P4213 [テンプレート]ドゥがふるいを教える（和）
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- ドゥは、ふるいを教えます
序文
- ドゥは〜画面テンプレートを教えます
- 予備知識は線形スクリーン、メビウス反転、ディリクレ畳み込みである - 、あなたが少しを学ぶ必要がない場合は、再度デュ画面を教えるために学ぶ〜
質問の簡潔な意味
- リクエスト\（\ MU \）と\（\ファイ\）の範囲内のプレフィックスと、\（2 ^ {31} -1 \） 、複数の問い合わせ。
考え
- ドゥは、テンプレート画面を教えます。まず、コアデュ篩は、以下の式に教示されている
（1）。\ [Gを* S（N）= \ sum_ 1} ^ {N-I =（F * G）（I） - \ sum_ I = {2} ^ NG（I）S [\ FRACのNI] \] - 限り決定観測として\（G \）ブロック上式プレフィックスと最後尾。だから、乗法の機能のために、限り、我々は見つけると
- プレフィックスと簡単に見つけること
- ディリクレ畳み込み機能の本来の機能を簡単に合計
関数gは、それを行うことができます。
見てください\（\ミュー\）機能。簡単に知っている\（\ * MU I = \イプシロン\） 、そして作る（GはI \ =）\を、その後、最初の\（グラム\）と\（私は\）我々が求める、置換を\（\ MUは、\）置き換える置換（Fを\）\を \
[\ SUM \ limits_ 1} ^ {N-I =（\ G * MU）（I）= \ SUM \ limits_ 1} ^ {N-I =（\ MU *。 I）（I）\]\（\ MU * I = \の イプシロン\）は、 一般的に使用される式です。証明：
- ディリクレ畳み込み\（\ MU * I = \和\ limits_ | MU \ {D N}（D）* I（[\ FRACのND]）\）
- そして\（I（X）= 1 \） 、上記式に、知ることができる\（\ MU * I = \和\ limits_ {D | N}ミュー\（D）\）
- そしてメビウス反転が（もメビウス関数特性と呼ばれることもある）を知ることができる（\和の\ limits_ {D \ |ミュー（D）= [N == 1] = \イプシロン\ \ nは}） ：、そこには、元の式に代入する
\ [\ * I MU = \イプシロン\]
- 知ることは容易である（\ \ * I MU = \イプシロン\） 、それは元の式であろうように：
\ [\ SUM \ limits_ 1} ^ {N-I = \イプシロン（I）= [N-> = 1] \。] - 単純に素晴らしい祈りました。それは次のようになり、この式に元：
\ [S（N）= [N-> = 1] - \ sum_ {2} = I ^ナノ秒[\ FRACのNi] \。] 第二の問題は、式を見つけるために今ある（\ \ SUM \ limits_ I = {2} ^ NG（I）[\ FRAC Niは] \ s）は、単純な、それをブロックします。
----------------------------------------------分割線鳩 - ---------------------------------------------
- 今求めている\（\ファイ\）プレフィックスをして。フロントアヒルとほぼ非常にシンプル。セルフ〜それを導出します
----------------------------------------------サブハトライン---------------------------------------------- - このすべての最初の検索のメモリですが、意志ひどくQAQ T
- 最適化。ドゥは、ふるいを教えるが、線形複雑度よりも低いが、グループがどのようにアヒルを尋ねました！場合は、問い合わせの複数のセット、線形画面の複雑さが、（線形ふるい杜がふるいを教えるよりも優れた\（O（N \） ）の前処理、その後、\（O（1）\）ので、クエリが、杜のティーチング画面...）我々は、先に線形ふるいを見て前処理を行うことができふるいのうち、\（\ミューと\ファイ\）プレフィックス、その後デュ画面がはるかに高速に教えることができます！！！
注意事項
- 5E6線形事前ふるいふるいおそらくより適切な〜
概要
- これは一般的なディリクレ畳み込みを記憶して、関数gはすぐにする時間を見つけました！ここでは、一般的なディリクレ畳み込みを要約したものです。
- \（\ムー* I = \イプシロン\）
- \（PHI \ * I =のid \）
ACコード
#include<cstdio>
#include<unordered_map>
using namespace std;
const int maxn = 5e6 + 10;
bool no_prime[maxn];
int prime[maxn], mu[maxn], phi[maxn], p_mu[maxn];
long long p_phi[maxn];
int shai(int n)
{
int cnt = 0;
mu[1] = phi[1] = 1;
for (int i = 2; i <= n; i++)
{
if (!no_prime[i])
prime[++cnt] = i, mu[i] = -1, phi[i] = i - 1;
for (int j = 1; j <= cnt && prime[j] * i <= n; j++)
{
no_prime[i * prime[j]] = 1;
mu[i * prime[j]] = i % prime[j] == 0 ? 0 : -mu[i];
phi[i * prime[j]] = i % prime[j] == 0 ? phi[i] * prime[j] : phi[i] * (prime[j] - 1);
if (i % prime[j] == 0) break;
}
}
for (int i = 1; i <= n; i++)
p_mu[i] = p_mu[i - 1] + mu[i], p_phi[i] = p_phi[i - 1] + phi[i];
return cnt;
}
unordered_map<int, int> rec_mu;
unordered_map<int, long long> rec_phi;
int pre_mu(int n)
{
if (n <= maxn - 10) return p_mu[n];
if (rec_mu[n]) return rec_mu[n];
int l = 2, r, ans = (n >= 1);
while (l <= n)
{
r = n / (n / l);
ans -= (r - l + 1) * pre_mu(n / l);
l = r + 1;
}
return rec_mu[n] = ans;
}
long long pre_phi(int n)
{
if (n <= maxn - 10) return p_phi[n];
if (rec_phi[n]) return rec_phi[n];
int l = 2, r;
long long ans = n % 2 == 0 ? 1ll*n / 2ll * (n + 1) : (n + 1ll) / 2ll * n;
while (l <= n)
{
r = n / (n / l);
ans -= (r - l + 1) * pre_phi(n / l);
if (l == 2147483647) break;
l = r + 1;
}
return rec_phi[n] = ans;
}
void solve()
{
shai(maxn - 10);
int t;
scanf("%d", &t);
while (t--)
{
int n;
scanf("%d", &n);
printf("%lld %d\n", pre_phi(n), pre_mu(n));
}
}
int main()
{
solve();
return 0;
}