I. 推定される評価基準
a が一般化された定常ランダム信号 x(n) の特徴量であり、a の推定量を表すものとします。推定された偏差は、次のように定義される推定値の真の値への近さを反映することができます。
直感的には、B が小さいほど、a の推定値はより適切になります。理論的には、サンプル数 N が無限大になる傾向がある場合、次のように徐々に不偏な推定値が形成されます。
推定値の分散は、推定平均値に対する推定値の分散の程度を示すことができます。推定分散は次のように定義されます。
推定された平均二乗誤差は、推定値の特性を包括的に反映できます。推定値は次のように定義されます。
平均二乗誤差が次の条件を満たす場合、それは次のように一貫した推定値と呼ばれます。
- サンプル数
2. コンセンサス推定
一貫した推定値が与えられた場合、バイアスと分散の両方がゼロになる傾向があることを示します。
与えられた平均二乗誤差は次のように単純化されます。
条件によって取得されます:
したがって、次のものを取得できます。
最終的に利用可能なバイアスと分散は両方とも 0 です
1 つのアルゴリズムを表す推定値を使用すると、他のアルゴリズムの推定値は次のように表されます。
次の不等式が一定である場合:
この推定値は有効推定値と呼ばれます。
3. 推定平均値
観測数を N で表すと、定常信号シーケンス x(n) の観測サンプルは次のようになります。
これから、平均の推定値を計算できます。
3.1 バイアス
最初に利用可能になるのは:
これから偏差は次のように計算できます。
したがって、この方法は不偏推定値です。
3.2 分散
定義によれば、次のように取得できます。
(1)と
が相関しない場合には、次のようなものがあります。
単純化のために元の式を置き換えると、次のようになります。
したがって、この推定値の分散は次のようになります。
次の制限を取得できます。
したがって、推定値には偏りがなく、一貫性があります。
(2)と が
関連する場合は、次のとおりです。
さらに単純化することができます。
i と j の差が m の場合、次のようになります。
N 個のデータには m 点で区切られた Nm 個のデータ サンプルのペアがあるため、次のように取得できます。
信号データに相関がある場合、推定値の分散は共分散に関係しており、一貫した推定値ではありませんが、もちろん N の値を変更すると推定分散を改善できます。
4. 推定分散
4.1 平均値はわかっている
信号の平均がわかっている場合、分散推定値は次のように計算できます。
この式が不偏で一貫した推定値であることを証明します。
ほどく：
(1) まず偏差を確認します。
(2) 次に、一貫性を確認します。
したがって、推定分散は次のように計算されます。
4.2 未知の平均値
推定平均が不明な場合は、代わりに推定値が
使用され、分散は次のように推定できます。
(1) 偏差が偏った推定値であることを証明する
(2) 元の式を変更して不偏推定値を作成します。
ほどく：
（1）
明らかに、これは偏った推定です。
(2) 不偏推定の形式は次のとおりです。
以下は、この式が不偏推定値であることを証明します。
明らかに利用可能です:
上の式の両辺の平均を取ると、次のようになります。
したがって、B=0、これは不偏推定値です。
5. 自己相関関数の推定
5.1 不偏自己相関関数の推定
推定式は次のとおりです。
まず、次のように計算できます。
これから、偏差は次のように計算できます。
したがって、この推定値は不偏推定値です。
推定分散の計算はより複雑で、次のように近似できます。
N が以下を満たす場合、分散は 0 になる傾向があります。
5.2 偏自己相関関数の推定
推定式は以下のとおりです。
まず、次のように計算できます。
したがって、推定されるバイアスは次のようになります。
次に、次のように計算できます。
x(n) が平均ゼロの実ガウス信号の場合、推定分散は次のようになります。
明らかに、次の制限が得られます。
したがって、固定 m の場合、y は の
一貫した推定値になります。
偏自己相関関数の推定式はフーリエ変換を求めます。
FFT を使用して線形畳み込みを計算するには、次のように x(n) を 2N-1 点のシーケンスに拡張できます。
l=n+m とすると、次のようになります。
上式は有限信号のエネルギースペクトルを表し、Nで割ったものがパワースペクトルを表します。