Densidade Espectral e Precisão Dinâmica de Sistemas Estocásticos Lineares
1. Densidade espectral
A densidade espectral é a função de correlação R ( t ) R (t)Transformada de Fourierde R ( t ) :
S ( ω ) = ∫ − ∞ ∞ R ( τ ) e − j ω τ d τ (1) S(\omega) = \int_{-\infty} ^\infty R ( \ tau) e^{- j \omega \tau} {\rm d} \tau \tag{1}S ( ω )=∫− ∞∞R ( τ ) e− jω τ dτ( 1 ) Obviamente, a função de correlação é a transformada inversa de Fourier da densidade espectral:
R ( τ ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ S ( ω ) ej ω τ d ω (2) R(\tau) = \frac {1}{2\pi} \int_{-\infty} ^\infty S(\omega) e^{ j \omega \tau} {\rm d} \omega \tag{2}R ( τ )=14h _1∫− ∞∞S ( ω ) ejω t dω( 2 ) substitua− j ω τ = cos ω τ − j sin ω τ e^{- j \omega \tau} = \cos \omega \tau - j \sin \omega \taue− jω t=porqueah , não-jpecadoω τ , e observe que a função ímparsin ω τ \sin \omega \taupecadoω τ de− ∞ -\infty− ∞ para+ ∞ + \inftyA integral de + ∞ é 0, e a função parcos ω τ \cos \omega \tauporqueω τ的simetria integral，则式(1) pode ser化的：
S ( ω ) = ∫ − ∞ ∞ R ( τ ) cos ω τ d τ − j ∫ − ∞ ∞ R ( τ ) sin ω τ d τ = 2 ∫ 0 ∞ R ( τ ) cos ω τ d τ (3) S(\omega) = \int_{-\infty} ^\infty R( \tau) \cos \omega \tau {\rm d } \tau - j \int_{-\infty} ^\infty R( \tau) \sin \omega \tau {\rm d} \tau = 2\int_{0} ^\infty R( \tau) \cos \omega \tau {\rm d} \tau \tag{3}S ( ω )=∫− ∞∞R ( τ )porqueot dt _ _-j∫− ∞∞R ( τ )pecadoot dt _ _=2∫0∞R ( τ )porqueot dt _ _( 3 ) pode ser visto，镇谱 densidade是偶função：
S (- ω ) = 2 ∫ 0 ∞ R ( τ ) cos ( − ω τ ) d τ = S ( ω ) , R ( τ ) = 1 π ∫ 0 ∞ S ( ω ) cos ω τ d ω (4) S(-\omega) = 2\int_{0} ^\infty R( \tau) \cos (-\omega \tau) {\rm d } \tau = S(\omega), \\ R(\tau) = \frac{1}{\pi} \int_{0} ^\infty S( \omega) \cos \omega \tau {\rm d } \omega \tag{4}S ( -ω ) _=2∫0∞R ( τ )cos ( − ω τ ) d τ=S ( ω ) ,R ( τ )=Pi1∫0∞S ( ω )porqueo que não fazer( 4 ) .__
_ ) d ω (5) \overline{x^2} = D_x = R_x (0) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty} ^\infty S(\omega) e^{ j \omega \tau} {\rm d} \omega \bigg\rvert_{\tau = 0} = \frac{1}{\pi} \int_{0} ^\infty S( \omega) {\rm d} \omega \tag{5}x2=Dx=Rx( 0 )=14h _1∫− ∞∞S ( ω ) ejω t dω
t = 0=Pi1∫0∞S ( ω ) dω _( 5 ) No sentido físico,S ( ω ) S(\omega)S ( ω ) representa diferentes frequênciasω \omegaA distribuição de potência sob ω , enquanto sua integral representa a potência média.
Revisão R ( τ ) R(\tau)R ( τ )的公式：
R ( τ ) = lim T → ∞ 1 2 T ∫ − TT x ( t ) x ( t + τ ) dt R(\tau) = \lim_{T \rightarrow \infty} \ frac{1}{2T} \int_{-T} ^T x(t) x(t + \tau) {\rm d} tR ( τ )=T → ∞limão2T_ _1∫−T _Tx ( t ) x ( t+τ ) d t代入头发式(1)：
S ( ω ) = ∫ − ∞ ∞ R ( τ ) e − j ω τ d τ = S ( ω ) = ∫ − ∞ ∞ e − j ω τ d τ lim T → ∞ 1 2 T ∫ − TT x ( t ) x ( t + τ ) dt S(\omega) = \int_{-\infty} ^\infty R( \tau) e^{- j \omega \tau } {\rm d} \tau = S(\omega) = \int_{-\infty} ^\infty e^{- j \omega \tau} {\rm d} \tau \lim_{T \rightarrow \infty } \frac{1}{2T} \int_{-T} ^T x(t) x(t + \tau) {\rm d} tS ( ω )=∫− ∞∞R ( τ ) e− jω τ dτ=S ( ω )=∫− ∞∞e− jω τ dτT → ∞limão2T_ _1∫−T _Tx ( t ) x ( t+τ ) d t任θ = t + τ \theta = t + \taueu=t+τ，则τ = θ − t , d τ = d θ \tau = \theta - t, {\rm d} \tau = {\rm d} \thetat=eu-t ,d τ=dθ ,então
S ( ω ) = ∫ − ∞ ∞ e − j ω τ d τ lim T → ∞ 1 2 T ∫ − TT x ( t ) x ( t + τ ) dt = ∫ − ∞ ∞ e − j ω θ ej ω td θ lim T → ∞ 1 2 T ∫ − TT x ( t ) x ( θ ) dt = ∫ − ∞ ∞ x ( θ ) e − j ω θ d θ lim T → ∞ 1 2 T ∫ − TT x ( t ) ej ω tdt = lim T → ∞ 1 2 T [ ∫ − ∞ ∞ x ( θ ) e − j ω θ d θ ∫ − TT x ( t ) ej ω tdt ] = lim T → ∞ 1 2 TX ( j ω ) X ( − j ω ) \begin{aligned} S(\omega) &= \int_{-\infty} ^\infty e^{- j \omega \tau} {\rm d} \tau \lim_{T \rightarrow \infty} \frac{1}{2T} \int_{-T} ^T x(t) x(t + \tau) {\rm d} t \\ &= \int_{- \infty} ^\infty e^{- j \omega \theta} e^{ j \omega t} {\rm d} \theta \lim_{T \rightarrow \infty} \frac{1}{2T} \int_ {-T} ^T x(t) x(\theta) {\rm d} t \\ &= \int_{-\infty} ^\infty x(\theta) e^{- j \omega \theta} {\rm d} \theta \lim_{T \rightarrow \infty} \frac{1}{2T} \int_{-T} ^T x(t) e^{ j \omega t} {\rmd} t \\ &= \lim_{T \rightarrow \infty} \frac{1}{2T} \left[ \int_{-\infty} ^\infty x(\theta) e^{- j \omega \ theta} {\rm d} \theta \int_{-T} ^T x(t) e^{ j \omega t} {\rm d} t \right] \\ &= \lim_{T \rightarrow \infty } \frac{1}{2T} X( j \omega) X \left( -j\omega \right) \end{aligned}S ( ω )=∫− ∞∞e− jω τ dτT → ∞limão2T_ _1∫−T _Tx ( t ) x ( t+τ ) d t=∫− ∞∞e− jω θ ejω t deuT → ∞limão2T_ _1∫−T _Tx ( t ) x ( θ ) d t=∫− ∞∞x ( θ ) e− jωθdθ _ __T → ∞limão2T_ _1∫−T _Tx ( t ) ejω t dt=T → ∞limão2T_ _1[ ∫− ∞∞x ( θ ) e− jωθdθ _ __∫−T _Tx ( t ) ejω t dt]=T → ∞limão2T_ _1X ( jω ) X( -jω ) _即：
S ( ω ) = lim T → ∞ 1 2 T ∣ X ( j ω ) ∣ 2 (6) S(\omega) = \lim_{T \rightarrow \infty} \frac{1}{2T} \ esquerda | X(j\omega) \right|^2 \tag{6}S ( ω )=T → ∞limão2T_ _1∣ X ( jω ) _2( 6 )
Exemplo: Seja a função de correlação R ( τ ) = e − α ∣ τ ∣ R(\tau) = e^{- \alpha \lvert \tau \rvert}R ( τ )=e− α ∣ τ ∣ , ondeα > 0 \alpha > 0a>0 . mas
S x ( ω ) = ∫ − ∞ ∞ e − α ∣ τ ∣ d τ = ∫ − ∞ 0 e α τ e − j ω τ d τ + ∫ 0 ∞ e − α τ e − j ω τ d τ = ∫ − ∞ 0 e ( α − j ω ) τ d τ + ∫ 0 ∞ e − ( α + j ω ) τ d τ = 1 α − j ω e α − j ω ∣ − ∞ 0 + − 1 α + j ω e α − j ω ∣ 0 ∞ = 1 α − j ω + 1 α + j ω = 2 α α 2 + ω 2 \begin {aligned} S_x (\omega) &= \int_{-\infty} ^\infty e^{- \alpha \lvert \tau \rvert} {\rm d} \tau \\ &= \int_{-\infty} ^0 e^{\alpha \tau } e^{-j \omega \tau } {\rm d} \tau + \int_{0} ^\infty e^{-\alpha \tau } e^{-j \omega \tau } {\rm d}\tau\&= \int_{ - \infty} ^0 e^{ \left( \alpha - j \omega \right) \tau } {\rm d} \tau + \int_{0} ^\infty e^{- \left( \alpha + j \omega \right) \tau} {\rm d} \tau \\ &= \frac{1}{\alpha-j\omega} e^{\alpha-j\omega}\bigg\rvert _{- \ infty} ^0 + \frac{-1}{\alpha + j \omega} e^{ \alpha - j \omega} \bigg\rvert _{0} ^\infty \\ &=\frac{1}{\alpha - j \omega} + \frac{1}{\alpha + j \omega} \\ &= \frac{2\alpha}{\alpha^2 + \omega^2} \ fim{alinhado}Sx( ah )=∫− ∞∞e− α ∣ τ ∣ dτ=∫− ∞0eem e− jω τ dτ+∫0∞e− em e− jω τ dτ=∫− ∞0e( uma − jω ) τdτ+∫0∞e− ( α + jω ) τ dτ=a-jω1euma − jω
− ∞0+a+jω− 1euma − jω
0∞=a-jω1+a+jω1=a2+oh22 uma
De acordo com a fórmula de definição (1), é óbvio que a expressão da densidade de espectro cruzado pode ser obtida
: S xu ( ω ) = ∫ − ∞ ∞ R xu ( τ ) e − j ω τ d τ (7) S_{xu} (\omega ) = \int_{-\infty} ^\infty R_{xu}( \tau) e^{- j \omega \tau} {\rm d} \tau \tag{7}Sxu( ah )=∫− ∞∞Rxu( t ) e− jω τ dτ( 7 )及
R xu ( τ ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ S xu ( ω ) ej ω τ d ω (8) R_{xu}(\tau) = \frac{1}{2\pi} \ int_{-\infty} ^\infty S_{xu}(\omega) e^{ j \omega \tau} {\rm d} \omega \tag{8}Rxu( t )=14h _1∫− ∞∞Sxu( o ) ejω t dω( 8 )
2. Densidade espectral de um sinal aleatório na saída de um sistema linear
O terminal de saída xx é dado na fórmula (3) das Notas de Dinâmica Estatística (1) Transformação de Sinais Aleatórios de Sistemas Dinâmicos no Domínio do Tempo (para auto-retenção)as funções relevantes de x são calculadas:
R x ( τ ) = ∫ − ∞ ∞ K ( λ ) d λ ∫ − ∞ ∞ R u ( τ + λ − η ) K ( η ) d η R_x (\tau) = \int_ {-\infty} ^\infty K(\lambda) {\rm d} \lambda \int_{-\infty} ^\infty R_u (\tau + \lambda - \eta) K(\eta) {\ rm d } \etaRx( t )=∫− ∞∞K ( λ ) dλ _∫− ∞∞Rvocê( t+eu-η ) K ( η ) d η De acordo com a fórmula de definição (1) neste artigo, o terminal de saídaxxx的长谱densidade的份
S x ( ω ) = ∫ − ∞ ∞ e − j ω τ R x ( τ ) d τ = ∫ − ∞ ∞ e − j ω τ d τ ∫ − ∞ ∞ K ( λ ) d λ ∫ − ∞ ∞ R u ( τ + λ − η ) K ( η ) d η \begin{aligned} S_x(\omega) &= \int_{-\infty} ^\infty e^{- j \omega \ tau} R_x( \tau) {\rm d} \tau \\ &= \int_{-\infty} ^\infty e^{- j \omega \tau} {\rm d} \tau \int_{-\ infty} ^\infty K(\lambda) {\rm d} \lambda \int_{-\infty} ^\infty R_u (\tau + \lambda - \eta) K(\eta) {\rm d} \eta \end {alinhado}Sx( ah )=∫− ∞∞e− jω τR _x( t ) d t=∫− ∞∞e− jω τ dτ∫− ∞∞K ( λ ) dλ _∫− ∞∞Rvocê( t+eu-η ) K ( η ) d η令ξ = τ + λ − η \xi = \tau + \lambda - \etaX=t+eu-η，则d τ = d ξ {\rm d} \tau = {\rm d} \xid τ=d ξ, a fórmula acima é
S x ( ω ) = ∫ − ∞ ∞ e − j ω τ d τ ∫ − ∞ ∞ K ( λ ) d λ ∫ − ∞ ∞ R u ( τ + λ − η ) K ( η ) d η = ∫ − ∞ ∞ e − j ω ξ e − j ω η ej ω λ d ξ ∫ − ∞ ∞ K ( λ ) d λ ∫ − ∞ ∞ R u ( ξ ) K ( η ) d η = ∫ − ∞ ∞ e − j ω η K ( η ) d η ⏟ W ( j ω ) ∫ − ∞ ∞ ej ω λ K ( λ ) d λ ⏟ W ( − j ω ) ∫ − ∞ ∞ e − j ω ξ R u ( ξ ) d ξ ⏟ S você ( ω ) = W ( j ω ) W ( − j ω ) S você ( ω ) = ∣ W ( j ω ) ∣ 2 S você ( ω ) \begin{aligned} S_x(\omega) &= \int_ {-\infty} ^\infty e^{- j \omega \tau} {\rm d} \tau \int_{-\infty} ^\infty K(\lambda) {\rm d} \lambda \int_{ -\infty} ^\infty R_u (\tau + \lambda - \eta) K(\eta) {\rm d} \eta \\ &= \int_{-\infty} ^\infty e^{- j \ ômega \xi} e^{- j \omega \eta} e^{ j \omega \lambda} {\rm d} \xi \int_{-\infty} ^\infty K(\lambda) {\rm d} \lambda \int_{-\infty} ^\infty R_u (\xi) K(\eta) {\rm d} \eta \\ &= \underbrace{ \int_{-\infty} ^\infty e^{- j\ômega\eta} K(\eta) {\rm d} \eta}_{W(j \omega)} \underbrace{ \int_{-\infty} ^\infty e^{ j \omega \lambda} K(\ lambda) {\rm d} \lambda }_{W(-j \omega)} \underbrace{\int_{-\infty} ^\infty e^{- j \omega \xi} R_u (\xi) {\ rm d} \xi}_{S_u (\omega)} \\ &= W(j \omega) W(-j \omega) S_u (\omega) \\ &= \big\lvert W ( j\omega) \big\rvert^2 S_u (\omega) \end{alinhado}Sx( ah )=∫− ∞∞e− jω τ dτ∫− ∞∞K ( λ ) dλ _∫− ∞∞Rvocê( t+eu-h ) K ( h ) d h=∫− ∞∞e− jω ξ e− jω h ejol dx∫− ∞∞K ( λ ) dλ _∫− ∞∞Rvocê( ξ ) K ( η ) d η=W ( jω )
∫− ∞∞e− jω η K(η)dηW ( -jω ) _
∫− ∞∞ejωl K(λ)dλSvocê( ah )
∫− ∞∞e−jωξR _ _ _você( ξ ) dξ _=W ( jω ) W ( − jω ) Svocê( ah )=
W ( jω )
2S _você( ah )即
S x ( ω ) = ∣ W ( j ω ) ∣ 2 S u ( ω ) (9) S_x(\omega) = \big\lvert W ( j\omega) \big\rvert^2 S_u (\omega) \tag{9}Sx( ah )=
W ( jω )
2S _você( ah )( 9 ) Da mesma forma, a densidade de espectro cruzado
S xu ( ω ) = W ( j ω ) S u ( ω ) (10) S_{xu}(\omega) = W ( j\omega) S_u (\omega) \ etiqueta{10}Sxu( ah )=W ( jω ) Svocê( ah )( 10 )
Obviamente, para intensidadeN 2 = 1 N^2=1N2=1 ruído branco, éS u ( ω ) = 1 S_u (\omega) = 1Svocê( ah )=1，则S xu ( ω ) = W ( j ω ) , S x ( ω ) = ∣ W ( j ω ) ∣ 2 S_{xu}(\omega) = W(j \omega), S_x(\omega) = \big\lvert W ( j\omega) \big\rvert^2Sxu( ah )=C ( jω ) ,Sx( ah )=
W ( jω )
2 , pode-se observar que o ruído branco com intensidade 1 pode ser carregado na extremidade de entrada, e medindo a densidade espectral S x ( ω ) S_x(\omega) naextremidade de saídaSx( ω ) , a função de transferênciaW do sistema pode ser obtida ( j ω ) W(j \omega)W ( jω ) tem forte valor de aplicação.