ユークリッドアルゴリズム（GCD）
\（GCD（A、B）= GCD（B、\％のB）\）
拡張ユークリッドアルゴリズム（EXGCD）
不定方程式：$斧+による= GCD（a、b）は$
特別なソリューション
場合（B = 0 \）\時間、\（GCD（A、0）= A \）溶液を与える、よう\（X = 1、Yが= \ 0）
セット：
\ [\開始{ケース} ax_1 + by_1 = GCD（a、b）は\\ bx_2 +（\％のB）Y_2 = GCD（B、\％のB）\端{ケース} \]
因为\（GCD（A、B）= GCD（B、\％のB）\） 、所以：
\ [\ {整列}開始ax_1 + by_1＆= bx_2 +（\％のB）Y_2 \\＆= bx_2 +（ - \左\ lfloor / bの\ rfloor * B \右）Y_2 \\＆= bx_2 + ay_2 - \ lfloor / bの\右\ rfloor * by_2 \\＆= ay_2 + B（X_2 \左- \左\ lfloor A / B \右\ rfloor Y_2）\端{整列} \]
因此\ [ax_1 + by_1 = ay_2 + B（X_2 - \ \ lfloor A / Bを左\右\ rfloor Y_2）\]
特解：
\ [\ {ケースを}開始X_1 = Y_2 \\ Y_1 = X_2 - * \左\ lfloor rfloor \ / bの\右Y_2 \\ \端{ケース} \]
void exgcd(int a, int b, int &g, int &x, int &y){
if(!b){
g = a; x = 1, y = 0;
return;
}
exgcd(b,a%b,g,y,x);
y -= x*(a/b);
}一般的な解決策を模索
提供$ K_1 = A / GCD（ a、b）は、K_2 = B / GCD（a、b）は、$。\（K_1、K_2 \）必須互いに素
分割一方式の両辺に、その場で\（GCD（A、B）\） 、精製し\（/ GCD（A、B）=によるAX / GCD（A、B）+。1 \） 、即ち$ k_1x + k_2y = 1 $
文献溶液で明らかに他の解決策\（X、Y \）サイズに対向変化。セット\（X \）を増加させる（D_1 \）\ \、（Y \）低減\（D_2 \）を、利用可能な[K_1（X + D_1）\ - = 1 \ + K_2（D_2 Y）]
ための（+ k_2y k_1x。1 = \）\、そう[k_1d_1 = k_2d_2 \] \
（K_1、K_2）互いに素ので、そう[D_1 = K_2、D_2 = \ K_1 \]
したがって、ソリューションは、一般的な解決策を持っている\ [（X + K \ AST \左\ lfloor B / GCD（a、b）は\右\ rfloor、Y - K \ AST \左\ lfloor A / GCD（a、b）は\右\ rfloor）\]
不確かな線形方程式を解きます
探している\（= C \によって斧+ ）
シュウペイ定理
\（= C \によって斧+は ） ソリューション場合に限りあり\（GCD（a、b）は | Cを\）
特別なソリューション
拡大\（C / GCD（ B）\） 倍にすることができます。すなわち：
\ [\ケース開始{} X '= X * C / GCD（A、B）\\ Y' = Y * C / GCD（A、B）\ケースエンド{} \]
最小の正の整数解を求めます
ための（X \）\一般解である（K * X + B / GCD（A、B）\）\。モジュラーレイドの溶液から直接最小の正の整数解\（B / GCD（ b）は\） 正の値をとります。
線形合同方程式を解きます
探している\（ax≡b\（MOD \メートル ）\）
$斧+と同等の私= B $、式は不定することができます。
思想
これらの2つの例は、不確実な要因がある場合ということを教えて\（K \） 、式と合同で相互に変換することができます。
フェルマーの小定理
とき\（P \）正の整数の素数とき\（A \）を持っています
\ [^ {P-1} \当量1 \ PMOD P \]
オイラーの定理
オイラーの定理フェルマーの小定理\（\ P）の場合は素数ではありません。
\ [^ {\ varphi（P）} \当量1 \ PMOD P、A \ PERP P \]
逆数
もし二つの整数\（B \）を満足\（AB＆\当量。1 \ PMOD P \）と呼ばれる、\（B \）である\（A \）型で\（P \）の意味での逆数（およびその逆）。
逆数を直接使用することができる（exgcd \）\合同式、またはオイラーの定理の使用を解決します。
リニア再発反転元：
セット\（P = K \ R＆LT AST I + \）がある\ [K * I + R＆LT≡0 \ PMOD P \] 。呼ばれる\（^ { - 1} \） または\（INV（）\）
同時に両側を乗算\（I ^ { - 1} * R ^ { - 1} \） 使用可能
\ [\ {整列} Kを開始 iは* I ^ { - 1} * R ^ { - 1} + R * I ^ { - 1} * R ^ { - 1}≡0 \ PMOD P \\ K * R ^ { - 1} + I ^ { - 1}≡0 \ PMOD P \\ I ^ { - 1}≡ - \左\ lfloor \ dfrac {P } {I}は\右\ rfloor *（P \％I）^ { - 1} \ PMOD P \\ \端{整列} \]
拡張中国の剰余定理（EXCRT）
合同式を求めます：
\ [\ {\ X≡A_1 \ PMOD {行列}開始{M_1} \\ X≡A_2 \ PMOD {M_2} \\ \ cdots \\ X≡A_R \ PMOD {M_R} \\ \端{行列} \左\右。\]
ここにいない中国の剰余定理、それを完全に含まれているの拡張機能として、中国剰余定理。
最後のソリューションを使用して方程式を解くために1、各時間によって私たちの1。当社は、取得の前にあることを前提としている\（I-1 \）の方程式の解\（ANSを\） 。セット\（M = \のProd \ limits_ {J ^ = {I}。1. 1-M_j} \） 、明らかに\（M AST ANS + K \ \） を満たす前に\（I-1 \）式。我々はそれを満たして最初にしたい\（I \）の方程式、同等に
\ [ANS + K \ AST M \当量a_iを\ PMOD {M_I} \]
私たちは、\（exgcd \）取得するために\（K \）のアップデートに、\（M \）と\（ANS \）することができます。この合同方程式が解をもたない場合は、何の解決策は、問題の代表ではありません。
複雑\（O（N \ログメートル）\） 。
inline int EXCRT(){
int ans=a[1],M=m[1],g,x,y,c;
for(int i = 2; i <= n; ++i){
c = (a[i]-ans%m[i]+m[i])%m[i];
exgcd(M,m[i],g,x,y);
if(c%g != 0) return -1;
x = qmul(x,c/g,m[i]);
ans += x*M;
M *= m[i]/g;
ans = (ans+M)%M;
}
return ans;
}