Transformação de Sinais Aleatórios em Sistema Dinâmico no Domínio do Tempo
- 1. Representação da qualidade do trabalho do sistema e alguns conceitos estatísticos
- 2. Ergodicidade versátil
- 3. Propriedades das funções de correlação
- 4. Abordagem experimental para determinar a função de correlação
- 5. Propriedades de sinais aleatórios determinados estaticamente através de sistemas dinâmicos lineares
- 6. Cálculo do erro quadrático médio da saída do sistema
1. Representação da qualidade do trabalho do sistema e alguns conceitos estatísticos
Deixe a entrada de um sistema dinâmico ser você ( t ) você (t)você ( t ) , a saída éx ( t ) x (t)x ( t ) , então o erro dinâmico ée ( t ) = u ( t ) − x ( t ) e (t) = u (t) - x (t)e ( t )=você ( t )-x ( t ) . Ao inserirvocê ( t ) você (t)Quando você ( t ) é um sinal aleatório, e ( t ) e (t)e ( t ) é o erro aleatório.
Geralmente, sob o efeito de sinais de entrada aleatórios, a qualidade de funcionamento do sistema pode ser expressa pelo erro quadrático médio aleatório:
e 2 ‾ ( t ) = lim T → ∞ 1 2 T ∫ − TT e 2 ( t ) dt (1) \overline{e^2} (t) = \lim _{T \rightarrow \infty} \frac{1}{2T} \int_{-T} ^T e^2 (t) {\rm d }t \tag{1}e2( t )=T → ∞limão2T_ _1∫−T _Te2 (t)dt( 1 )
A seguir, são introduzidos alguns conceitos básicos de estatística.
(1) Função de distribuição de probabilidade F ( x ) F(x)F ( x ) . A função de distribuição de probabilidade refere-se à variável aleatóriaXXX não excede um determinado valorxxx (即X < x X < xX<x ):
F ( x ) = P ( X < x ) F (x) = P (X < x)F ( x )=P ( X<x ) (2)Função de distribuição de densidade de probabilidadef ( x ) f (x)f ( x ) . Pode ser entendido de forma simples e aproximada como "variável aleatóriaXXX é igual a algum valorxxA probabilidade de x ", ou matematicamente entendida como" a função de distribuição de probabilidadeF ( x ) F(x)F ( x )的导数”即可：
f ( x ) = d F ( x ) dx = lim Δ → 0 P ( x ≤ X ≤ x + Δ x ) Δ x = lim Δ → 0 F ( x + Δ x ) − F ( x ) Δ xf(x) = \frac{ {\rm d} F(x)}{ {\rm d} x} = \lim_{\Delta \rightarrow 0} \frac{ P \ esquerda( x \leq X \leq x + \Delta x\right)}{\Delta x} = \lim_{\Delta \rightarrow 0} \frac{F \left( x + \Delta x \right) - F( x)}{\Delta x}f(x)=dxdF(x)=Δ→0limΔxP(x≤X≤x+Δx)=Δ→0limΔxF(x+Δx)−F(x)由此得出
F ( x ) = ∫ ∞ x f ( x ) d x F(x) = \int _\infty ^x f(x) {\rm d} x F(x)=∫∞xf(x)dx随机变量 X X X的数学期望：
x ~ = M [ X ] = ∫ − ∞ ∞ x f ( x ) d x \tilde x = M \left[ X \right] = \int _{-\infty} ^\infty x f(x) {\rm d} x x~=M[ X ]=∫− ∞∞x f ( x ) d x variável aleatóriaXXmilímetrosde Xm – 阶矩：
x ~ m = ∫ − ∞ ∞ xmf ( x ) dx \tilde x^m = \int _{-\infty} ^\infty x^mf(x) {\rm d} xx~eu=∫− ∞∞xm f(x)dxvariável aleatóriaXXmilímetrosde Xm – 阶中心矩：
M [ ( X − x ~ ) m ] = ∫ − ∞ ∞ ( X − x ~ ) mf ( x ) dx M \left[ \left( X - \tilde x \right)^m \ direita] = \int _{-\infty} ^\infty \left( X - \tilde x \right)^mf(x) {\rm d} xM[ ( X-x~ )eu ]=∫− ∞∞( X-x~ )euf ( x ) d x variância (na verdade, momento central de segunda ordem):
M [ ( X − x ~ ) 2 ] = ∫ − ∞ ∞ ( X − x ~ ) 2 f ( x ) dx M \left[ \ esquerda( X - \tilde x \direita)^2 \direita] = \int _{-\infty} ^\infty \left( X - \tilde x \direita)^2 f(x) {\rm d} xM[ ( X-x~ )2 ]=∫− ∞∞( X-x~ )2f ( x ) d x Ao considerar o tempo, a média da amostra pode ser equiparada à expectativa matemática:
mx ( t ) = x ~ ( t ) = M [ X ( t ) ] = ∫ − ∞ ∞ xf ( x , t ) dx , D x ( t ) = D [ X ( t ) ] = ∫ − ∞ ∞ [ X ( t ) − mx ( t ) ] 2 f ( x , t ) dx m_x (t) = \tilde x( t) = M \left[ X(t) \right] = \int _{-\infty} ^\infty xf(x, t) {\rm d} x, \\ D_x (t) = D \left[ X(t) \right] = \int _{-\infty} ^\infty \left[ X(t) - m_x (t) \right]^2 f(x, t) {\rm d} xeux( t )=x~ (t)=M[ X ( t ) ]=∫− ∞∞x f ( x ,t ) d x ,Dx( t )=D[ X ( t ) ]=∫− ∞∞[ X ( t )-eux( t ) ]2f ( x ,t ) d x e para tempos diferentest 1 , t 2 t_1, t_2t1,t2Para o processo aleatório de , também podemos ter expectativas matemáticas:
M [ X ( t 1 ) X ( t 2 ) ] = ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ x 1 x 2 f ( x 1 , t 1 , x 2 , t 2 ) dx 1 dx 2 = R ( t 1 , t 2 ) M \left[ X\left( t_1 \right) X\left( t_2 \right) \right] = \int_{-\infty} ^\infty \ int_{-\infty} ^\infty x_1 x_2 f \left( x_1, t_1, x_2, t_2 \right) {\rm d} x_1 {\rm d} x_2 = R \left( t_1, t_2 \right)M[ X( t1)X( t2) ]=∫− ∞∞∫− ∞∞x1x2f( x1,t1,x2,t2)d x1d x2=R( t1,t2) é chamadade função de correlação. A função de correlação caracterizaa conexão de variáveis aleatórias entre diferentes momentos.
Para uma variável aleatória xxx , sua função de correlação em momentos diferentesR x ( t 1 , t 2 ) R_x \left( t_1, t_2 \right)Rx( t1,t2) chamadoxxFunção de autocorrelaçãode x . E para duas variáveis aleatórias diferentesx , yx,yx ,y , a função de correlação R em momentos diferentesR xy ( t 1 , t 2 ) R_{xy} \left( t_1, t_2 \right)Rx e( t1,t2) é chamadade função de correlação cruzada. Obviamente, quandot 2 = t 1 + τ t_2 = t_1 + \taut2=t1+Quando τ , a função de autocorrelação também pode ser expressa como
R ( τ ) = M [ X ( t 1 ) X ( t 1 + τ ) ] = ∫ − ∞ ∞ dx 1 ∫ − ∞ ∞ x 1 x 2 f ( x 1 , x 2 , τ ) dx 2 R (\tau) = M \left[ X\left( t_1 \right) X\left( t_1 + \tau \right) \right] = \int_{-\infty} ^\ infty {\rm d} x_1 \int_{-\infty} ^\infty x_1 x_2 f \left( x_1, x_2, \tau \right) {\rm d} x_2R ( τ )=M[ X( t1)X( t1+) ] _=∫− ∞∞d x1∫− ∞∞x1x2f( x1,x2,t )d x2
2. Ergodicidade versátil
Para um processo estaticamente determinado com ergodicidade, a seguinte fórmula é válida:
x ~ = x ˉ , x 1 x 2 ~ = x 1 x 2 ‾ \tilde x = \bar x, \quad \widetilde{x_1 x_2} = \ overline{ x_1 x_2}x~=x, _x1x2
=x1x2Ao mesmo tempo, devido à ergodicidade de vários estados, o valor médio da variável aleatória não mudará devido ao período de amostragem:
x ˉ = lim T → ∞ 1 2 T ∫ − TT x ( t ) dt = lim T → ∞ 1 T ∫ 0 T x ( t ) dt \bar x = \lim _{T \rightarrow \infty} \frac{1}{2T} \int_{-T} ^T x (t) {\ rm d} t = \lim _{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T} \int_{0} ^T x (t) {\rm d} txˉ=T → ∞limão2T_ _1∫−T _Tx ( t ) dt _=T → ∞limãoT1∫0Tx ( t ) d t então a função de autocorrelação é
R ( τ ) = x 1 x 2 ‾ = lim T → ∞ 1 T ∫ 0 T x ( t ) x ( t + τ ) dt R (\tau) = \ overline{x_1 x_2} = \lim _{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T} \int _0 ^T x(t) x(t + \tau) {\rm d} tR ( τ )=x1x2=T → ∞limãoT1∫0Tx ( t ) x ( t+τ ) d t
3. Propriedades das funções de correlação
Algumas propriedades da função de correlação são fornecidas a seguir:
R xy ( τ ) = R yx ( − τ ) ;R_{xy} (\tau) = R_{yx} (-\tau);Rx e( t )=Re x( − τ ) ; R yx ( τ ) = lim T → ∞ 1 2 T ∫ − TT y ( t ) x ( t + τ ) dt ; R_{yx} (\tau) = \lim _{T \rightarrow \infty} \frac{1}{2T} \int _{-T} ^T y(t) x(t + \tau) {\rm d}t;Re x( t )=T → ∞limão2T_ _1∫−T _Ty ( t ) x ( t+τ ) d t ; R yx ( − τ ) = lim T → ∞ 1 2 T ∫ − TT y ( t ) x ( t − τ ) dt R_{yx} (-\tau) = \lim _{T \rightarrow \infty} \ frac{1}{2T} \int _{-T} ^T y(t) x(t - \tau) {\rm d} tRe x( -τ ) _=T → ∞limão2T_ _1∫−T _Ty ( t ) x ( t-τ ) d t e se definidot 1 = t − τ t_1 = t - \taut1=t-τ则
R yx ( − τ ) = lim T → ∞ 1 2 T ∫ − TT y ( t 1 + τ ) x ( t 1 ) dt = R xy ( τ ) R_{yx} (-\tau) = \ lim _{T \rightarrow \infty} \frac{1}{2T} \int _{-T} ^T y(t_1 + \tau) x(t_1) {\rm d} t = R_{xy} (\ tau)Re x( -τ ) _=T → ∞limão2T_ _1∫−T _Tvocê ( t1+t ) x ( t1) dt _=Rx e( τ )当τ = 0 \tau=0t=0时：
R x ( 0 ) = M [ X 2 ( t ) ] = x 2 ‾ = D x R_x (0) = M \left[ X^2 (t) \right] = \overline{x^2} =D_xRx( 0 )=M[ X2 (t)]=x2=Dx当τ → ∞ \tau \rightarrow \inftyt→∞时：
R x ( τ → ∞ ) = ( x ~ ) 2 = ( x ˉ ) 2 R_x ( \tau \rightarrow \infty ) = \left( \tilde x \right) ^2 = \left( \bar x \direita) ^2Rx( t→∞ )=(x~ )2=(xˉ )2 Em particular, a função de correlação do ruído branco é:
R x ( τ ) = N 2 δ ( τ ) R_x (\tau) = N^2 \delta (\tau)Rx( t )=N2d (t)_
4. Abordagem experimental para determinar a função de correlação
Para um sistema ergódico estaticamente determinado, sua função de correlação:
R x ( τ ) = X ( t ) X ( t + τ ) ‾ = lim T → ∞ 1 T ∫ 0 T x ( t ) x ( t + τ ) dt R_x(\tau) = \overline{X(t) X(t + \tau)} = \lim_{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T} \int_0 ^T x(t) x( t + \tau) {\rm d}tRx( t )=X ( t ) X ( t+t )=T → ∞limãoT1∫0Tx ( t ) x ( t+τ ) d t seu valor estimado é
R ^ x ( τ ) = 1 T ∫ 0 T x ( t ) x ( t − τ ) dt \hat R_x (\tau) = \frac{1}{T} \int_0 ^ T x(t) x(t - \tau) {\rm d} tR^x( t )=T1∫0Tx ( t ) x ( t-τ)dt在实际中，为了使得到的估计值尽量准确，应使实验时间 T T T尽可能长。
5. 通过线性动态系统的静定随机信号的特性
设某随机信号 u ( t ) u(t) u(t)，其相关函数为 R u ( τ ) R_u (\tau) Ru(τ)，则其通过具有脉冲信号 K ( t ) K(t) K(t)的系统后，得到的输出依然是随机信号：
x ( t ) = ∫ − ∞ ∞ K ( λ ) u ( t − λ ) d λ = K ( λ ) ∗ u ( λ ) (2) x(t) = \int_{-\infty} ^\infty K(\lambda) u(t - \lambda) {\rm d} \lambda = K(\lambda) * u( \lambda) \tag{2} x(t)=∫−∞∞K(λ)u(t−eu ) d eu=K ( λ )∗você ( λ )( 2 ) é a convolução dos dois.
saída de parxxx求数学期望：
M [ x ( t ) ] = ∫ − ∞ ∞ K ( λ ) M [ u ( t − λ ) ] d λ M \left[ x(t) \right] = \int _{-\ infty} ^\infty K(\lambda) M \left[ u(t - \lambda) \right] {\rm d} \lambdaM[ x ( t ) ]=∫− ∞∞K ( λ ) M[ você ( t-eu ) ]d λenquanto emt + τ t+\taut+tempo τ :
x ( t + τ ) = ∫ − ∞ ∞ K ( η ) u ( t + τ − η ) d η x(t + \tau) = \int_{-\infty} ^\infty K(\eta ) você(t + \tau - \eta) {\rm d} \etax ( t+t )=∫− ∞∞K ( η ) você ( t+t-η ) d η pode calcularxxfunção de correlação x
： R x ( τ ) = M [ x ( t ) x ( t + τ ) ] = M [ ∫ − ∞ ∞ K ( λ ) u ( t − λ ) d λ ∫ − ∞ ∞ K ( η ) você ( t + τ − η ) d η ] = ∫ − ∞ ∞ K ( λ ) d λ ∫ − ∞ ∞ M [ u ( t − λ ) u ( t + τ − η ) ] K ( η ) d η \ começar{alinhado} R_x (\tau) &= M \left[ x(t) x(t + \tau) \right] \\ &= M \left[ \int_{-\infty} ^\infty K( \ lambda) u(t - \lambda) {\rm d} \lambda \int_{-\infty} ^\infty K(\eta) u(t + \tau - \eta) {\rm d} \eta \ right ] \\ &= \int_{-\infty} ^\infty K(\lambda) {\rm d} \lambda \int_{-\infty} ^\infty M \left[ u(t - \lambda) u ( t + \tau - \eta) \right] K(\eta) {\rm d} \eta \end{aligned}Rx( t )=M[ x ( t ) x ( t+) ] _=M[ ∫− ∞∞K ( λ ) você ( t-eu ) d eu∫− ∞∞K ( η ) você ( t+t-h ) dh ] _=∫− ∞∞K ( λ ) dλ _∫− ∞∞M[ você ( t-λ ) você ( t+t-h ) ]K ( η ) dη _设t ′ = t − λ t' = t - \lambdat'=t-λ，则
M [ u ( t ′ ) u ( t ′ + λ + τ − η ) ] = R u ( τ + λ − η ) M \left[ u(t') u(t' + \lambda+ \tau - \eta) \right] = R_u (\tau + \lambda - \eta)M[ você ( t′ )você(t'+eu+t-h ) ]=Rvocê( t+eu-η )代入上式有
R x ( τ ) = ∫ − ∞ ∞ K ( λ ) d λ ∫ − ∞ ∞ R u ( τ + λ − η ) K ( η ) d η (3) R_x (\tau) = \int_{-\infty} ^\infty K(\lambda) {\rm d} \lambda \int_{-\infty} ^\infty R_u (\tau + \lambda - \eta) K(\eta) {\ rm d} \eta \tag{3}Rx( t )=∫− ∞∞K ( λ ) dλ _∫− ∞∞Rvocê( t+eu-h ) K ( h ) d h( 3 ) Além disso,xxx somauuvocê的互相关函数为(用到式(2)）：
R xu ( τ ) = M [ x ( t ) u ( t − τ ) ] = M { [ ∫ − ∞ ∞ K ( λ ) u ( t − λ ) d λ ] u ( t − τ ) } = ∫ − ∞ ∞ K ( λ ) M [ u ( t − τ ) u ( t − λ ) ] d λ \begin{aligned} R_{xu} (\tau ) &= M \left[ x(t) u(t - \tau ) \right] \\ &= M \left\{ \left[ \int_{-\infty} ^\infty K(\lambda) u( t - \lambda) {\rm d} \lambda \right] u(t - \tau) \right\} \\ &= \int_{-\infty} ^\infty K(\lambda) M \left[ você (t - \tau) você(t - \lambda) \right] {\rm d} \lambda \end{aligned}Rxu( t )=M[ x ( t ) você ( t-) ] _=M{
[ ∫− ∞∞K ( λ ) você ( t-eu ) d eu ]você ( t-) } _=∫− ∞∞K ( λ ) M[ você ( t-t ) você ( t-eu ) ]dλ _任t − τ = t ′ t - \tau = t't-t=t′ ,no caso de
R xu ( τ ) = ∫ − ∞ ∞ K ( λ ) M [ u ( t ′ ) u ( t ′ + τ − λ ) ] d λ R_{xu} (\tau) = \int_ {-\infty} ^\infty K(\lambda) M \left[ u(t') u(t' + \tau - \lambda) \right] {\rm d} \lambdaRxu( t )=∫− ∞∞K ( λ ) M[ você ( t′ )você(t'+t-eu ) ]d λ又由于M [ u ( t ′ ) u ( t ′ + τ − λ ) ] = R u ( τ − λ ) M \left[ u(t') u(t' + \tau - \lambda) \ direita] = R_u (\tau - \lambda)M[ você ( t′ )você(t'+t-eu ) ]=Rvocê( t-λ )，代入上式有
R xu ( τ ) = ∫ − ∞ ∞ K ( λ ) R u ( τ − λ ) d λ (4) R_{xu} (\tau) = \int_{-\infty} ^ \infty K(\lambda) R_u (\tau - \lambda) {\rm d} \lambda \tag{4}Rxu( t )=∫− ∞∞K ( λ ) Rvocê( t-eu ) d eu( 4 ) Na situação real, quandoλ < 0 \lambda < 0eu<0时K ( λ ) ≡ 0 K(\lambda) \equivK ( λ )≡0，故式(3)(4) também pode ser escrito como
R x ( τ ) = ∫ 0 ∞ K ( λ ) d λ ∫ 0 ∞ R u ( τ + λ − η ) K ( η ) d η (3 ) R_x (\tau) = \int_0 ^\infty K(\lambda) {\rm d} \lambda \int_0 ^\infty R_u (\tau + \lambda - \eta) K(\eta) {\rm d} \eta \tag{3}Rx( t )=∫0∞K ( λ ) dλ _∫0∞Rvocê( t+eu-h ) K ( h ) d h( 3 ) R xu ( τ ) = ∫ 0 ∞ K ( λ ) R u ( τ − λ ) d λ (4) R_{xu} (\tau) = \int_0 ^\infty K(\lambda) R_u (\ tau - \lambda) {\rm d} \lambda \tag{4}Rxu( t )=∫0∞K ( λ ) Rvocê( t-eu ) d eu( 4 )
6. Cálculo do erro quadrático médio da saída do sistema
Como mencionado anteriormente, quando τ = 0 \tau=0t=0时：
R x ( 0 ) = M [ X 2 ( t ) ] = x 2 ‾ = D x R_x (0) = M \left[ X^2 (t) \right] = \overline{x^2} =D_xRx( 0 )=M[ X2 (t)]=x2=Dx即语电影方差。上式即(用到式(4)):
R x ( 0 ) = R x ( τ ) ∣ τ = 0 = ∫ 0 ∞ K ( λ ) d λ ∫ 0 ∞ R u ( τ + λ − η ) K ( η ) d η ∣ τ = 0 = ∫ 0 ∞ K ( λ ) d λ ∫ 0 ∞ R u ( λ − η ) K ( η ) d η ⏟ R xu ( λ ) = ∫ 0 ∞ K ( λ ) R xu ( λ ) d λ (5) \begin{aligned} R_x (0) &= R_x (\tau) \big\rvert _{\tau = 0} = \int_0 ^\infty K( \ lambda) {\rm d} \lambda \int_0 ^\infty R_u (\tau + \lambda - \eta) K(\eta) {\rm d} \eta \Big\rvert _{\tau = 0} \ \ &= \int_0 ^\infty K(\lambda) {\rm d} \lambda \underbrace{\int_0 ^\infty R_u ( \lambda - \eta) K(\eta) {\rm d} \eta}_ { R_{xu} (\lambda)} \\ &= \int_0 ^\infty K(\lambda) R_{xu} (\lambda) {\rm d} \lambda \tag{5} \end{aligned}Rx( 0 )=Rx( t )
t = 0=∫0∞K ( λ ) dλ _∫0∞Rvocê( t+eu-h ) K ( h ) d h
t = 0=∫0∞K ( λ ) dλ _Rxu( eu )
∫0∞Rvocê( eu-η ) K ( η ) d η=∫0∞K ( λ ) Rxu( λ ) dλ _( 5 ) promptD
x = x 2 ‾ = ∫ 0 ∞ K ( λ ) R xu ( λ ) d λ (6) D_x = \overline{x^2} = \int_0 ^\infty K(\lambda) R_{ xu } (\lambda) {\rm d} \lambda \tag{6}Dx=x2=∫0∞K ( λ ) Rxu(λ)dλ(6)