;
接下来讨论f1和f2只有1个为0的情况：不妨设f1>0,f2=0,(若f2>0,可以翻转图形，就等价于这种情况)。
联通块数量C=V-E,
那么考虑计算 k 级构型对应的图中的点数 V 和边数 E ，有递推式：
$V[k]=V[k-1]×cnt, V[0]=1$
$E[k]=E[k-1]×f1+V[k-1]×s1,E[0]=0$
其中， $E[k-1]×f1$表示在‘块’与‘块’之间连的边， $V[k-1]×s1$表示在一个‘块’的内部连的边
由于k达到了 $10^{18}$,所以用矩阵乘法优化dp.

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
#define MAXN 1010
#define MO 1000000007
#define LL long long
int cnt,s1,s2,f1,f2,n,m;
LL k;
char s[MAXN][MAXN];
LL PowMod(LL a,LL b)
{
	b%=(MO-1);
	LL ret=1;
	while(b)
	{
		if(b&1) ret=ret*a%MO;
		a=a*a%MO;
		b>>=1;
	}
	return ret;
}
struct maz
{
	LL a[2][2];
	maz(){memset(a,0,sizeof a);};
	maz operator*(maz &m)
	{
		maz ret;
		for(int i=0;i<2;i++)
			for(int j=0;j<2;j++)
				for(int k=0;k<2;k++)
					ret.a[i][j]=(ret.a[i][j]+a[i][k]*m.a[k][j]%MO)%MO;
		return ret;
	}
};
int main()
{
	scanf("%d%d%lld",&n,&m,&k);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%s",s[i]+1);
		for(int j=1;j<=m;j++)
			if(s[i][j]=='#')
			{
				cnt++;
				s1+=(s[i-1][j]=='#');
				s2+=(s[i][j-1]=='#');
			}
		if(s[i][1]=='#'&&s[i][m]=='#') f2++;
		if(i==n)
		{
			for(int j=1;j<=m;j++)
				if(s[1][j]=='#'&&s[n][j]=='#') f1++;
		}
	}
	if((f1&&f2)||k==0)
	{
		printf("1\n");
		return 0;
	}
	else if(f1==0&&f2==0)
	{
		printf("%lld\n",PowMod(cnt,k-1));
		return 0;
	}
	if(f1==0)
	{
		swap(f1,f2);
		swap(s1,s2);
	}
	maz A,ans;
	A.a[0][0]=cnt,A.a[1][0]=s1,A.a[1][1]=f1;
	ans.a[0][0]=ans.a[1][1]=1;
	k--;
	while(k)
	{
		if(k&1) ans=ans*A;
		A=A*A;
		k>>=1;
	}
	printf("%lld\n",(ans.a[0][0]-ans.a[1][0]+MO)%MO);
}