1グループ
グループ$（G、CDOT）$：閉じられ、結合性、アイデンティティ要素、逆
1.1置換群
置換された全単射の$ PI：[n]は$ $ CDOT [N-] $、複合機能、すなわち$（パイCDOTシグマ）で置換されている（私の間に画定されたオペレータへ ）= PI（シグマ（I））$
$ S_N $対称グループ
S_Nは[N-] $ $ $すべての置換のセット$を表す。S_N $ $容易$ $員N-呼ばれるグループ、構成する複合CDOT $ $の動作及び機能を確認するために対称群を。
$ $ S_Nサブグループと呼ばれる置換基。
環状基$ C_N $
シグマは、特殊な置換$ $満足I FORALL $、〜シグマを定義（I {| TGE 0シグマ^ T} $、$ C_N $ N $、$ C_N =）=（I + 1）MOD $と呼ばれる$ n次ループグループ $ $、$ $ n側正多角形に、シグマ・ジェネレータ回転対称。
二面体群$ D_n $
特別交換$ Rhoの$満足$ FORALL IINの定義[n]は、〜ロー（I）= NI-1 $。 ザ・$ Rhoの$追加$ C_N $が得られた二面体群 $ D_n $を。ポジティブ$ N- $側ターンと回転操作対称群
サイクル分解
複合サイクルとして表さ等価の置換
1.2オペレーティング・グループ
例：ネックレスの色
問題：$ N $ネックレスビーズは、各ビーズは、正式な一つ$ X :.で$ M $色である[N] [m]に$、N- $ $に割り当て$ M $即ち、色。位置$ X = {X [n]は[M]へ}このような割り当てのために設定$。
2つの対称操作を考慮してください。
- 回転：環状基$ C_N $
- [回転フリップ：二面体群$ D_n $
ネックレス操作が$ X $のグループ操作として記載されている。置換基$ G $、G $および$ XIN X $の任意の$ PIは、グループ操作$ picirc xは$を$として定義される（PI CIRC X）（I） = X（PI（i））を$
2バーンサイドの補題
2.1トラック（軌道）
定義とプロパティを次のように
トラックは、操作中に$ G $によって同じ等価クラスエレメント交換可能で、等価クラスであると理解されます。
2.2不変集合および安定剤
$ G $ :.演技セットG $、$ XIN X $ piin置換群$の$ X $上。
- $パイ$的不変集合：$ X_pi = {XIN X | picirc X = X} $
- $ X $的安定剤：$ G_x = {G piin | PI CIRC X = X} $
補題：
証明：
$のGx = {X_1、X_2、cdots、X_T} $、$ P = {pi_1、pi_2、cdots、pi_t} $、$其中pi_icirc X = X_I、〜iは= 1,2、cdots、T $
設定と$ G $ $ Ptimes G_x $全単射：
- G $ piin任意の$について、$ X_Iは$ $ picirc X = X_I $を持っています
- （{ - 1} CDOTのPI pi_i ^）CIRC X = X $ $ pi_icirc X = X_I $ので、$ pi_icirc X = picirc X $ので、$ため
- 注$シグマ= pi_i ^ { - 1} PI $、$ G_xにおけるその後$ pi_icdotシグマ= PI $、$シグマCIRC X = X $、すなわち$シグマ。
- 各従って$のpiin 大きい列 合成ポリAカウント数学理論における異なるペア$（pi_i、シグマ）に対応するG $ Ptimes G_x $
- P $ pi_iinと$ G_x $ sigmain各$ため、PI = pi_icdot sigmain G $が$
$ pi_isigma = pi_jtau $、そこ$（pi_icdotシグマ）CIRC X = X_I $、$（pi_jcdotタウ）CIRCのX = X - jが$、そう$ X_I = X - jが$、$ pi_i = pi_j $、$タウ=シグマ$
だから、ダブルショットで、証明されました。
トラックカウント2.3
補題のバーンサイド：トラック数（表記$ | X / G | $）があります
証明：
记$ A（PI、X）= {}ケース1＆picirc X = X開始\ 0〜そうでありません。端{ケース} $
$ Sum_ {G piin} | X_pi | A（PI、X）= sum_ {新X} {G piin} = sum_ {G piin} sum_ {新X} A（PI、X）= sum_ {新X} sum_ | G_x | $。
そして、$ {| | X / G}トラック$ X_1、cdots、X_のように定義されます
そこに、上記の補題を使います
カウントの3ポリAの理論
3.1サイクルインデックス
いくつかの色の$ $ Xについては、一定の下で、G $ piin X $ $ $場合は、各サークルの$ PI内のすべての位置が同じ色を持っている必要があります。つまり、$ $ PIが分解される場合、$ X_pi | | = M ^ k個の$ $ kは、円、その後、$を$。
で置換群$ G $を定義サイクルインデックス：
任意G $ piin、PI $ $ $ K $は$ L_iをある周期の積、及びサイクル$ I $ $の長さである場合、$ので用
$ G $は、サイクルインデックスがあります
3.2ポリアの列挙式
任意のタプル$ vについて=（N_1、N_2、cdots、n_m）$を満たす$ N_1 + N_2 + cdots + n_m = N $と$ n_ige 0〜1LE ILE M $、$ I $色ビーズが$を有する表しますn_i $。
パターン在庫：
$ A_v $多変量生成機能
ポリアの列挙式：
$ M $色着色非等価$ $ n番目のオブジェクトパターンインベントリがあります
次のように証明のアイデアは、次のとおりです。
$ X ^ V = {X [n]は[M]へ| FORALL IIN [m]は、X ^ { - 1}（I）= n_i} $ $ I $の色を表す$ n_i $着色スキームのセットを表示（すべてが考慮され、それが対称とみなすことができます）
$ X_pi ^ V = {xinとX ^ V | picirc X = X} $
（バーンサイドの補題を）証明するために、
再び証明しました
$中間値を考える（Y_1 ^ {L_1} + Y_2 ^ {L_1} + cdots、y_m ^ {L_1}）Y_1 ^ {L_2} + Y_2 ^ {L_2} + cdots、y_m ^ {L_2}）cdots（Y_1 ^ { l_m} + Y_2 ^ {l_m} + cdots、y_m ^ {}）は約$、等しく、式l_mです。
一緒に、すなわち証拠。