間違った行を持つ二項反転問題

共通のシンプルな組み合わせのアイデンティティ：

\（C_N ^ M = C_N ^ {NM} \）
\（C_N ^ M = C_N ^ {M-1} + C_ {N-1} ^ {M-1} \）
\（\ sum_ {i = 0} ^ {n}はC_N ^ i = 2 ^ I \）
\（\ sum_ {i = 0} ^ {N}（ - 1）^ iは* C_N ^ I = [N = 0] \）

3.4証明：二項定理を証明するのは簡単。

オーダー\（1 =、Yは、= X 1 \）は、式3を得ることができます

オーダー\（X = 1、Y -1 = \）、式（4）を得ることができます

二項反転：

グラムが想定され、fは二つの機能があります。満たす：
\ [F_n = \ sum_ I = {0}} ^ {N-G_i C_N ^私は\ *]
次に、トランス取得する方法を考える\（G_N \）上の（F_n \）\式。
\ [G_N = \ sum_ {I = 0} ^ {N} [NI = 0] * C_N ^ I * g_i \\ G_N = \ sum_ {i = 0} ^ {N} \ sum_ {J = 0} ^ { NI}（ - 1）^ J * C_ {NI} ^ J * C_N ^ iが（g_i \\ G_N = \ sum_ {i = 0} ^ {N} \ sum_ {J = 0} ^ {NI} * - 1 ）^ J * C_ {N} ^ J * C_ {NJ} ^ i *がg_i \\ G_N = \ sum_ {J = 0} ^ {N}（ - 1）^ J * C_N ^ j個の\ sum_ {I = 0 } ^ {NJ} C_ {NJ } ^ i *がg_i \\ G_N = \ sum_ {i = 0} ^ {N}（ - 1）^ iはC_Nを* ^ i *がF_ {NI} = \ sum_ {i = 0 } ^ {N}（ - 1
）^ {NI} * C_N ^ iは、F_ {I} \] * ようにして得られた二項反転結論：
\ [F_n = \ I = {0}} ^ {N-C_N sum_を^私は* g_i \\ G_N = \
sum_ {i = 0} ^ {n}は（ - 1）^ {NI} * C_N ^ i *がF_ {I} \\ \] フォームが本当に美しいです！

ここでは二項反転は、古典的な問題を解決するために！

間違った行の問題

問題の説明：

そこ（N \）\個人番号\（1、...、N-を\）を求め、\（N \）を行の個人的なスタンドプログラムの数すべての間違った場所を。

最初の：それは間違っている上に定義されている\（私は\）個人が立場に立っていない\（私は\）に。

方法1：再帰

セット\（f_nは\）になりまし考慮に元かかると仮定して、答えを表し\（私は\）個々のプログラム、すなわち\（F_iと\を）。

最初に考えてみましょう\（私は\）：個々のステーションの状況を

明らかに最初の\（私は\）人はポジションに立つことはできません\（私は\）、彼は場所を指すと仮定すると、\（k個\）、明らかに\（のK \ [1、I-1] \）、その後、検討していき\ （K \）駅。

①、\（K \）は、位置iに立って、残りの\（I-2 \）個々の原稿が依然として問題と、プログラム番号\（I-2 F_ {} \）。

②、\（k個\）は、位置iに立っていない、つまり（k個\）を\ポジションに立つことはできません（私は\）\の残り、その後、\（I-1 \）個人が元のプログラムの問題を提起し続けます数\（F_iと-1 \）。

得ることができる\（F \）再帰関係：
（1-I）\ [F_1 = 0 \ \ \\ F_iと= F_2 1 = *（。F_ {I} 1-I-2 + F_ {}）\ \i≥3\]

方法2：反転二項

セット\（f_n \）を表す\（N \）を、プログラムの個々のステーションわずか数\（G_N \）は表し\（N \）を移動局番号が間違っソリューションです。

容易に得る：
\ [！= N-F_n F_n \\ = \ sum_ {0}はI = I * ^^ nC_n G_i \]
直接反転は二項式であることができる：
\ [G_N = \ I = {0} ^ {sum_ N}（ - 1）^ {
NI} * C_N ^ iは* {I}をF_ \\ \] 直接線形配送答える導入することができます。