タイトル：TOPSISアルゴリズム
DATE：2020年2月24日午前11時18分06秒
カテゴリー：数学的モデリングの
タグ：[評価モデル、MATLAB]
MathJax：trueに
定義
1981年最初の提案TOPSISにおけるCLHwangとK.Yoon（理想的な解決策に類似順選好する技術が）、しばしば国内の脱距離法の長所と短所と呼ばTOPSIS方法、に変換することができます。
TOPSIS方法は総合評価の一般的な方法であり、原データの情報の完全な使用は、結果が正確にそれぞれの評価プログラムとの間の差を反映することができます。
元のデータマトリックス型統一インデックス最初（通常正治療）のための基本的なプロセスは、行列の前方に取得し、その後フォワード行列の各インデックス次元の効果を除去するために正規化され、そして限定されたプログラムを見つけます次いで、最適解と最悪プログラム、及び各オブジェクトと最適解の評価と長所と短所を評価するための基礎として最悪プログラム、各評価オブジェクトへのアクセスと最適解の相対的近接性との間の距離を計算します。この方法は、厳密に制限されたサンプルサイズおよびデータ分散、データ算出簡単ではありません。
例
次の表20の河川の水質の評価。注：より高いより良い酸素、pH値は、より良好近い7、総菌数、よりよい;植物栄養素は、最適量は10〜20の間であった、または10以上、20以上が良好ではありません。
ステップ
最初のステップ：正のオリジナルマトリックス
4つの最も一般的な指標：
| インデックス名 | データ機能 | 例 |
|---|---|---|
| 非常に大きな（及び効率）指標 | より大きな（より）が優れています | パフォーマンス、GDP成長率、企業収益 |
| 非常に小さい（コストタイプ）指数 | 小さい（少ない）より良いです | コスト、不良率、汚染の度合い |
| 中級指標 | 一定値にできるだけ近いです | 水質評価のPH値 |
| インターバル・インジケータ | 最高の範囲に落ちました | 体温、水中での植物栄養素含有量 |
前方元の行列のいわゆる、それは非常に大きな指標に統合の種類の指標の全てを取得することです。（フォーマット変換機能は、一意ではないかもしれません）
非常に小さなインデックス - >非常に大きいインデックス
非常に小さな非常に大きいインデックスインデックス変換式へ：
\ [X-MAX-\]
すべての要素が正である場合は、1 / Xを使用することができます
中間指標 - >非常に大きいインデックス
{ \（X_ {I} \） }中間インデックスシーケンスのセット、および最良の値である（X_ {ベスト} \）\、順方向の下記式：
\ [M = \最大\左\ {\左| X_ {I} -x _ {\ {テキスト最高}} \権| \ \右}、\クワッド\チルダ{X} _ {I} = 1- \ FRAC {\左| X_ {I} - X _ {\ {テキスト}最高
} \権|} {M} \] 例えば：
インターバル・インデックス - >非常に大きいインデックス
{ \（X_は{I}が\）：}中間インデックスシーケンスのセットであり、フォワード下記式の次に、区間[a、b]は、のほとんどは
A- {\ \ [\ M = \ maxは、左\分\ \ {X_ {左最大\が\ {X_ {I} \右\}を左\、I} \右\を} - B \右\}、\クワッド\チルダ{X} _ {I} = \左\ {{アレイ} {始める\ LL} {1- \ FRAC {AX} {M}}＆{X <A} \\ {1}および{A \当量X \当量B} \\ {1- \ FRAC {XB} {M} }＆{X> B} \端{アレイ} \右。\]
ステップ2：マトリックスの標準化を進めます
異なる指標の無次元の影響を排除するために、我々は前方指向行列を正規化しておく必要があります。
假设有n个要评价的对象，m个评价指标（已经正向化了）构成的正向化矩阵如下：
\[ A=\begin{bmatrix}a_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{bmatrix} \]
那么，对其标准化的矩阵记为Z，Z中的每一个元素：
\[ z_{ij}=a_{ij}/ \sqrt{\sum_{i=1}^{n}a_{ij}^{2} } \]
\[ 每一个元素/\sqrt{V其所在列的元素的平方和} \]
注意：标准化的方法有很多种，其主要目的就是去除量纲的影响，未来我们还可能见到更多 种的标准化方法，例如：(x‐x的均值)/x的标准差；具体选用哪一种标准化的方法在多数情况下 并没有很大的限制，这里我们采用的是前人的论文中用的比较多的一种标准化方法。
第三步：计算得分并归一化
计算评分的公式
\[ \frac{x-min}{max-min} \]
解释原因
（1）比较的对象一般要远大于两个。（例如比较一个班级的成绩）
（2）比较的指标也往往不只是一个方面的，例如成绩、工时数、课 外竞赛得分等。
（3）有很多指标不存在理论上的最大值和最小值，例如衡量经济增 长水平的指标：GDP增速
更深本质
\[ \frac{x-min}{max-min}=\frac{x-min}{(max-x)+(x-min)}\\ =\frac{x与最小值的距离}{x与最大值的距离+x与最小值的距离} \]
注意：要区别开归一化和标准化。归一化的计算步骤也可以 消去量纲的影响，但更多时候，我们进行归一化的目的是为 了让我们的结果更容易解释，或者说让我们对结果有一个更 加清晰直观的印象。例如将得分归一化后可限制在0‐1这个区 间，对于区间内的每一个得分，我们很容易的得到其所处的比例位置。
可以使用层次分析法给这m个评价指标确定权重：
\[ \sum_{j=1}^{m}w_{j}=1 \]
层次分析法的主观性太强了，更推荐大家使用熵权法来进行客观赋值
代码
topsis.m
%% 第一步：把数据复制到工作区，并将这个矩阵命名为X
% （1）在工作区右键，点击新建（Ctrl+N)，输入变量名称为X
% （2）在Excel中复制数据，再回到Excel中右键，点击粘贴Excel数据（Ctrl+Shift+V）
% （3）关掉这个窗口，点击X变量，右键另存为，保存为mat文件（下次就不用复制粘贴了，只需使用load命令即可加载数据）
% （4）注意，代码和数据要放在同一个目录下哦，且Matlab的当前文件夹也要是这个目录。
clear;clc
load data_water_quality.mat
%% 注意：如果提示: 错误使用 load，无法读取文件 'data_water_quality.mat'。没有此类文件或目录。
% 那么原因是因为你的Matlab的当前文件夹中不存在这个文件
% 可以使用cd函数修改Matlab的当前文件夹
% 比如说，我的代码和数据放在了: D:第2讲.TOPSIS法（优劣解距离法）\代码和例题数据
% 那么我就可以输入命令：
% cd 'D:第2讲.TOPSIS法（优劣解距离法）\代码和例题数据'
% 也可以看我更新的视频：“更新9_Topsis代码为什么运行失败_得分结果怎么可视化以及权重的确定如何更加准确”，里面有介绍
%% 第二步：判断是否需要正向化
[n,m] = size(X);
disp(['共有' num2str(n) '个评价对象, ' num2str(m) '个评价指标'])
Judge = input(['这' num2str(m) '个指标是否需要经过正向化处理，需要请输入1 ，不需要输入0： ']);
if Judge == 1
Position = input('请输入需要正向化处理的指标所在的列，例如第2、3、6三列需要处理，那么你需要输入[2,3,6]： '); %[2,3,4]
disp('请输入需要处理的这些列的指标类型（1：极小型， 2：中间型， 3：区间型） ')
Type = input('例如：第2列是极小型，第3列是区间型，第6列是中间型，就输入[1,3,2]： '); %[2,1,3]
% 注意，Position和Type是两个同维度的行向量
for i = 1 : size(Position,2) %这里需要对这些列分别处理，因此我们需要知道一共要处理的次数，即循环的次数
X(:,Position(i)) = Positivization(X(:,Position(i)),Type(i),Position(i));
% Positivization是我们自己定义的函数，其作用是进行正向化，其一共接收三个参数
% 第一个参数是要正向化处理的那一列向量 X(:,Position(i)) 回顾上一讲的知识，X(:,n)表示取第n列的全部元素
% 第二个参数是对应的这一列的指标类型（1：极小型， 2：中间型， 3：区间型）
% 第三个参数是告诉函数我们正在处理的是原始矩阵中的哪一列
% 该函数有一个返回值，它返回正向化之后的指标，我们可以将其直接赋值给我们原始要处理的那一列向量
end
disp('正向化后的矩阵 X = ')
disp(X)
end
%% 作业：在这里增加是否需要算加权
% 补充一个基础知识：m*n维的矩阵A 点乘 n维行向量B，等于这个A的每一行都点乘B
% （注意：2017以及之后版本的Matlab才支持，老版本Matlab会报错）
% % 假如原始数据为：
% A=[1, 2, 3;
% 2, 4, 6]
% % 权重矩阵为：
% B=[ 0.2, 0.5 ,0.3 ]
% % 加权后为：
% C=A .* B
% 0.2000 1.0000 0.9000
% 0.4000 2.0000 1.8000
% 类似的，还有矩阵和向量的点除， 大家可以自己试试计算A ./ B
% 注意，矩阵和向量没有 .- 和 .+ 哦 ，大家可以试试，如果计算A.+B 和 A.-B会报什么错误。
%% 这里补充一个小插曲
% % 在上一讲层次分析法的代码中，我们可以优化以下的语句：
% % Sum_A = sum(A);
% % SUM_A = repmat(Sum_A,n,1);
% % Stand_A = A ./ SUM_A;
% % 事实上，我们把第三行换成：Stand_A = A ./ Sum_A; 也是可以的哦
% % (再次强调，新版本的Matlab才能运行哦)
%% 让用户判断是否需要增加权重
disp("请输入是否需要增加权重向量，需要输入1，不需要输入0")
Judge = input('请输入是否需要增加权重： ');
if Judge == 1
disp(['如果你有3个指标，你就需要输入3个权重，例如它们分别为0.25,0.25,0.5, 则你需要输入[0.25,0.25,0.5]']);
weigh = input(['你需要输入' num2str(m) '个权数。' '请以行向量的形式输入这' num2str(m) '个权重: ']);
OK = 0; % 用来判断用户的输入格式是否正确
while OK == 0
if abs(sum(weigh) - 1)<0.000001 && size(weigh,1) == 1 && size(weigh,2) == m % 这里要注意浮点数的运算是不精准的。
OK =1;
else
weigh = input('你输入的有误，请重新输入权重行向量: ');
end
end
else
weigh = ones(1,m) ./ m ; %如果不需要加权重就默认权重都相同，即都为1/m
end
%% 第三步：对正向化后的矩阵进行标准化
Z = X ./ repmat(sum(X.*X) .^ 0.5, n, 1);
disp('标准化矩阵 Z = ')
disp(Z)
%% 第四步：计算与最大值的距离和最小值的距离，并算出得分
D_P = sum([(Z - repmat(max(Z),n,1)) .^ 2 ] .* repmat(weigh,n,1) ,2) .^ 0.5; % D+ 与最大值的距离向量
D_N = sum([(Z - repmat(min(Z),n,1)) .^ 2 ] .* repmat(weigh,n,1) ,2) .^ 0.5; % D- 与最小值的距离向量
S = D_N ./ (D_P+D_N); % 未归一化的得分
disp('最后的得分为：')
stand_S = S / sum(S)
[sorted_S,index] = sort(stand_S ,'descend')
% A = magic(5) % 幻方矩阵
% M = magic(n)返回由1到n^2的整数构成并且总行数和总列数相等的n×n矩阵。阶次n必须为大于或等于3的标量。
% sort(A)若A是向量不管是列还是行向量，默认都是对A进行升序排列。sort(A)是默认的升序，而sort(A,'descend')是降序排序。
% sort(A)若A是矩阵，默认对A的各列进行升序排列
% sort(A,dim)
% dim=1时等效sort(A)
% dim=2时表示对A中的各行元素升序排列
% A = [2,1,3,8]
% Matlab中给一维向量排序是使用sort函数：sort（A），排序是按升序进行的，其中A为待排序的向量；
% 若欲保留排列前的索引，则可用 [sA,index] = sort(A,'descend') ，排序后，sA是排序好的向量，index是向量sA中对A的索引。
% sA = 8 3 2 1
% index = 4 3 1 2
Inter2Max.m
function [posit_x] = Inter2Max(x,a,b)
r_x = size(x,1); % row of x
M = max([a-min(x),max(x)-b]);
posit_x = zeros(r_x,1); %zeros函数用法: zeros(3) zeros(3,1) ones(3)
% 初始化posit_x全为0 初始化的目的是节省处理时间
for i = 1: r_x
if x(i) < a
posit_x(i) = 1-(a-x(i))/M;
elseif x(i) > b
posit_x(i) = 1-(x(i)-b)/M;
else
posit_x(i) = 1;
end
end
endMid2Max.m
function [posit_x] = Mid2Max(x,best)
M = max(abs(x-best));
posit_x = 1 - abs(x-best) / M;
endMin2Max.m
function [posit_x] = Min2Max(x)
posit_x = max(x) - x;
%posit_x = 1 ./ x; %如果x全部都大于0，也可以这样正向化
endPositivization.m
% function [输出变量] = 函数名称(输入变量）
% 函数的中间部分都是函数体
% 函数的最后要用end结尾
% 输出变量和输入变量可以有多个，用逗号隔开
% function [a,b,c]=test(d,e,f)
% a=d+e;
% b=e+f;
% c=f+d;
% end
% 自定义的函数要单独放在一个m文件中，不可以直接放在主函数里面（和其他大多数语言不同）
function [posit_x] = Positivization(x,type,i)
% 输入变量有三个：
% x：需要正向化处理的指标对应的原始列向量
% type： 指标的类型（1：极小型， 2：中间型， 3：区间型）
% i: 正在处理的是原始矩阵中的哪一列
% 输出变量posit_x表示：正向化后的列向量
if type == 1 %极小型
disp(['第' num2str(i) '列是极小型，正在正向化'] )
posit_x = Min2Max(x); %调用Min2Max函数来正向化
disp(['第' num2str(i) '列极小型正向化处理完成'] )
disp('~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~分界线~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~')
elseif type == 2 %中间型
disp(['第' num2str(i) '列是中间型'] )
best = input('请输入最佳的那一个值： ');
posit_x = Mid2Max(x,best);
disp(['第' num2str(i) '列中间型正向化处理完成'] )
disp('~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~分界线~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~')
elseif type == 3 %区间型
disp(['第' num2str(i) '列是区间型'] )
a = input('请输入区间的下界： ');
b = input('请输入区间的上界： ');
posit_x = Inter2Max(x,a,b);
disp(['第' num2str(i) '列区间型正向化处理完成'] )
disp('~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~分界线~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~')
else
disp('没有这种类型的指标，请检查Type向量中是否有除了1、2、3之外的其他值')
end
end
结果
正向化后的矩阵 X =
4.6900 0.7172 3.0000 1.0000
2.0300 0.4069 35.0000 0.6940
9.1100 0.5241 8.0000 0.9058
8.6100 0.9655 8.0000 0.4443
7.1300 0.6552 4.0000 0.6914
2.3900 0.8414 16.0000 0.6007
7.6900 0.8552 16.0000 0.6551
9.3000 0.8690 27.0000 0
5.4500 0.5724 49.0000 1.0000
6.1900 0.8138 37.0000 0.7848
7.9300 0.6345 45.0000 0.6992
4.4000 0.8069 37.0000 0.5419
7.4600 0.1448 31.0000 1.0000
2.0100 0 7.0000 0.4546
2.0400 0.5862 31.0000 1.0000
7.7300 0.4069 2.0000 1.0000
6.3500 0.6000 29.0000 0.1824
8.2900 0.0276 15.0000 1.0000
3.5400 0.8138 0 0.4088
7.4400 0.4897 46.0000 0.2731
请输入是否需要增加权重向量，需要输入1，不需要输入0
请输入是否需要增加权重： 1
如果你有3个指标，你就需要输入3个权重，例如它们分别为0.25,0.25,0.5, 则你需要输入[0.25,0.25,0.5]
你需要输入4个权数。请以行向量的形式输入这4个权重: [0.25,0.25,0.25,0.25]
标准化矩阵 Z =
0.1622 0.2483 0.0245 0.3065
0.0702 0.1408 0.2863 0.2127
0.3150 0.1814 0.0655 0.2776
0.2977 0.3342 0.0655 0.1361
0.2466 0.2268 0.0327 0.2119
0.0826 0.2912 0.1309 0.1841
0.2659 0.2960 0.1309 0.2008
0.3216 0.3008 0.2209 0
0.1885 0.1981 0.4009 0.3065
0.2141 0.2817 0.3027 0.2405
0.2742 0.2196 0.3682 0.2143
0.1522 0.2793 0.3027 0.1661
0.2580 0.0501 0.2536 0.3065
0.0695 0 0.0573 0.1393
0.0705 0.2029 0.2536 0.3065
0.2673 0.1408 0.0164 0.3065
0.2196 0.2077 0.2373 0.0559
0.2867 0.0095 0.1227 0.3065
0.1224 0.2817 0 0.1253
0.2573 0.1695 0.3763 0.0837
最后的得分为：
stand_S =
0.0451
0.0478
0.0485
0.0488
0.0431
0.0448
0.0539
0.0510
0.0681
0.0684
0.0702
0.0591
0.0527
0.0192
0.0533
0.0434
0.0466
0.0438
0.0358
0.0565
sorted_S =
0.0702
0.0684
0.0681
0.0591
0.0565
0.0539
0.0533
0.0527
0.0510
0.0488
0.0485
0.0478
0.0466
0.0451
0.0448
0.0438
0.0434
0.0431
0.0358
0.0192
index =
11
10
9
12
20
7
15
13
8
4
3
2
17
1
6
18
16
5
19
14