1.外心のベクトル導出に基づいて
1.1原点三角形
仮定（\ \三角形ABC \）を、中\（\）の座標（\（0,0））\、残りの点の座標は（B（X_1、Y_1）\ \、C（X_2、Y_2） ）、我々は呼んで\（\三角形ABC \）原点三角形として。非三角形の起源については、することができる（A、B、C \を\ ） を減算\（\） 、それによって形質転換に、座標原点三角形。由来三角形\（\三角形ABC \）には、外心の想定される\（P \）は座標\（（X、Y）を\） 。
ベクトル定義された外心の1.2プロパティ
\（\三角形ABC \）外心の：傍心は次のように定義されている\（P \）する（\ \三角形ABC \）ベクトルによって表されるように、各頂点の距離に等しいです。
\（| \ overrightarrow {PA} | = | \ overrightarrow {PB} | = | \ overrightarrow {PC} | \）
上記のプロパティから取得できます。
\（\左\ {\開始{整列} | \ overrightarrow {PA} | = | \ overrightarrow {PB} | \ Longrightarrow \三角形ABPである二等辺三角形\\ | \ overrightarrow {PA} | = | \ overrightarrow {PC } | \ Longrightarrow \三角形ACPは二等辺三角形である\\ | \ overrightarrow {PB} | = | \ overrightarrow {PC} | \ Longrightarrow \三角形BCPは二等辺三角形である\端{整列} \右\）。
一般的に、二等辺三角形の\（\三角形ABP \）に、（AP {} \ overrightarrow \）\で\（\ overrightarrow {AB} \ ） 上に投影されました：
\（\ cfrac {\ overrightarrow {AP} \ CDOT \ overrightarrow {AB}} {| \ overrightarrow {AB} |} = \ cfrac {| \ overrightarrow {AB} |} {2} \ Longrightarrow \ overrightarrow {AP} \ CDOT \ overrightarrow {AB} = \ cfrac {| \ overrightarrow {AB} | ^ 2} {2} \）
したがって、我々は得ることができます\（\三角形ABC \）は、円のベクトル性を外接しました：
\（\左\ {\開始{整列} \ overrightarrow {AP} \ CDOT \ overrightarrow {AB} = \ cfrac {| \ overrightarrow {AB} | ^ 2} {2} \\ \ overrightarrow {AP} \ CDOT \ overrightarrow {AC} = \ cfrac {| \ overrightarrow {AC} | ^ 2} {2} \\ \ overrightarrow {BP} \ CDOT \ overrightarrow {BC} = \ cfrac {| \ overrightarrow {BC} | ^ 2} { 2} \端{整列} \右。\）式1
1.3三角形の外心は、派生座標原点
原点三角形\（\三角形ABC \）を得ることができる定義：
\（\左\ {\ AP overrightarrow \} {開始を整列} = {（X、Y）\\ \ overrightarrow {AB} =（X_1、Y_1）\ \ \ overrightarrow {AC} =（ X_2、Y_2）\端{整列}右\ \）
式2を代入アイテムを取る外接由来ベクターの1.2プロパティは、得ることができます。
\（\左\ {\開始{整列}（X、Y）\ CDOT（X_1、Y_1）= \ cfrac {|（X_1、Y_1）| ^ 2} {2} \\（X、Y）\ CDOT（ X_2、Y_2）= \ cfrac {|（X_2、Y_2）| ^ 2} {2} \端{整列} \右\）
\（\ Longrightarrow \左\ {\開始{整列} X_1 \ CDOT X + Y_1 \ CDOTのY = \のcfrac {X_1 ^ 2 + Y_1 ^ 2} {2} \\ X_2 \ CDOT X + Y_2 \ CDOT Y = \ cfrac {X_2 ^ 2 + Y_2 ^ 2} {2} \端{整列} \右。\）
令\（B_1 = cfrac \ {X_1 ^ 2 + Y_1 ^ 2}、{2}、B_2 = cfrac \ {X_2 ^ 2 + Y_2 ^ 2} {2} \）
\（\ Longrightarrow \左\ {\開始{整列} X_1 \ CDOT X + Y_1 \ CDOTのY = B_1 \\ X_2 \ CDOT X + Y_2 \ CDOT Y = B_2端{整列} \右\ \）
式は与える線形方程式クレイマールールを解決するために使用することができます。
\（D = \左| \開始{アレイ} {CCCC} X_1およびX_2 Y_1 \\＆Y_2 \右\端{アレイ} | = X_1 \ CDOT Y_2 - X_2 \ CDOT Y_1 \）
\（\ Longrightarrow \左\ {\開始{整列}、X = \ cfrac {\左| \開始{アレイ} {CCCC} B_1とB_2 Y_1 \\＆Y_2端\ {アレイ} \右|}、{D} \ \ Y = \ cfrac {\左| \開始{アレイ} {CCCC} X_1およびX_2 B_1 \\＆B_2端{アレイ} \右\ |}。{D} \端{整列} \右\）
最後に、我々は外心式座標ました：
\（\ Longrightarrow \左\ {\開始{整列}、X = \ cfrac {B_1 \ CDOT Y_2 - B_2 \ CDOT Y_1} {D} \\ Y = \ cfrac {X_1 \ CDOT B_2 - X_2 \ CDOT B_1} {D } \端{整列}右\ \） 2式
略三角形は1.4外心座標を導出します
略三角形の\（\トライアングルA ^ { '} B ^ {'} C ^ { '} \） 、頂点を有する座標{\（（X_0 ^' ^}、Y_0 ^ {「}）、B（X_1を{ '}、Y_1 ^ {'}）、C（X_2 ^ { '}、{Y_2 ^'}）\） 、頂点座標が減算される（\ \）は原点三角形与えるために、座標（\ \三角形ABC \）と頂点座標\（（0,0）、B（X_1、Y_1）、C（X_2、Y_2）\） 。
アプリケーションタイプ2は、私たちは式の座標外心三角形を取得します
\（\ Longrightarrow \左\ {\開始{整列}、X = \ cfrac {B_1 \ CDOT Y_2 - B_2 \ CDOT Y_1} {D} +（X_0 ^ { '} - X_0）\\ Y = \ cfrac {X_1 \ CDOTのB_2 - X_2 \ CDOT B_1} {D} +（Y_0 ^ { '} - Y_0）\端{整列}右\ \）。 式3
2.三角形の外心を導出するために、座標原点の方法を使用
三角形の原点（\ \三角形ABC \）は、外接円の使用はと定義されます。
^ X） - X）^ 2 +（Y_1 - - Y）^ 2 \\ X ^ 2 + y ^ 2 =（X_2 \（\ \ {\開始{整列} X ^ 2 + y ^ 2 =（X_1を残し2 +（Y_2 - Y）^ 2 \端{整列}右\ \）。
\（\ RIGHTARROW \左\ {\開始{整列} X ^ 2 + y ^ 2 = X_1 ^ 2 - 2x_1x + X ^ 2 + Y_1 ^ 2 - 2y_1y + Y ^ 2 \\ X ^ 2 + y ^ 2 = X_2 ^ 2 - 2x_2x + X ^ 2 + Y_2 ^ 2 - 2y_2y + Y ^ 2 \端{整列}右\ \）。
\（\ RIGHTARROW \左\ {\ {整列} 0 = X_1 ^ 2始まる - 2x_1x + Y_1 ^ 2 - 2y_1y \\ 0 = X_2 ^ 2 - 2x_2x + Y_2 ^ 2 - 2y_2y \端が{整列} \右\ ）
\（\ RIGHTARROW \左\ {\開始{整列} 2x_1x + 2y_1y = X_1 ^ 2 + Y_1 ^ 2 \\ 2x_2x + 2y_2y = X_2 ^ 2 + Y_2 ^ 2 \端{整列} \右。\）
\（\ RIGHTARROW \左\ {\開始{整列} X_1 \ CDOT X + Y_1 \ CDOTのY = \ cfrac {X_1 ^ 2 + Y_1 ^ 2} {2} \\ X_2 \ CDOT X + Y_2 \ CDOTのY = \ cfrac {X_2 ^ 2 + Y_2 ^ 2} {2} \端{整列}右\ \）
ここでは、同じ結果が導き出さベクトルで得られた\（♡\） 。