空間次元における二点境界値問題を解くための有限差分法の応用
有限差分法は、偏微分方程式などの数学的問題を解くための一般的な数値解法です。空間次元では、有限差分法を使用して、既知の境界条件による 2 点境界値問題を解くことができます。この記事では、有限差分法の基礎を紹介し、対応するソース コードの例を示します。
有限差分法の基本原理は、解領域を有限数の格子点に離散化し、差分近似を使用して偏微分方程式の導関数を置き換えて、一連の離散代数方程式を取得することです。2D 問題の場合は、2D グリッドを使用して離散化できます。各グリッド点は、解領域内の位置を表します。
ラプラス方程式を解くような単純な 2 次元の問題を考えてみましょう:
∇²u = 0
このうち、u は解くべき関数、∇² はラプラシアン演算子を表します。この方程式を長方形の領域 Ω で解くとします。境界上の 2 点はそれぞれ A と B で、既知の境界条件は次のとおりです:
u(A) = u_A、u(B) = u_B
有限差分法を使用してこの問題を解決するには、まず解領域 Ω を 2 次元グリッドに離散化する必要があります。Ωの幅をLx、高さをLyとすると、x軸方向にNx個の格子点、y軸方向にNy個の格子点に分割できます。
各グリッド点の座標を次のように定義します。
x_i = i * Δx、ここで i = 0、1、2、…、Nx、Δx = Lx / Nx
y_j = j * Δy、ここで j = 0、1、2、…、 Ny、Δy = Ly / Ny
離散化されたグリッドでは、u_{i,j} を使用してグリッド点 (x_i, y_j) の関数値を表すことができます。ここで、i = 0, 1, 2, ..., Nx, j = 0, 1 , 2、…、ニー。
ラプラス方程式による差の近似