E-Two Matchings
比赛期间写博文，队友我家挖祖坟
数论只会g c d，队友AC我挂机
注意本文中的部分字母和原文稍有不同，请注意！
题意
定义序列 a a a ，满足如下要求
- 长度为 n n n 的序列 a a a 由 1 , 2 , 3... n 1, 2, 3... n 1,2,3...n 组成
- a a i = i a_{a_i} = i aai=i
- a i ≠ i a_i \neq i ai=i
定义一个字符串的费用为 ∑ i = 1 n w i − w a i / 2 \sum_{i=1}^{n}w_i - w_{a_i} / 2 ∑i=1nwi−wai/2 ， w w w 为给出的权值数组
求两个满足上述对序列 a a a 的描述的序列 p , q p, q p,q，同时还要满足 p i ≠ q i p_i \neq q_i pi=qi 对于每一个 i i i 都成立
则这两个序列的费用和的最小值是多少
分析
根据条件
- 长度为 n n n 的序列 a a a 由 1 , 2 , 3... n 1, 2, 3... n 1,2,3...n 组成
- a a i = i a_{a_i} = i aai=i
- a i ≠ i a_i \neq i ai=i
可以得到序列是由基础序列 1 , 2 , 3... n 1, 2, 3...n 1,2,3...n 通过进行两两对调得到，且每个值进行且只进行一次对调。（这里就不仔细证明了，应该……在打这个比赛的人应该都能理解吧）
而我们需要得到的就是两个费用最小的串，即最小串和次小串
注意，接下来的讨论仅讨论排序后的下标，即如果写着 1 1 1 则指代 sort 后的数组 w w w 中最小的值
最小值
首先是最小的值，那很明显，把 w 数组排序后，间隔着相减就可以得到，例如下面已经排序后的下标序列：
1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 1, 2, 3, 4, 5, 6 1,2,3,4,5,6
我们可以得到其最小的解为
( 2 − 1 ) + ( 4 − 3 ) + ( 6 − 5 ) (2 - 1) + (4 - 3) + (6 - 5) (2−1)+(4−3)+(6−5)
我们暂时不去处理这个解，保留原样
次小值
接下来是次优解，首先应当保证其每一位的值不相同
由于我们已经将最小值的组合取完了，则次优解就有了非常多的限制
我们可以“旋转”这个数列得到
2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 1 → ( 3 − 2 ) + ( 5 − 4 ) + ( 6 − 1 ) 2, 3, 4, 5, 6, 1\rightarrow (3 - 2) + (5 - 4) + (6 - 1) 2,3,4,5,6,1→(3−2)+(5−4)+(6−1)
把这个“旋转”暂时称为 6 − r o t a t i o n 6-rotation 6−rotation，指代 6 6 6 个元素的旋转
而此时即为次优的解。
证明
我们以六个数字的数列来证明上述操作
首先用 − - − 表示这个值作为其所在的交换中的较小值， + + + 表示这值作为其所在的交换中的较大值
例如最小值可以表示为
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|
| - | + | - | + | - | + |
我们并不需要具体考虑哪个值与哪个值交换，因为最终的求和结果是一样的，即上面的值与下面的符号结合后相加就是最终结果。
除去最小解后，我们只有以下两种组合方法
| 下标 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 最小值 | - | + | - | + | - | + |
| 方案1 | - | - | + | - | + | + |
| 方案2 | - | - | - | + | + | + |
| 错误方案 | - | - | + | + | - | + |
这里举例一个错误的方案，虽然看起来此方案是与最小值方案不同，但是注意一下最后两个值，无论这个错误方案怎么组合， 5 − 6 5-6 5−6 必然要发生组合并发生交换，则与最小值的方案出现重复，则不行。
那么我们比较一下这两个方案哪个更优
方 案 1 方 案 2 = − 1 − 2 + 3 − 4 + 5 + 6 − 1 − 2 − 3 + 4 + 5 + 6 = − 1 1 \frac{方案1}{方案2} = \frac{-1-2+3-4+5+6}{-1-2-3+4+5+6} = \frac{-1}{1} 方案2方案1=−1−2−3+4+5+6−1−2+3−4+5+6=1−1
（使用分数线仅用于视觉上更好的体现上下的对比效果，并无除法运算思想，下同）
注意，这里不能取 a b s abs abs 因为在配对的时候我们已经保证了右边的加号匹配左边的减号，即必定为正数
很明显，方案1更优，即上方的次优解
（感谢 @yyymmmi 和 @hnust_zhangpeng 指出错误，现已更正）
合并最小值和次小值
我们将两个解相加发现最终结果为
[ ( 2 − 1 ) + ( 4 − 3 ) + ( 6 − 5 ) ] + [ ( 3 − 2 ) + ( 5 − 4 ) + ( 6 − 1 ) ] = 2 ∗ ( 6 − 1 ) [(2 - 1) + (4 - 3) + (6 - 5)] + [(3 - 2) + (5 - 4) + (6 - 1)] =2 * (6 - 1) [(2−1)+(4−3)+(6−5)]+[(3−2)+(5−4)+(6−1)]=2∗(6−1)
长度不及 6 6 6 的时候
而对于长度仅为 4 4 4 的串，只能 4 − r o t a t i o n 4-rotation 4−rotation ，即
1 , 2 , 3 , 4 → ( 4 − r o t a t i o n ) → 2 , 3 , 4 , 1 → ( 3 − 2 ) + ( 4 − 1 ) 1, 2, 3, 4 \rightarrow (4-rotation)\rightarrow 2, 3, 4, 1 \rightarrow (3 - 2) + (4 - 1) 1,2,3,4→(4−rotation)→2,3,4,1→(3−2)+(4−1)
此时的最终结果为（过程忽略）
2 ∗ ( 4 − 1 ) 2 * (4 - 1) 2∗(4−1)
长度为 8 8 8的时候
那么我们再往长度增长的方向考虑，当 n = 8 n = 8 n=8 时，我们有两个方案，
- 两个 4 − r o t a t i o n 4-rotation 4−rotation （ 1234 1234 1234 和 5678 5678 5678 ）来旋转它
- 两个 4 − r o t a t i o n 4-rotation 4−rotation （ 1278 1278 1278 和 3456 3456 3456 ）来旋转它
- 一个 8 − r o t a t i o n 8-rotation 8−rotation 来旋转它
注意，此题是不存在 2 − r o t a t i o n 2-rotation 2−rotation 的，因为这毫无意义，所以 n = 8 n = 8 n=8 时，没有一个 6 − r o t a t i o n 6-rotation 6−rotation 和一个 2 − r o t a t i o n 2-rotation 2−rotation 这样的组合。
先比较一下两个 4 − r o t a t i o n 4-rotation 4−rotation：
方 案 1 方 案 2 = 2 ∗ [ ( 4 − 1 ) + ( 8 − 5 ) ] 2 ∗ [ ( 8 − 1 ) + ( 6 − 3 ) ] = 12 20 \frac{方案1}{方案2} = \frac{2 * [(4 - 1) + (8 - 5)]}{2 * [(8 - 1) + (6 - 3)]} = \frac{12}{20} 方案2方案1=2∗[(8−1)+(6−3)]2∗[(4−1)+(8−5)]=2012
我们选择使用方案 1 1 1
接下来是方案 1 1 1 和方案 3 3 3 的比较
方 案 1 方 案 3 = 2 ∗ [ ( 4 − 1 ) + ( 8 − 5 ) ] 2 ∗ [ ( 8 − 1 ) ] = 12 14 \frac{方案1}{方案3} = \frac{2 * [(4 - 1) + (8 - 5)]}{2 * [(8 - 1)]} = \frac{12}{14} 方案3方案1=2∗[(8−1)]2∗[(4−1)+(8−5)]=1412
此时证明得到方案 1 1 1 在三个方案内最优，此时 n = 8 n =8 n=8 时的答案为：
2 ∗ [ ( 4 − 1 ) + ( 8 − 5 ) ] 2 * [(4 - 1) + (8 - 5)] 2∗[(4−1)+(8−5)]
同时我们得到了一个结论：仅存在 4 − r o t a t i o n 4-rotation 4−rotation 和 6 − r o t a t i o n 6-rotation 6−rotation 两种旋转，如果存在 8 − r o t a t i o n 8-rotation 8−rotation 则可以将此 8 − r o t a t i o n 8-rotation 8−rotation 分解为两个 4 − r o t a t i o n 4-rotation 4−rotation 可以更优。
长度更长的时候
当 n ≥ 10 n \geq 10 n≥10 时，即可以将整个串分解成多个 4 − r o t a t i o n 4-rotation 4−rotation 和多个 6 − r o t a t i o n 6-rotation 6−rotation 组成。
那么得到了 d p dp dp 的递推公式：dp[i] = min(dp[i - 4] + v[i - 1] - v[i - 4], dp[i - 6] + v[i - 1] - v[i - 6])
注意 d p dp dp 的初始值有三个： n = 4 , n = 6 , n = 8 ( 防 止 n = 8 的 时 候 出 现 2 − r o t a t i o n ) n = 4, n = 6, n = 8 \space (防止n = 8的时候出现2-rotation) n=4,n=6,n=8 (防止n=8的时候出现2−rotation)
AC code
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long dp[200100];
void solve() {
int T;
cin >> T;
for (int ts = 0; ts < T; ++ts) {
int n;
cin >> n;
vector<long long> v;
for (int i = 0; i < n; ++i) {
long long tmp;
cin >> tmp;
v.push_back(tmp);
}
sort(v.begin(), v.end());
dp[0] = 0;
dp[4] = v[3] - v[0];
dp[6] = v[5] - v[0];
dp[8] = v[7] - v[4] + dp[4];
for (int i = 10; i <= n; i += 2)
dp[i] = min(dp[i - 4] + v[i - 1] - v[i - 4], dp[i - 6] + v[i - 1] - v[i - 6]);
cout << dp[n] * 2 << endl;
}
}
signed main() {
ios_base::sync_with_stdio(false);
cin.tie(nullptr);
cout.tie(nullptr);
#ifdef ACM_LOCAL
freopen("in.txt", "r", stdin);
freopen("out.txt", "w", stdout);
int test_index_for_debug = 1;
char acm_local_for_debug;
while (cin >> acm_local_for_debug) {
if (acm_local_for_debug == '$') exit(0);
cin.putback(acm_local_for_debug);
if (test_index_for_debug > 20) {
throw runtime_error("Check the stdin!!!");
}
auto start_clock_for_debug = clock();
solve();
auto end_clock_for_debug = clock();
cout << "Test " << test_index_for_debug << " successful" << endl;
cerr << "Test " << test_index_for_debug++ << " Run Time: "
<< double(end_clock_for_debug - start_clock_for_debug) / CLOCKS_PER_SEC << "s" << endl;
cout << "--------------------------------------------------" << endl;
}
#else
solve();
#endif
return 0;
}
事后发现其实代码有越界的问题……但是它AC了