最適化のスロープ\（DP \） Luanjiang
スロープの最適化については、私はああ、私は本当に理解していない馬鹿だったんだ......
それを理解するのに役立つ何かを書く......二つの例の合計、非常に典型的なもので、私は最初の細部に入る、他はそれについて少し話します。
\（T1 [HNOI2018] TOYの\ ） おもちゃパッキング
そして、状態方程式は、ああのうち非常に良いです。
\（[I] =分F （\ [J] +（S [i]を-s [J] + IJL-1）^ 2）ここで、f） ここで、\（S [I]が\）プレフィックスを表し、\（F [I] \）前方を表す\（Iは\）処理後の最小値。
転送したい場合は、私たちはこの事を見つけました\（O（N ^ 2） \） と\（N <= 50000 \） 、明らかに転送されていません。
次のステップでは、世界の傾きを最適化することです！
我々が探していることである\（私は\）前の\（J \）ので、（[I] \ F）\最低限、あなたはすぐに見つけることができる方法を検討します。
令\（[I] = sの[I] + I、B [i]は= Sで[I] + IL-1 \）。
私たちは元の方程式の変形、我々は、このフォームを取得することができます：（なぜないのパイプオーケー）
\（2 * A [I] * B [J] + F [I] -a [I] = F ^ 2 [J] + B [J] ^ 2 \）。我々は転送するとき、明確にするために\を（私は\）とき\（[I] \）が決定されます。
対応する約\（KX + B = Y \） 、我々は聞かせて\（2 * [I] \） の\（K \）、\ （B [J] \）の\（X \）、\ （F [ J] + B [J] ^ 2 \） の\（Y \） 、そして私たちは、直線を求める\（Y \）切片上の最小値。
我々は転送すると（私は\）\を、前述の\（1〜I-1 \は ） スタックポイント（として表すことができる\（P_j（B [J]、F [J] + B [J] ^ 2） \） ）。
それが探しを通じて、転送され\（P_j \）の傾き\（2 * [I] \） それように、直線の\（Y \）軸が最小化されるインターセプト。
上方凸包（例えば、右上のパネル）を構成する、3つ指摘したい、我々は直線が翻訳される場合、ことが判明\（Bの\）が最適な決定はなりません。
私たちはそれを与えることができる\（B \）点を（図に示すように）、即ち、下方に凸包を維持するために、我々は、この場合に見出される\（A、B、C \ ） 三時には、最も可能性が高いです優れた意思決定。
この時点で、すべての考えメンテナンスは、データ構造を持つ点の下方に凸包を構成することができます。
//回来看下之前我们说的斜率\(2*a[i]\)，显然它具有单调性（如果没有单调性就二分）
在前\(1～i-1\)中，不妨设有两个状态：\(j,k\)且\(j\)比\(k\)更优，则有：
\(f[j]+(s[i]-s[j]+i-j-L-1)^2<f[k]+(s[i]-s[k]+i-k-L-1)^2\)
经过一系列毫不人道的化简（风骨傲天很懒所以他没把将过程放上来）可以得到：
\(2*a[i]>\frac{f[j]-f[k]+b[j]^2-b[k]^2}{b[j]-b[k]}\)（好丑的式子……）
也就是说只要满足这个式子，就有\(j\)比\(k\)更优。
同样对应斜率，就有：\(P_j\)和\(P_k\)的斜率小于\(2*a[i]\)时，就有\(j\)比\(k\)更优。
又因为我们维护的是一个向下的凸包，所以我们就只用考虑相邻的两个点即可。
那么我们就可以用一个单调队列来维护，队列中相邻点间连线的斜率递增。
这张图应该说很好的反应了转移和维护的过程，上面的两张就是转移，下面的两张是维护。
转移：由图中我们可以发现，我们要求的\(j\)为斜率第一个大于\(2*a[i]\)的点，因此舍掉\(A,B\)
维护：因为单桥队列中斜率的单调性，删掉\(E\)，由转移后的\(i\)得出的点\(F(b[i],f[i]+b[i]^2)\)加入队尾。
而实际上，我们的斜率优化有一定的公式：
当方程形如：\(f[i]=min(f[j]+S(i,j))+k\)（\(k\)为常数）时，可以使用斜率优化。我们的斜率为在当次转移中的一个不变量，维护的是一堆点。不过通常用上面讲到的“假设两个状态法”来求斜率。
所以斜率优化的思考过程应该是和上面讲到的相反，先考虑斜率再变形方程并得出\(x,y\)。
啊～终于打完了，累成狗
又是快乐的代码时间：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
inline int read()
{
int f=1,w=0;char x=0;
while(x<'0'||x>'9') {if(x=='-') f=-1; x=getchar();}
while(x!=EOF&&x>='0'&&x<='9') {w=(w<<3)+(w<<1)+(x^48);x=getchar();}
return w*f;
}
const int N=50010;
int n,q[N],l,r,L;
double s[N],f[N];
inline double A(int i) {return s[i]+i;}
inline double B(int i) {return s[i]+i+L+1;}
inline double S(double x) {return x*x;}
inline double K(int i,int j) {return (f[i]-f[j]+S(B(i))-S(B(j)))/(B(i)-B(j));}
int main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("A.in","r",stdin);
#endif
n=read();L=read();l=r=1;
for(int i=1,c;i<=n;i++) c=read(),s[i]=c*1.0+s[i-1];
for(int i=1;i<=n;i++)
{
while(l<r&&2*(s[i]+i)>K(q[l],q[l+1])) l++;
f[i]=f[q[l]]+S(A(i)-B(q[l]));
while(l<r&&K(q[r-1],q[r])>K(i,q[r-1])) r--;
q[++r]=i;
}
printf("%lld",(long long)f[n]);
}
这一题也是一个经典的斜率优化，稍微有点不同。
状态：\(f[i]=min(f[j]+a*(s[i]-s[j])^2+b*(s[i]-s[j])+c)\)
化简：\(2*a*s[i]*s[j]+f[i]-a*s[i]^2-b*s[i]-c=f[j]+a*s[j]^2-b*s[j]\)
因为这一题的\(a<0\)，所以我们维护一个向上的凸包即可。
直接上代码：（我说过了，这个题解只会简单说明哦\(QwQ\)）
#include <cstdio>
using namespace std;
#define F(x) ((x)*(x))
inline int read()
{
int f=1,w=0;char x=0;
while(x<'0'||x>'9') {if(x=='-') f=-1; x=getchar();}
while(x!=EOF&&x>='0'&&x<='9') {w=(w<<3)+(w<<1)+(x^48);x=getchar();}
return w*f;
}
const int N=1000010;
#define int long long
int n,l,r,f[N],Q[N],a,b,c,s[N];
inline double Work(int x,int y)
{
return 1.*(f[x]-f[y]+(F(s[x])-F(s[y]))*a)/(s[x]-s[y])-b;
}
main(){
n=read(),a=read(),b=read(),c=read();
for(int i=1;i<=n;i++) s[i]=read(),s[i]+=s[i-1];
for(int i=1;i<=n;i++)
{
while(l<r&&Work(Q[l+1],Q[l])>s[i]*2*a) l++;
//用于从队列中选出最值
f[i]=f[Q[l]]+a*F(s[i]-s[Q[l]])+b*(s[i]-s[Q[l]])+c;
while(l<r&&Work(Q[r],Q[r-1])<Work(i,Q[r])) r--;
//维护队列单调性
Q[++r]=i;
}
printf("%lld",f[n]);
}