順列と組み合わせについて

序文

数学と組み合わせ論では、順列と組み合わせが 2 つの基本概念です。配置とは、要素のセットを特定の順序で配置する方法を指しますが、組み合わせでは、順序とは独立した方法で要素の選択が考慮されます。日常生活でも科学研究でも、順列と組み合わせは重要な役割を果たします。順列と組み合わせの原理と応用を深く理解することで、多くの興味深い複雑な問題を解決し、世界についての理解を広げることができます。この記事では、この数学的ツールをよりよく理解し、使用できるように、順列と組み合わせの基本的な概念、特性、および応用について説明します。

配置

A nm A _ n ^ mを使用して配置します${あ}_n^{}$意味は、$\text{LあTEX}$は次のように表されます$A _ n ^ m$

計算方法

${あ}_n^{}$nnから始まることを意味します$n$個の要素からmmを選択$m$個の要素の配置数${あ}_n^{}$または$P(n,メートル）$。計算式は次のとおりです:
$${あ}_n^{}=\frac{ん}{(n-も）！}$$
ここで、$n!$はnnを意味します$n$の阶乘、即$ん！=n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot \dots \cdot 2\cdot 1$。

つまり、${あ}_n^{}$nnから始まることを意味します$n$個の異なる要素から順番に$m$個の要素を配置できる方法の数。

C++ 表現

// 计算阶乘
int factorial(int n) {
    
    
    if (n <= 1) {
    
    
        return 1;
    }
    return n * factorial(n - 1);
}

// 计算排列数
int calculatePermutation(int n, int m) {
    
    
    if (n < m) {
    
    
        return 0;  // 错误情况，返回0或抛出异常
    }
    return factorial(n) / factorial(n - m);
}

組み合わせ

C nm C _ n ^ mを使用して配置します$C_n^{}$意味は、$\text{LあTEX}$は次のように表されます$C _ n ^ m$

計算方法

$C_n^{}$nnから始まることを意味します$n$個の要素からmmを選択$m$個の要素の組み合わせの数$C_n^{}$または$C(n,メートル）$。計算式は次のとおりです:
$$C_n^{}=\frac{ん}{うーん！(n-も）！}$$
ここで、$n!$はnnを意味します$n$の阶乘、即$ん！=n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot \dots \cdot 2\cdot 1$。

つまり$C_n^{}$nnから始まることを意味します$n\; 個の$異なる要素$m$個の要素を組み合わせる方法の数。これは、二項係数、組み合わせ数、または順列組み合わせ数としても知られています。

または
$$C_n^{}=\frac{{あ}_n^{}}{ん！}$$

この式の解釈は、$n$個の要素からmm を順番に$m$個の要素を配置できる${あ}_n^{}$、$n!$は二重カウントを排除するためのものです。組み合わせでは要素の順序が考慮されないため、順列の数を$n!$、最終的な組み合わせの数を取得します。

C++ 表現

// 计算组合数
int calculateCombination(int n, int m) {
    
    
    // 基本情况
    if (m == 0 || n == m) {
    
    
        return 1;
    }
    
    // 递归调用
    return calculateCombination(n-1, m-1) + calculateCombination(n-1, m);
}