1.基本概念：
簡単に言えば、完全な順列を作るためにn個の要素の代替品です。、このような1,2,3,4としては4,3,2,1、3,1,2,4なっ又は別々一般に、可変A1,2はA2になり、...順列と呼ばれます。
\ [\（\ {始まる左
\右\ cdots＆A_N \\ \端{行列} \行列} 1＆2 \ cdotsを＆N \\ A_1とA_2）] 置換が、実際に1つのマッピングであります
（1）Fのアレイとすることができる= {A1、A2、...、} F [i]が（[0]が使用されていないF）iはにマッピングされる要素を表し、1〜n個の置換を、表現され。
（2）ここで、fは、ドメインと範囲として{1,2,3、...、n}は関数fは前記（1）= A1を、F（2）= a2と、Fしている見ることができます（3）= A3、···、F（N）=。異なる要素に異なる番号にマッピングされているために、この関数は可逆的です。
乗算は、複合機能に対応し、交換の間に定義されてもよいです。
なぜなら、各要素の変化のような置換、F = {1,3,2}およびG = {2,1,3}、FG = {2,3,1}の積が、1-> 1-> 2,2-> 3-> 3,3> 2-> 1。
連想され、複雑な数学関数では、また、乗算が連想で交換されます。注意：交換用乗算は可換ではありません。
：取り扱いを容易にするために、多くの場合、交換のような、製品サイクルに分解
\ [\（\ {マトリックス}開始1＆2＆3＆4＆5 \\ 3・5・1・4・2 \\を終了{行列} \ \右。。。。。。。。）左=（2 \ quad5（1 \ quad3。） ）（4）\]
なぜ、どのような置換は、それを分解することができますか？各要素はBになった場合、ノードであっても有向エッジA-> Bと、それが唯一の番号がマッピングされなければならないので、各要素は、1つの先行および後続ノードのノードを有します（ 、とだけ交換毎数の数さもなければそれにマッピングされた特定の数は、、）もう1〜nは、番号が削除されるの図の唯一の複数のサイクルを指向するように、前記各されていませんリングサイクルに対応します。
一般的に、乗算は可換置換ではありませんが、それはサイクルと交差していませんが、任意の順序で同等のものを掛けています。
我々は、交換用の循環に分解サイクルループのセクション番号を呼び出します。例えば、（13）（25）（4）サイクルのセクション3。
2.カウントの問題は、クラスの等価性
クラシック質問：黒と白の四角2 * 2に描かれ、いくつかの方法がありますか？
答え：16種。
回転操作を定義する場合には、同一の一種とみなす90度、180度または270度の実施形態によって反時計方向に回転所定の次に答えは6となります。
このような問題は、等価クラス数の問題と呼ばれています。
タイトルは同値関係を定義する、同値関係満足要素は、統計は一度だけ、同じクラスで考慮されています。
同値関係を満たす必要が再帰（各要素と独自相当）、対称性を（AとBは同等である場合には、同等のA及びB）と推移（AとBが等価である場合、B及びC等価等価AおよびC）。
等価クラスの数をカウントするには、まず私たちは、セットF置換同値関係を記述する必要があります。別の実施形態にマッピング方式は、両方とも同等であることを特徴とする請求の置換場合。注：任意の2つのF置換の積はFであるべきで、Fは、そうでなければ置換基を構成することができません。例えば：Fは= {回転反時計回りに0度、90度反時計回り、反時計回りに回転270°}の定義は2つの90度反時計回りに回転するので、それを180度反時計回りに回転させ、合法ではなく、Fそれは180度反時計回りに回転定義していませんでした。
バーンサイド定理は：置換後のシェーダプログラムの一定の場合、交換のために、F、SはFの固定点と呼ばれています。固定点fの数がC（F）と表記され、それはすべての同値クラス番号C（F）平均値のためにそれを示すことができます。
どのように修正された見つけるために、ポイントC（f）は、それの数？交換がf mの（F）サイクルの積に分解される場合、一般的には、グリッドの各サイクル内のすべての色が塗られ、K色を仮定して、同じである必要があり、C（F）= K ^（M（F））が存在します。ポリアの定理のバーンサイドの補題に表現した後に得られました。
ポリA定理：すべての等価クラスの数のF K ^（M（F））の平均置換数に等しいです。
例：ネックレスやブレスレット（ダッカのアリフ（初恋パート2））
問題の意味：N Aはネックレスネックレスを介して回転させたときにネックレスやブレスレットを持つ石、各宝石の色は、Tの色の一種であることができるB、A及びBは、ネックレスのクラスに属している、ブレスレットとしませんクラスBクラスのブレスレットブレスレットのAとBを経て得られたフリップは、多くの人が一緒にネックレスやブレスレットを張らことができるか、トンの色はnを求め宝石、クラスのブレスレットに属しているとき、回転も逆にすることができますか？
分析：回転：私はピッチビーズの回転を反時計回り場合は、ビーズ0は、I、2Iは、... 1サイクルを構成します。総サイクルk個の要素、（iを提供K）、0 N-％（元の0に戻る）= Iの方程式K = N個の* yの両側の値は、LCM（N、I）であるべきであるが、それは私は* K = LCM（N、I） =
N * I / GCD（N、 I）は、 得ることができる、K = N / GCDので（N、 I）。対称性によって、1,2i + 1、...サイクルを構成し、同じ長さの各サイクル、Nの合計数、N / GCD（N、I）の1つの周期の長さは 、 そのようにサイクルの数でしたGCD（N、I）。置換の固定小数点数である：
\ [A = \ sum_ {I} = 0 {N ^ T ^ {} 1-GCD（I、N）} \]
フリップ：nは、対称軸奇数である場合（N-1）それぞれが対称軸を形成し、（対称軸を作るためにそれぞれのビーズのそれぞれを介して）Nが存在する/ 2ループ構成の対称軸周りの長さ2のサイクル（2点対称、マイナスその点対称軸）1サイクルの長さ、すなわち、（N + 1）/ 2サイクルで。これらの固定点の置換の総数である
\ [= NT ^ {\ B
FRAC {N + 1} {2}} \] nが偶数の場合、そこにビーズを通過する2つの対称軸は、あるnは/ 2条ビーズを通過しない対称軸は、長さN 2のN / 2サイクルを形成/ 2ストリップそれぞれ、それぞれが長さ2のN / 2-1サイクル及びループ1の2つの長さに形成されています。固定点の総数はで置換されている
{N \ [B = \ FRAC } {2}（T ^ {\ FRAC {n}は{2} +1} + T ^ {\ FRAC {n}は{2}}） \]
記載ポリア定理、等価クラスネックレスA /総数N、同値類のブレスレットの総数（A + B）/ 2N。
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
const int maxn=55;
int gcd(int a,int b)
{
return b==0?a:gcd(b,a%b);
}
int main()
{
int n,t;
while(scanf("%d%d",&n,&t)==2&&n)
{
LL pow[maxn];
pow[0]=1;
for(int i=1;i<=n;++i) pow[i]=pow[i-1]*t;
LL a=0;
for(int i=0;i<n;++i) a+=pow[gcd(n,i)];
LL b=0;
if(n%2==1) b=n*pow[(n+1)/2];
else b=n/2*(pow[n/2+1]+pow[n/2]);
printf("%lld %lld\n",a/b,(a+b)/2/n);
}
return 0;
}