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割り切れるブロック、いくつかの一般的な算術関数とディリクレ畳み込み：この記事では。
ブロック割り切れます
当該関連する数に、しばしば遭遇すると（{I} \ rfloor \ \ \ lfloor \ FRAC {N}） 加算式。口座に数ながら\（I \）を、それらの\（\ lfloor \ FRAC {N } {I} \ rfloor \）は（最大同じである（\ lfloor2 \ SQRT {N \ } \ rfloor \） ） 。それがあってもよい（O（\ SQRT {N} \）\） （残りの部分は、時間内であってもよい場合に溶液）（O（1）\ \計算されている場合）。あなたは以下のコードを見ることができます：
for( int x = 1, y; x <= N; x = y + 1 ) {
y = min( N / ( N / x ), M / ( M / x ) );
}数論機能
定義
ドメインは、正の整数の機能数論機能。
場合\（\ FORALL A、B、\ GCD（A、B）= 1 \）がある（F（AB＆）= F（A）F（B）は\）\、呼び出された関数は、乗法関数、もし\（\ FORALL A、Bは\）がある\（F（AB＆）= F（A）F（B）\）、この関数が呼び出され、完全な乗法関数。
例
単位機能 \（E（N）= [N- = 1] \） 。（とき\（[] \）真値の値は、（1 \）\そうでない場合、\（0 \） 。）完全に乗法関数です。
パワー関数 \（id_k（N）= N-K ^ \） 。完全に乗法関数です。
オイラー関数 \（\ファイ（N）= \ SUM \ limits_。1} ^ {N-Iは= [\ GCD（N、I）= 1] \） 。これは、乗法関数です。
証明：
セット\（\ファイ（N-）nNの= \）、\ （\ファイ（M）mMの= \） 。（すなわち\（N- \）ではない\（1 \）因子がいる\（N \）番目、\（M \）ではない\（1 \）因子が有する）（\ M \を。）は（\ NM \）ではない\（1 \）因子有する（NM + MN-MN \ \ ） 番目（および除外）。
即\（\ PHI（NM）= NM-NM-MN + NM = \ PHI（N）\ PHI（M）\）
除数関数 \（\ sigma_k（N）= \ SUM \ limits_ {D | N-K} D ^ \） 。あるいはと呼ばれる\（D（N）、\タウ（N-）の\） 、乗法関数です。
証明：
ための\（\ GCD（N、M）= 1 \。） 、次いで（\ \ FORALL A | N-、B | M \）である\（\ GCD（A、B）= 1 \。） 。次に\（N- \）係数で乗算される\（B \）因子である\（NM \）因子、及び省略する。したがって、\（\ sigma_k（N-）\ sigma_k（M）= \ sigma_k（NM）\） 。
メビウス関数 \（\ MU（N-）\） 。場合\（N- \）方形時間を有する（\ MU（N）= 0 \）\。それ以外の場合は\（\ MU（N-）=（ - 1）^ \オメガ（N-）\） 。前記\（\オメガ（N）\ ） を表し\（N- \）異なる品質係数の数。
少し、普通の証明。
ディリクレ畳み込み（ディリクレ畳み込み）
定義
二つの演算機能\（F、G \）をディリクレ畳み込みとして定義されます
\ [（F * G）（N）= \和\ limits_ {D | N} F（D）G（\ FRAC {n}は{D}）\]
また、このように書くことができます。
\ [\ = \和\ limits_ {IJ = N} F（I）G（J）（N）（* G F）]
プロパティ
可換： \（F * F * G = G \） 。
連想： \（（F * G）= F * H *（G * H）\） 。
単位は単位素子を機能： \（F * E F = \） 。
分配法則： \（F *（G + H）+ = F * F * G H \）
場合\（F \）と\（G \）は乗法関数である（F * G \）\も乗法関数です。逆に、\（H = F * G \ ） 乗法関数であり、（F \）は\乗法関数であり、次に\（G \）はまた、乗法関数です。
証明：
もし、既に述べたように（。| | N-、B M \ \ GCD（N、M）= 1、A）\、次に\（\ GCD（A、B）= 1 \。） 。
\ [\（* G F）\回（M）（N）（* G F）{整列}始める＆= \和\ limits_ {i_1j_1 = N} F（I_1）G（J_1）\時間\和\ limits_ {i_2j_2 = M} F（I_2）G（J_2）\\＆= \和\ limits_ {i_1i_2j_1j_2 = NM} F（I_1）F（I_2）G（J_1）G（J_2）\\＆= \和\ limits_ {IJ = NM} F（I）G（J）\\＆=（* G F）（N）\端{整列} \]
二つの式
\ [\ Sigma_k id_k * = 1 \]
証明：わずか
\ [E = \ MU * 1 \]
証明：
もし（N- \）\持っている\（K \） 、その後、個別の素因数を
\ [\和\ limits_ {D | N} \ MU（D）= \和\ limits_ ^ K（-1）^ I \回{K \ Iを選択} {I = 0} \]
二項定理、\（（1-1）= ^ K \ SUM \ limits_ ^ {K}私は（0 = -1）^ I \タイムズ{K \ I} = 0 ^ K \を選択してください）
そして、理由は\（\ MU（1）。1 = \） 、そう\（\ MU * 1 = E \）