数据结构复习—并查集

并查集是一种简单的集合表示，支持以下三种操作：

（1）初始化；

（2）合并不相交的集合；

（3）查找集合s中x所在的子集合并返回子集合的根节点；

1、并查集的初始化

#define SIZE 100
int UFSets[SIZE];

//并查集的初始化
void initial(int s[])
{
	for(int i=0;i<SIZE;i++)
	{
		s[i]=-1;
	}
 } 

2、并查集的find操作

 //并查集的“查”操作（函数在并查集s中查找并返回包含元素x的树的根）
 int find(int s[],int x)
 {
 	while(s[x]>=0)
 	x=s[x];
 	return x;     //根的s[]小于0 
  } 

3、并查集的未优化Union操作

  //并查集的"并"操作（函数求两个不相交子集合的并集）
  void Union(int s[],int root1,int root2)
  {
  	if(root1==root2)  //同一集合没必要合并 
  	return ;
  	s[root2]=root1;   //将根root2连接到根root1下面 
   } 

由于未对并查集进行优化操作，所以经过分析，该算法的最坏时间复杂度与树高有关，为O(n)；

4、并查集的优化

//优化后的Union，让小树合并到大树下面，确保树的高度不会增加
//此时根结点的数组中存放的是该棵树的总结点树的相反数 （即负数） 
void Union(int s[],int root1,int root2)
{
	if(root1==root2)
	return ;
	if(s[root1]<s[root2])  //说明根root1的结点比较多，是棵大树，需要把root2合并到root1 
	{
		s[root1]+=s[root2];    //大树的结点总数增加 
		s[root2]=root1;        //更改小树的根节点 
	}
	else
	{
		s[root2]+=s[root1];
		s[root1]=root2; 
	}
 } 

对并查集进行优化，尽量不要使树变得“瘦高”，所以选择将小树合并到大树下，将根节点对应的数组中存储该棵树的总结点树的相反数即可。这时，利用数学归纳法可知，树的高度<=logn+1；时间复杂度也就是O(logn)。 

5、并查集的终极优化 

优化find操作，先找根节点，然后再将查找路径下的所有结点都挂到根节点下 。

int find(int s[],int x)
{
	int root=x;
	while(s[root]>=0)    //找到根节点 
	{
		root=s[root];
	}
	while(x!=root)   //压缩路径，将查找路径上的所有结点都挂到根节点下 
	{
		int t=s[x];   //保存x的父节点 
		s[x]=root;    //修改x的父节点使其指向根节点 
		x=t;          //继续往上修改结点 
	}
	return root;       //返回根节点编号 
} 

find的时间复杂度为O(a(n))。