Notas sobre dinâmica estatística (3) Filtro de onda inteira (para uso pessoal)

Filtros de onda inteira são uma classe de filtros que podem integrar sinais aleatórios estaticamente indeterminados com densidades espectrais arbitrárias. Seu sinal de entrada geralmente é ruído branco .

1. Derivação do filtro de onda inteira

A partir das Notas de Dinâmica Estatística (2) Densidade Espectral e Precisão Dinâmica do Sistema Estocástico Linear (para auto-retenção), podemos saber a saída do sistema $x$ importarvocêA densidade de espectro cruzado entre$você$
$$S_{}\left(ah\right)=W\left(j\omega \right)W(-j\omega )S_{}\left(ah\right)\text{\hspace{1em}( 1 )}$$ Quando a entrada é ruído branco,$S_{}\left(ah\right)=S_{}\left(ah\right)=1$，则
$$S_{}\left(ah\right)=W\left(j\omega \right)W(-j\omega )\text{\hspace{1em}( 2 )}$$ Desta forma, desde que o terminal de saída$A\; densidade\; espectral\; de\; x$ é decomposta em duasconjugadasa função de transferênciado sistema pode ser obtida. Esta etapa também é conhecida comodecomposição da densidade espectral.

Exemplo: A densidade espectral na saída é
$$S_{}\left(ah\right)=\frac{}{4{horas}^2+1}=\frac{}{2anos+1}\cdot \frac{}{2(-j\omega )\_+1}$$Então a função de transferência do sistema é
$$W\left(j\omega \right)=\frac{}{2anos+1}$$即
$$W\left(s\right)=\frac{}{2s\_+1}$$

2. Variância de um sinal aleatório na saída de um sistema dinâmico linear

A fórmula de definição da variância é dada na fórmula (5) do artigo Notas de Dinâmica Estatística (2) Densidade Espectral e Precisão Dinâmica do Sistema Estocástico Linear (para auto-retenção) :
$$D_{}=R_{}\left(0\right)=\frac{}{14h\_}{\int }_{-\infty }^{}{S}_{}\left(\omega \right)d\omega$$代入式 (1)
$$D_{}=\frac{}{14h\_}{\int }_{-\infty }^{}W\left(j\omega \right)W(-j\omega )S_{}\left(\omega \right)d\omega \_=\frac{}{14h\_}{\int }_{-\infty }^{}\left|W\right(j\omega \left){|}^{2S}{\_}_{}\right(\omega )d\omega \_\text{\hspace{1em}( 3 )}$$ O método de cálculo da fórmula (3) possui o seguinte conjunto de métodos fixos, denominado "${EU}_{}$– Integral法”：
$${EU}_{}=\frac{}{14h\_}{\int }_{-\infty }^{}\frac{\left|G\right(j\omega ){|}^{}}{\left|H_{}\right(j\omega ){|}^2}d\omega \_=\frac{}{14h\_}{\int }_{-\infty }^{}\frac{G_{}(j\omega }{H_{}\left(j\omega \right)H_{}(-j\omega )\_}d\omega \_\text{\hspace{1em}( 4 )}$$ onde
$$\begin{gathered} G_{}\left(j\omega \right)=b_{}(j\omega {)}^{2n-2\_}+b_{}(j\omega {)}^{2n-4}+\cdots +b_{n-}, \\ {H}_{}\left(j\omega \right)=a_{}(j\omega {)}^n+a_{}(j\omega {)}^{n-1}+\cdots +a_{}\text{\hspace{1em}( 5 )} \end{gathered}$$ Existem os seguintes pontos sobre a fórmula (4) (5):
(1) Se a ordem do denominador da fórmula integral for$n$ , então no sistema real, a ordem do numerador não excederá$2n\_-2$ .
(2) Denominador integral$H_{}\left(j\omega \right)H_{}(-j\omega )$ éω \omegaFunção par de$\omega \; .$
(3) Molécula integral$G_{}\left(j\omega \right)$ contém apenasj ω j\omegaPotências paresde$j\omega$ . Se houver uma potência ímpar, ela pode ser ignorada diretamente, pois a potência ímpar será igual a zero após a integração. (4) H n ( j ω ) H_n(j \omega)
no denominador da fórmula integral$H_{}\left(j\omega \right)$ deve ser estável.

Então para ${EU}_{}$– Integral, que é calculada da seguinte forma:
$${EU}_{}=(-1)\_{}^{n+1}\frac{N_{}}{2a\_{\_}_{}{D}_{}}\text{\hspace{1em}( 6 )}$$其中
$$D_{}=\left|\begin{array}{ccccc}{a}_{}& a_{}& 0& \cdots & 0\\ a_{}& a_{}& a_{}& \cdots & 0\\ a_{}& a_{}& a_{}& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ & & & & a_{}\end{array}\right|,\text{\hspace{1em}( 7 )}$$$$N_{}=\left|\begin{array}{ccccc}{b}_{}& a_{}& 0& \cdots & 0\\ b_{}& a_{}& a_{}& \cdots & 0\\ b_{}& a_{}& a_{}& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ b_{n-}& & & & a_{}\end{array}\right|\text{\hspace{1em}( 8 )}$$$N_{}$Basta colocar $D_{}$A primeira coluna em é substituída por $b_{}$。

Exemplo: Seja a função de transferência do sistema
$$W\left(s\right)=\frac{}{Ts\_+1}$$A densidade espectral do sinal de entrada é
$$S_{}\left(ah\right)=\frac{D_{}}{a^2+{oh}^2}$$Calcule o erro quadrático médio do sistema.
Primeiro obtenha a função de transferência do erro sistemático:
$${Fi}_{}\left(s\right)=\frac{}{1+W\left(s\right)}=\frac{Ts\_+}{Ts\_+1+K}$$Definição (1) Especifique a função de fluxo livre
$$\begin{array}{rl}{S}_{}\left(ah\right)& ={|\Phi {\_}_{}\left(j\omega \right)\_}^2{S}_{}\left(ah\right)={\left|\frac{T\left(j\omega \right)+}{T\left(j\omega \right)+1+K}\right|}^2\frac{D_{}}{a^2+{oh}^2}\\ & =\frac{D_{}(T^{2º}{\_}^2+1}{{|\left(T\left(j\omega \right)+1+K\right)\left(j\omega +a\right)|}^2}\\ & =\frac{D_{}(T^{2º}{\_}^2+1}{{T\left(j\omega \right)\_{}^2+\left(\alpha T\_+1+K\right)j\omega +(1+K)\alpha |}^2}\end{array}$$O erro quadrático médio é (análogo às Notas de Dinâmica Estatística (2) Densidade de Espectro e Precisão Dinâmica de Sistemas Estocásticos Lineares (para auto-retenção) - Equação (5)):
$$\overline{e^2}=\frac{}{14h\_}{\int }_{-\infty }^{}{S}_{}\left(\omega \right)d\omega \_=D_{}{EU}_{}$$Então
$${EU}_{}=\frac{}{14h\_}{\int }_{-\infty }^{}\frac{\left(T^{2º}{\_}^2+1\right)d\omega }{{T\left(j\omega \right)\_{}^2+\left(\alpha T\_+1+K\right)j\omega +(1+K)\alpha |}^2}$$Podemos ver
$$G_{}\left(j\omega \right)=\underset{b_{}}{\underbrace{T^{}}}{oh}^2+\underset{b_{}}{\underbrace{}},$$$$H_{}\left(j\omega \right)=\underset{a_{}}{\underbrace{}}(j\omega {)}^2+\underset{a_{}}{\underbrace{(\alpha T\_+1+K}}j\omega +\underset{a_{}}{\underbrace{(1+K)}}$$Determine a equação
$$D_{}=\left|\begin{array}{cc}{a}_{}& a_{}\\ a_{}& a_{}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}\alpha T+1+K& T\\ & (1+K)\end{array}\right|=a\left(\alpha T\_+1+K\right)(1+K),$$$$N_{}=\left|\begin{array}{cc}{b}_{}& a_{}\\ b_{}& a_{}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}{T}^2& T\\ & (1+K)\end{array}\right|=\alpha T^2(1+K)-T$$故
$${EU}_{}=(-1)\_{}^{2+1}\frac{N_{}}{2a\_{\_}_{}{D}_{}}=-\frac{\alpha T^2(1+K)-}{2T\alpha \_\_\left(\alpha T\_+1+K\right)(1+K)}$$则
$$\overline{e^2}=D_{}{EU}_{}=\frac{D_{}\left[T-\alpha T^2(1+K\right)}{2T\alpha \_\_\left(\alpha T\_+1+K\right)(1+K)}=\frac{D_{}\left[1-\alpha T(1\_+K\right)}{2uma\left(\alpha T\_+1+K\right)(1+K)}$$Equação invariante
$$\sqrt{\overline{e^2}}=\sqrt{\frac{D_{}\left[1-\alpha T(1\_+K\right)}{2uma\left(\alpha T\_+1+K\right)(1+K)}}$$