[ゲーム理論] [第4章] 情報が不完全な静的ゲーム(2)

(本は上から続きます)

5. ベイジアン ゲームと混合戦略の均衡:

浄化定理 (Harsanyi、1973): 完全な情報を含む静的ゲームの混合戦略ゲームは、ほとんどの場合、少量の不完全な情報を含む近似ゲームの純粋戦略ベイジアン ナッシュ均衡として解釈できます。
さらに、「混合戦略ナッシュ均衡の基本的な特徴は、参加者がランダムな方法で戦略 (つまり行動) を選択することではなく、各参加者が他の参加者に対して選択することは決定できないことです。この不確実性はランダムである可能性があります」と理解することもできます。少量の情報の不完全性によって引き起こされることもあります。」
(現地語訳は次のとおりです: 混合戦略ナッシュ均衡は、単純にいくつかの純粋戦略ナッシュ均衡問題に分割できます)

[例] 夫婦間の争いには、

2つの純粋戦略ナッシュ均衡(ファッション、ファッション)と(サッカー、フットボール)と、混合戦略ナッシュ均衡、つまり妻が3/4の確率でファッションを選択する場合があり、夫は 1/4 の確率でファッションを選び、サッカーを選ぶとき、夫は 1/3 の確率でファッションを選び、2/3 の確率でサッカーを選びます。
上記は最初の 2 章の問題の解決策です。
この問題は、1 対 1 の確率法を使用して解くこともできます。

[解決策 1]
夫は、ファッション ショーを見ることで妻が得られるメリットについて完全に明確ではなく、妻も夫がサッカーを見ることで得られるメリットについて完全には明確ではありません。 。この時点で、完全な情報を含む静的ゲームを不完全な情報を含む静的ゲームに変換します。
この不完全な情報は、夫がファッションショーを見ることによって妻に得られる利益について完全に明確ではなく、妻もサッカー観戦によって夫に得られる利益について完全には明確ではないという事実に反映されています。ただし、その確率分布を理解する必要があります。ここでは、この分布が$[0,x]$一様分布の場合、密度関数は$1/\times$。妻を表すために参加者 1 を使用し、夫を表すために参加者 2 を使用します。
次の式を使用して、妻がどのようにして最大の利益を達成できるかを計算します (つまり、夫の選択が与えられた場合、妻自身の期待される効用を最大化するには、妻はどのように選択すべきか)
max ⁡ t 1 ∈ T 1 ∫ 0 x ( s 1 , s 2 ) 1 1 xdt 2 + ∫ t 2 ∫ x ( s 1 = a 1 , s 2 ∗ = a 2 ) 1 彼女が何を選択しても、妻は選択するでしょうファッションショー) [∫ 0 t 2 ∗ ( s 1 = a 2 , s 2 ∗ = a 1 ) 1 xdt 2 + ∫ t 2 ∗ x ( s 2 = a 2 , s 2 ∗ = a 2 ) 1 xdt 2 ] ift 1 < t 1 ∗ (妻がファッションショーをあまり見たくない場合、夫が何を選んでも妻はサッカーを選ぶでしょう) = max ⁡ t 1 ∈ T 1 { [ ∫ 0 t 2 ∗ ( 2 + t 1 ) 1 xdt 2 + ∫ t 2 ∗ x 0 × 1 xdt 2 ] = ( 2 + t 1 ) t 2 × 1 xdt 2 ] = x − t 2 ∗ x ⇒ ( 2 + t 1 ∗ ) t 2 これは妻の最大の利益に対応するパラメータ分布です) \begin{aligned} & \max _{t_1 \in T_1} \int_0^x\left(s_1, s_2^*\right) \frac{1} {x } d t_2 \\ & =\max _{t_1 \in T_1}\left\{\begin{array}{l} {\left[\int_0^{t_2^*}\left(s_1=a_1,s_2^*=a_1\right) \frac{1}{x} d t_2+\int_{t_2^*}^x\left(s_1=a_1, s_2^*=a_2\right) \frac{1}{x} d t_2\right] if t_1 \geq t_1^*} \\ (妻のファッションショーへの欲求が非常に高い場合、夫が何を選択しても妻はファッションショーを選択します) \\ {\left[\ int_0^ {t_2^*}\left(s_1=a_2, s_2^*=a_1\right) \frac{1}{x} d t_2+\int_{t_2^*}^x\left(s_2=a_2, s_2^ *= a_2\right) \frac{1}{x} d t_2\right] if t_1<t_1^*} \\ (夫が何を選択しても、妻がファッションショーをあまり見たくない場合、妻はサッカーを選択します) \ \ \end{array}\right. \\ & =\max _{t_1 \in T_1}\left\{\begin{array}{l} {\left[\int_0^{ t_2^*}\left(2 +t_1\right) \frac{1}{x} d t_2+\int_{t_2^*}^x 0 \times \frac{1}{x} d t_2\right]=\ frac{\left(2+t_1 \right) t_2^*}{x}} \\ {\left[\int_0^{t_2^*} 0 \times \frac{1}{x} d t_2+\int_{t_2 ^*}^x 1 \times \frac{1}{x} d t_2\right]=\frac{x-t_2^*}{x}} \\ \Rightarrow \frac{\left(2+t_1^* \right) t_2^*}{ x}=\frac{x-t_2^*}{x} if t_1=t_1^*\\ (妻にファッションショーかサッカーを選ばせることで期待されるメリットは同じです。これは妻の最大の利益に対応するパラメータ。distribution) \end{array}\right。\end{整列}​t1∈ T1マックス∫0×( s1、s2∗）バツ1dt _2=t1∈ T1マックス⎩ ⎨ ⎧[ ∫0t2∗​( s1=ある1、s2∗=ある1）バツ1dt _2+∫t2∗×( s1=ある1、s2∗=ある2）バツ1dt _2】もしそうなら1≥t1∗（妻のファッションショーへの欲求が非常に高い場合、夫が何を選択しても妻はファッションショーを選択します）[ ∫0t2∗​( s1=ある2、s2∗=ある1）バツ1dt _2+∫t2∗×( s2=ある2、s2∗=ある2）バツ1dt _2】もしそうなら1<t1∗（妻がファッションショーをあまり見たくない場合、夫が何を選択しても妻はサッカーを選択します）=t1∈ T1マックス⎩ ⎨ ⎧[ ∫0t2∗​( 2+t1）バツ1dt _2+∫t2∗×0×バツ1dt _2】=バツ( 2 + t1) t2∗​[ ∫0t2∗​0×バツ1dt _2+∫t2∗×1×バツ1dt _2】=バツx − t2∗​⇒バツ( 2 + t1∗) t2∗​=バツx − t2∗​もしそうなら1=t1∗(ファッションショーかサッカーを選択した場合の妻の期待リターンを等しいとします。これが妻の最良のリターンに対応するパラメータ分布です)​
s_2=a_1\right) \frac{1}{x} d t_1\right] if t_2<t_2^*} \\ {\left[\int_0^{t_1^*}\left(s_1^*=a_2, s_2 =a_2\right) \frac{1}{x} d t_1+\int_{t_1^*}^x\left(s_1^*=a_1, s_2=a_2\right) \frac{1}{x} d t_1\ right] if t_2 \geq t_2^*} \end{array}\right。\\ & =\max _{t_2 \in T_2}\left\{\begin{array}{l} {\left[\int_0^{t_1^*} 0 \times \frac{1}{x} d t_1+ \int_{t_1^*}^x 1 \times \frac{1}{x} d t_1\right]=\frac{x-t_1^*}{x}} \\ {\left[\int_0^{t_1 ^*}\left(3+t_2\right) \times \frac{1}{x} d t_1+\int_{t_2^*}^x 0 \times \frac{1}{x} d t_1\right]= \frac{\left(3+t_2\right) t_1^*}{x}} \\ \Rightarrow \frac{x-t_1^*}{x}=\frac{\left(3+t_2^*\right) ) t_1^*}{x} t_2=t_2^* \end{array}\right の場合。\end{整列} \\ & =\max _{t_2 \in T_2}\left\{\begin{array}{l} {\left[\int_0^{t_1^*} 0 \times \frac{1}{x} d t_1+ \int_{t_1^*}^x 1 \times \frac{1}{x} d t_1\right]=\frac{x-t_1^*}{x}} \\ {\left[\int_0^{t_1 ^*}\left(3+t_2\right) \times \frac{1}{x} d t_1+\int_{t_2^*}^x 0 \times \frac{1}{x} d t_1\right]= \frac{\left(3+t_2\right) t_1^*}{x}} \\ \Rightarrow \frac{x-t_1^*}{x}=\frac{\left(3+t_2^*\right) ) t_1^*}{x} t_2=t_2^* \end{array}\right の場合。\end{整列} \\ & =\max _{t_2 \in T_2}\left\{\begin{array}{l} {\left[\int_0^{t_1^*} 0 \times \frac{1}{x} d t_1+ \int_{t_1^*}^x 1 \times \frac{1}{x} d t_1\right]=\frac{x-t_1^*}{x}} \\ {\left[\int_0^{t_1 ^*}\left(3+t_2\right) \times \frac{1}{x} d t_1+\int_{t_2^*}^x 0 \times \frac{1}{x} d t_1\right]= \frac{\left(3+t_2\right) t_1^*}{x}} \\ \Rightarrow \frac{x-t_1^*}{x}=\frac{\left(3+t_2^*\right) ) t_1^*}{x} t_2=t_2^* \end{array}\right の場合。\end{整列}​t2∈ T2マックス∫0×( s1∗、s2）バツ1dt _1=t2∈ T2マックス⎩ ⎨ ⎧[ ∫0t1∗​( s1∗=ある2、s2=ある1）バツ1dt _1+∫t1∗×( s1∗=ある1、s2=ある1）バツ1dt _1】もしそうなら2<t2∗[ ∫0t1∗​( s1∗=ある2、s2=ある2）バツ1dt _1+∫t1∗×( s1∗=ある1、s2=ある2）バツ1dt _1】もしそうなら2≥t2∗​=t2∈ T2マックス⎩ ⎨ ⎧[ ∫0t1∗​0×バツ1dt _1+∫t1∗×1×バツ1dt _1】=バツx − t1∗​[ ∫0t1∗​( 3+t2）×バツ1dt _1+∫t2∗×0×バツ1dt _1】=バツ( 3 + t2) t1∗​⇒バツx − t1∗​=バツ( 3 + t2∗) t1∗​もしそうなら2=t2∗​​

$$\begin{array}{rl}& \begin{array}{l}\frac{\left(2+t_1^{}\right)t_2^{}}{バツ}=\frac{x-t_2^{}}{バツ}\\ \frac{x-t_1^{}}{バツ}=\frac{\left(3+t_2^{}\right)t_1^{}}{バツ}\end{array}\}\Rightarrow \{\begin{array}{l}{t}_1^{}=\frac{-3＋\sqrt{9+3x\_}}{2}\\ t_2^{}=\frac{-6+2\sqrt{9+3x\_}}{3}\end{array}\\ & \begin{array}{rl}& {ある}^{\ast }=\left\{s_1^{}(T_{}）={ある}_{}、s_1^{}(T_{}）={ある}_{};s_2^{}(T_{}）={ある}_{}、s_2^{}(T_{}）={ある}_{}\right\}\\ & T_{}=\left[t_1^{}、\times \right]、T_{}=[0,t_1^{}】T_{}=[0,t_2^{}】、T_{}=[t_2^{}、\times \end{array}\end{array}$$
上記の結論から、混合確率モデルの解結果を証明することもできます。
$$\begin{array}{rl}& P(0\le t_1^{}<\frac{-3+\sqrt{9+3x\_}}{2}）=\frac{-3+\sqrt{9+3x\_}}{2倍\_}\\ & =\frac{}{2(3+\sqrt{9+3x\_}）}{|}_{\times \to }=\frac{}{4}\\ & P(0\le t_2^{}<\frac{-6+2\sqrt{9+3x\_}}{3}）=\frac{-6+2\sqrt{9+3x\_}}{3x\_}\\ & =\frac{}{6+2\sqrt{9+3x\_}}{|}_{\times \to }=\frac{}{3}\end{array}$$
[解決策 2]
妻の戦略を仮定してみましょう: $t_{}>W$の場合、ファッション ショーを選択し、それ以外の場合はフットボールの試合を選択します。夫の戦略は妻の戦略と似ています:$t_{}>h$、フットボールの試合を選択するか、それ以外の場合はファッション ショーを選択します。上記の両当事者の戦略では、両方とも$[0,x]$の標準分布な$(\times -w)/x$、フットボールの試合を選択する確率は$w/x$ ; 夫がファッションショーを選ぶ確率は$h/x$、サッカーの試合を選択する確率は$(x—h)/x$。上記の両当事者の戦略的組み合わせをベイジアン ナッシュ均衡にするためには、パラメータ$わーと$ふー_$h\; は$適切な値を取る必要があります。
妻の観点から、夫が上記の戦略を採用したと仮定すると、ファッション ショーとフットボールの試合を選択することで期待されるメリットはそれぞれ次のとおりです。
$$\begin{array}{c}\frac{}{バツ}(2+t_{}）+\frac{バツ-}{バツ}\times 0=\frac{}{バツ}(2+t_{}）\frac{}{バツ}\times 0+\frac{バツ-}{バツ}\times 1=\frac{バツ-}{バツ}\\ w=\frac{}{h}-\end{array}$$
同様に、妻が前述の臨界価値戦略を採用していると仮定すると、フットボールの試合とファッション ショーを選択することで夫が期待する利益はそれぞれ、
$$\begin{array}{rl}& \frac{}{バツ}(3+t_{}）+\frac{バツ-}{バツ}\times 0=\frac{}{バツ}(3+t_{}）\\ & \frac{}{バツ}\times 0+\frac{バツ-}{バツ}\times 1=\frac{バツ-}{バツ}\end{array}$$
サッカーを選択することで期待される利益がファッション ショーを選択することで期待される利益を下回らない場合、夫はフットボールの試合を選択します。つまり、
$t_{}>=\frac{}{w}-4$、そこから次のことが得られます:$h=\frac{}{w}-\mathrm{４}$．
$$\{\begin{array}{l}w=\frac{}{h}-3\\ h=\frac{}{w}-\end{array}$$
$$\{\begin{array}{l}w=\frac{-3\pm \sqrt{9+3x\_}}{2}=\frac{-3＋\sqrt{9+3x\_}}{2}\\ h=\frac{-6\pm 2\_\sqrt{9+3x\_}}{3}=\frac{-6+2\sqrt{9+3x\_}}{3}\end{array}$$
パラメータ W と h が上記の 2 つの式で決定されると、前述の両当事者の Lin Jue 戦略がベイジアン ナッシュ均衡を構成することを証明するのは簡単です。上記の W と h の値によると、妻がファッション ショーを選択する確率は次のようになります。
$$\frac{バツ-}{バツ}=1-\frac{}{バツ}=1-\frac{-3+\sqrt{9+3x\_}}{2倍\_}$$
夫がフットボールの試合を選択する確率は次のとおりです:
$$\frac{バツ-}{バツ}=1-\frac{}{バツ}=1-\frac{-6+2\sqrt{9+3x\_}}{3x\_}$$
x が 0 に近づくとき、つまり不完全な情報が消滅に近いか重要ではないとき、上記 2 つの確率はそれぞれ 3/4 と 2/3 になる傾向があり、これも完全な情報夫の混合戦略均衡のランダムな選択です。と妻ゲームの確率。したがって、混合戦略均衡は、非常に少量の不完全な情報を含む静的なベイジアン ゲームのベイジアン ナッシュ均衡とみなすことができ、Harsanyi の結論が有効であることが証明されます。

[例] 非線形価格設定 限界費用cc
が一定の独占メーカーがあるとします。$c\; は$特定の製品を生産します。メーカー販売時$q\ge 消費者に与えられる商品の数量が0$の場合、数量TT は消費者から取得されます。$T$の通貨; 消費者は$q$商品の数量とお支払い$T$のコストが$u(q,て、私）=\theta v(q)-T.\_$ _ ここで$\theta V\left(q\right)$は消費者余剰の合計、$V(.)$はqqに関する確定値です$V\; (\; 0\; )\; =\; 0\; 、\; V\; \text{'}\; >\; 0\; 、\; V\; \text{'}\; \text{'}\; <\; 0\; を満たすq$の関数$V\left(0\right)=0、V^{』}>0、V^{「」}<0$ ; $\theta$はコンシューマのタイプ情報であり、その値は${私}_{}$或${私}_{}$、${私}_{}>{私}_{}>0$。総人口の${私}_{}$型コンシューマーの割合は$p_{}$，${私}_{}$型コンシューマの割合は$p_{}$、および$p_{}+p_{}=1$ . 証明: 企業の利益最大化行動 (戦略的最適性) は、次の条件が真であることを意味します:
(1)${私}_{}{V}^{』}(q_{}）=c$ ;
(2)${私}_{}{V}^{』}(q_{}）=\frac{}{1-\frac{p_{}({私は}_{}-{私}_{}}{p_{}{私}_{}}}$

[解答]
まずは問題の意味を理解してください: $V\left(q\right)$は購入された商品の数量qq関数 q の一次微分はゼロより大きく、二次微分はゼロより小さいということは、消費者が購入する商品の数が徐々に増加するにつれて、消費者がその商品がもたらすことができると考える限界効用が減少することを意味します。これは変化率であり$、$
次に、$V\left(q\right)$は商品そのものの効用属性ですが、消費者のタイプが異なるため、消費者にもたらす効用も異なります。例えば、胡椒自体には本来の価値がありますが、辛いものが好きな人にとってはそれがもたらす効用は、辛い食べ物が苦手な人にもたらす効用よりも高くなりますが、これは消費者のタイプに影響されます。
以下を証明しましょう: 2 つの参加者タイプに対応する商品効用:${私}_{}$、その消費量が$q_{}$その限界効用が限界費用に等しいとき。θ 2 \theta_2の場合${私}_{}$、その消費量が$q_{}$の場合、限界効用が限界費用よりも大きく、特にその商品が欲しい人にとっては効用は限界費用に等しく、あまりその商品を欲しくない人にとっては限界効用は限界費用よりも大きくなります。
証明:
このゲーム プロセスは、メーカーに価格$T\left(q\right)$、消費者は受け入れるか拒否します。したがって、会社には 2 つの計画セットがあります:
$(q_{}、T_{})$ θ 1 \theta_1に販売${私}_{}$タイプ$(q_{}、T_{})$ θ 2 \theta_2に販売${私}_{}$消費者のタイプ。
企業の期待利益は次のとおりです: $えー{\_}_{}=p_{}(T_{}-c{q}_{}）+p_{}(T_{}-c{q}_{}）$
上記は全て売主が提示する条件ですが、買主がこの条件を受け入れるかどうかについては、この条件が自らの利益にかなうかどうかを買主が評価するという参加制約（IR、IR、個人 - 合理性): (
IR
$$\begin{gathered} \left(IR{\_}_{}\right){私}_{}V(q_{}）-T_{}\ge 0 \\ (IR{\_}_{}\left){私}_{}V\right(q_{}）-T_{}\ge 0 \end{gathered}$$
もう 1 つの問題は、会社がさまざまな人々のグループに対してさまざまな計画を開発していることです${私}_{}$このタイプの人々の場合、式は$(q_{}、T_{})$、${私}_{}$このタイプの人々の場合、式は
$(q_{}、T_{}）$。したがって、${私}_{}$( q 1 , T 1 ) (q_1,T_1)で$(q_{}、T_{})$基準では、 (q 2, T 2) (q_2,T_2)で最終的に見つかったものではなく、消費が最大の利益を得るでしょう。$(q_{}、T_{})$基準, 消費はより良い利益を得る. この場合、企業の消費計画が間違って策定されていることを意味するため、次のインセンティブ互換性が存在します: インセンティブ互換性 (C, インセンティブ - 互換性) 制約: (IC 1
)
$$\begin{gathered} \left(I{C}_{}\right){私}_{}V(q_{}）-T_{}\ge {私}_{}V(q_{}）-T_{} \\ \left(I{C}_{}\right){私}_{}V(q_{}）-T_{}\ge {私}_{}V(q_{}）-T_{} \end{gathered}$$
したがって、ゲーム理論を解くとき、それは実際には複数の制約の下での最適化問題であるため、この種の問題を解決するための対応する最適化アルゴリズムも備えています。IR 1 IR_1
の場合$IR{\_}_{}$和$IC{\_}_{}$たとえば、$\left(IR{\_}_{}\right){私}_{}V(q_{}）-T_{}\ge 0\to {私}_{}V(q_{}）\ge T_{}$
$$\begin{array}{rl}{私}_{}V(q_{}）-T_{}\ge {私}_{}V(q_{}）-T_{}& \Rightarrow {私}_{}V(q_{}）-T_{}\ge {私}_{}V(q_{}）-{私}_{}V(q_{}）\\ & =({私は}_{}-{私}_{}）V(q_{}）\ge 0\\ V\left(q_{}\ne 0\right)>0、{私}_{}-{私}_{}>0& {私}_{}V(q_{}）-T_{}>\end{array}$$
したがって、メーカーの戦略が最適な場合、$IR{\_}_{}$等号の下で確立する必要があります。そうでない場合は、任意の小さな$\epsilon$有：
$(I{C}_{}）{私}_{}V(q_{}）-\left(T_{}+e\right)\ge {私}_{}V(q_{}）-\left(T_{}+\epsilon \right)$
$$({私}_{}）{私}_{}V(q_{}）-\left(T_{}+e\right)\ge {私}_{}V(q_{}）-\left(T_{}+\epsilon \right)$$
これはメーカーの最適化戦略に準拠していないため、${私}_{}V(q_{}）=T_{}$
したがって、次のようになります。
$$\begin{array}{rl}& {私}_{}V(q_{}）-T_{}={私}_{}V(q_{}）-T_{}={私}_{}V(q_{}）-{私}_{}V(q_{}）\\ & \Rightarrow T_{}={私}_{}V(q_{}）-{私}_{}V(q_{}）+{私}_{}V(q_{}）\\ & えー{\_}_{}=p_{}(T_{}-c{q}_{}）+p_{}(T_{}-c{q}_{}）\\ & えー{\_}_{}=p_{}({私は}_{}V(q_{}）-c{q}_{}）+p_{}\left[{私}_{}V(q_{}）-{私}_{}V(q_{}）+{私}_{}V(q_{}）-c{q}_{}\right)]\\ & =\left[p_{}{私}_{}-p_{}\left({私は}_{}-{私}_{}\right)\right]V(q_{}）-p_{}c{q}_{}+p_{}[{私}_{}V(q_{}）-c{q}_{}\end{array}$$
各セクションの条件を個別に求めます:
${私}_{}{V}^{\text{'}}(q_{}）=c$
${私}_{}{V}^{\text{'}}(q_{}）=\frac{}{1-\frac{p_{}({私は}_{}-{私}_{}}{p_{}{私}_{}}}$