P1292は、[注い]問題への解決策

ユークリッドおよびユークリッド延長

ブログは、より良い、食べて：ユークリッドおよびユークリッドの拡大-核融合炉のコア-羅Guboオフ

以下では、必要性があること（それはWWWWについて）すべての事前の知識です

あなたは事前知識のすべてを学んできた場合は、
無視してください（バカ\）\空のナンセンスは、
この質問に内容を直接見

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内容：

• 1.ユークリッドの定理
  • 証明します
  • アプリケーション

• 2.シュウペイ定理

• 3.拡張ユークリッド
  • 証明します
  • 無期限解決線形方程式

• この話題に関しては4

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1.ユークリッドの定理：

即： \（\大GCD（A、B）= GCD（B、\ MOD B）\）

\（B = 0 \） 、（MID \ MID \ \ GCD（A、B）=）\。

• 高齢者に証明CYHありがとう：

  提供：\（A、B \）は、の最大公約数である\（C \）

  则： \（A = NC \ \のB = MC \） 、\（（N、ZにおけるM \）\） 、\（= k個の\倍B + R \）

  その後： \（R＆LT = A \ B =％AK KMC-NC = B =（N -キロ）C \）

  作る\（（A、B）=（B、\％B）を\） 、

  ：私たちは、証明書が必要です\（B、Rの\）が最大公約数でもあるです\（のC \） 、

  即ち： \（MC = Bは、R =（N -キロ）C \） 、中- \（キロ）\ M（n）は、プライム。

  • 子供の証明：

    矛盾によって、存在設け\（D \）の\（M、（N-キロ ）\） 最大公約数であり、\（D> 1 \） 。

    提供：\（N-QD-キロ= \） 、\（PD M = \）

    次に： \（MC = B = \\ PDC） 、

    \（\ A = KB + R = kpdc + QDC = DC（KP + Q）\）

    その後： \（A \）が存在する因子\（DC> C \）

    この結論と\（、B \）の最大公約数\（C \）と矛盾

    従って：存在しない\（D> 1 \）\（M、（N-キロメートル ）\） 最大公約数であります

    次に： \（M、（N -キロ）\）プライム、サブは証明しました。

  子によって実証さ、与える：- \（キロ）C \ MC = Bは、R =（n）は、で\（M、（N -キロ）\）プライム。

  その後：\（B \）と\（R＆LT \）は、最大公約数がまだある\（C \）

  QED。

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• アプリケーション：

  上記の知識により、我々は要求書くことができます\（、B \）された\（GCDを（a、b）は \） の関数であり、

  再帰によって決定されるように、ユークリッドの定理によって得ることができる\（GCD（B） \） 値

  再帰的な境界は：場合（B = 0 \）\場合、\（GCD（A、B）は、\ =）を。

  簡単なコードの実装：

int gcd(int a,int b)
{
    if(b) 
      return gcd(b,a%b);
    else 
      return a;
}

また、1行のように書くことができます。

int gcd(int a,int b)
{
    return b?gcd(b,a%b):a;
}

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2.シュウペイ定理：

セット\（B \）全てではない\（0 \）の整数、整数\（X、Y \） 、そう\（\大AX + = GCD（Aによって、B）\） 。

特に、\（GCD（A、B）= 1 \） \（\ Leftrightarrow \）
が存在する\（X、Z \でY \） 、その結果：\（= AX + \による1） 。

？定理の正しさを証明するために、どのようにそれが読むことを続けてください。

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3.ユークリッドの拡張：

完全ではないため、\（0 \） 2つの数の\（A、B \） 、無限の数が存在しなければならない\（X、Y \） 、式そのよう
\（=による\大斧+ GCD（a、b）は\ ）設立

• 証明：

  セット\（> B \）

  1. 場合B = 0 $ $、\（GCD（A、B）は、\ =）を、今回唯一の解を有する：（X = 1、Y = 0 \）\。

  2. とき（\回のB \ない\ = 0 \） 、

  ユークリッドの定理：見つかったの$ GCD（a、b）は= GCD（B、％b）は$、

  \（\下線{AX +によって} = GCD（A、B）= GCD（B、\％のB）= \下線{B {X 1} +（\％のB）Y1} \）

  （セット\（X1、Y1の\）は、上記条件を満足する解の集合です）

  而：\（FRAC \ = A- \ lfloor Bの\％{A}、{B} \ rfloor倍B \ \）

  その後：元の方程式は、に変換することができます。

  ①。\（FRAC \ = BX1 +（A- \ lfloorによって斧+ {A}、{B} \ rfloor回\ b）のY1の\）

  ②。\（ - 1 \によって\ lfloor \ FRAC {A}、{B} \ rfloor = BX1 + AY1によって斧+）

  ③。\（で斧+ = AY1 + B（X1-\ lfloor FRAC \ {A}、{B} \ rfloorのY 1）\）

  ③のうち、入手することができます。

  \（X = Y1 \）

  $ Y = X 1 \ lfloor \ FRAC {A}、{B} \ rfloor Y1 $

  したがって、得ることが可能である\（= Cによって斧+を\ ） ソリューションのセット

  他の整数式\（XI、YIの\）が満たされます。

  $第XI = X + \ FRAC {B} {GCD（A、B）} \時間t $

  $のYI = Y + \ FRAC {A} {GCD（A、B）} \時間t $

  これは、（Z-中のt \ \）\

• コードの実装

  ソルバー書き込むには（= GCD（で斧+ \を 、B）\） プログラム

  上記の証拠を通じ、それは明らかである、再帰によって達成することができます

  B = 0 $場合$、場合：再帰的な境界である\（GCD（A、B）は、\ =）を：、今回唯一の解を有する（X = 1、Y = 0 \）\。

  コード：
  cpp int exgcd(int a,int b,int d,int &x,int &y) { if(!b) { x=1 , y=0; return a; } d=exgcd(b,a % b,x,y); int tmp=x; x=y , y=tmp-a/b*y; }

• 不定方程式を解きます：

  ：= C $によって$斧+：不定方程式の

  拡張ユークリッドによると、それが見つかりました：

  方程式のための\（= GCD（A、B）によってAXの+ \）有無アレイ溶液\（X、Y \） 。

  その後：

  1.場合、$ Cの％のGCD（a、b）は\ではない= 0 $、元の方程式が解を持ちません。

  2.もし\（Cの\％のGCD（A、B）= 0 \） 。

  集合\（D = GCD（A、B）は\） 、元の方程式はに変形することができます。

  \（\時間（Xの\時間\ FRAC {D} {C}）+ Bの\時間（Y軸\時間\ FRAC {D} {C}）= D（= Cの\時間\ FRAC {D} {C} ）\）

  置換により、そう\（X1 =（X \タイムズ\ FRAC {C}、{D}）\） 、\（Y1 =（Y \タイムズ\ FRAC {C}、{D}）\） 。

  方程式を解く：\（AX1のBY1 = D + \）の有無アレイソリューション\（X1、Y1 \） 、

  解決しよう\（X1、Y1の\）の後に我々が得ます：

  \（X = X1 \回\ FRAC {C}、{D} \）、\（Y = Y1 \回\ FRAC {C}、{D} \）

  元の方程式得るために\（= Cによって斧+ \ ） ソリューション

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この質問に関しては4：

（ロングったらしいはあまりついに右のそれを取得言い始めました）

• 3回の操作でのタイトル：

  ボリュームで樽にワインを① \（\ミリリットル\ b）は、ガラスの
  ②の体積（A \ミリリットル\）\ワイングラスでバレルに注ぎ、
  ③ボリューム\（Bを\ mlの\）ワインのガラスの体積に注いだ\（A \ミリリットル\）でガラス。

• 問題の意味の分析：

  提供される残りの最後のアルコールの最小量として\（ANS \）
  各加算\（B \ミリリットル\）ワイン、それぞれが注ぎ\（A \ミリリットル\）ワイン

  あります：
  $ ANS = -ax_1 + by_1（X_1、Z-でY_1 \）$

  この方程式はに溶液不定趣旨を有している（ANS = K \時間\ \ GCD（Zにおいて、B）\（k個の\）\） と必要\（ANS \）非最小の負の整数解が\（ANS = GCD （a、b）は\）
  
  
  

• アルゴリズム：

  拡張ユークリッドと
  ソリューション不定方程式（\ \ GCD（A、B
  ）= ax_1 + by_1 \） のセット取得する\（X_1を\）と\（Y_1 \）ソリューション

  次に\（X_1 \時間（-1）\ \ A \時間（-1）\） ;
  元の方程式に：
  \（\ + by_1 ax_1下線{} =（-a）\タイムズ（-x_1）+ by_1 = \ {-ax +によって下線
  } \） を得た：
  \（X -x_1 = \）
  \（Y = Y_1 \）

  それから
  cpp while(x<0 || y<0) x+= (x<0 )?b/gcd:0, y-= (x>=0)?a/gcd:0;

  \（X、Yの\）は、最小の非負整数解に変換される
  回答を得ます

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取り付け\（AC \）コード

#include<cstdio>
#include<ctype.h>
//====================================================
int a,b,x,y,gcd;
//====================================================
inline int read()
{
    int fl=1,w=0;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch) && ch!='-') ch=getchar();
    if(ch=='-') fl=-1;
    while(isdigit(ch)){w=w*10+ch-'0',ch=getchar();}
    return fl*w;
}
void exgcd(int a,int b)//扩展欧几里得求线性不定方程的解 
{
    if(b)
    {
        exgcd(b,a%b);
        int k=x;
        x=y , y=k-a/b*y;
    }
    else 
      x=1,y=0,gcd=a;
    return ;
}
//====================================================
signed main()
{
    a=read(),b=read();
    exgcd(a,b);
    x*=-1,a*=-1;//进行转化 
    while(x<0 || y<0)//获得最小的非负整数解 
      x+= (x<0 )?b/gcd:0,
      y-= (x>=0)?a/gcd:0;
    
    printf("%d\n%d %d",gcd,x,y);
}

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