数据结构 ---- 树

树Tree

树是数据结构中的重点，各类二叉树更是重中之重。

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1. 树的概念

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合

• 有一个特殊的结点，称为根结点，根节点没有前驱结点

• 除根节点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合Ti(1<= i
  <= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继

• 树是递归定义的。

一颗普通的树

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2. 树的相关概念

• 节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度； 如上图：A的为6

• 叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点； 如上图：B、C、H、I…等节点为叶节点

• 非终端节点或分支节点：度不为0的节点； 如上图：D、E、F、G…等节点为分支节点

• 双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点； 如上图：A是B的父节点

• 孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点； 如上图：B是A的孩子节点

• 兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点； 如上图：B、C是兄弟节点

• 树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度； 如上图：树的度为6

• 节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；

• 树的高度或深度：树中节点的最大层次； 如上图：树的高度为4

• 堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟节点

• 节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先

• 子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙

• 森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林

3. 树的表示

树相对于链表结构更加复杂，不仅要保存值，还要保存节点和节点之间的关系。树有非常多种的表示方式，例如：
双亲表示法、孩子表示法、孩子双亲表示法、孩子兄弟表示法。

这里简单介绍一下孩子兄弟表示法。

typedef int DataType;
struct Node
{
    
    
 struct Node* _firstChild1; // 第一个孩子结点
 struct Node* _pNextBrother; // 指向其下一个兄弟结点
 DataType _data; // 结点中的数据域
};

图示：

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3.二叉树

3.1 二叉树的定义

二叉树是n(n>=0)个节点的有限集合，该集合或者为空集（空二叉树）,或者由一个根节点和两个互不相交的、分别称为根节点的左子树和右子树组成。

图示：

3.2 二叉树的特点

• 二叉树的节点的度最多为2。
• 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树。

3.3 二叉树的性质

1. 若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有 2^(i - 1)个结点.

2. 若规定根节点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数是2^h - 1 .

3. 对任何一棵非空二叉树, 度为0的节点总是比度为2的节点多一个， n0 = n2 + 1

4. 在完全二叉树中，具有n个界定的完全二叉树的深度为[log2n]+1 ，其中 [log2n] 向下取整。

5. 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从0开始编号，则有以下特性：

   • 若i=1 则该节点是二叉树的跟，无双亲，否则，编号为 [i/2] 的节点为其双亲节点。
   • 若 2i>n 则该节点无左孩子，否则，编号为 2i 的节点为其左孩子节点。
   • 若2i+1>n 则该节点无右孩子节点，否则，编号为 2j+1 的节点为其右孩子节点。

3.3 特殊的二叉树

满二叉树：

一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是 ，则它就是满二叉树。

图示：

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完全二叉树：

完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K
的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对
应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

图示：

4. 其他的二叉树

4.1 二叉搜索树

又叫二叉排序树，二叉查找树。

特点：

1. 若左子树不为空，那么左子树的所有节点的值均小于它的根节点的值。
2. 若右子树不为空，那么右子树的所有节点的值大于根节点的值。
3. 左右子树也均为二叉搜索树。
   
   

图示：

优点：

对于n层的完全二叉树，最多只要查找n次就能找到结果。
2^n 个节点的二叉搜索树基本只要查找n次就能查询到。

缺点：

如果一直插入数据的话，会导致二叉树越来越高，变成斜树，其实就是链表，依旧需要全部遍历。

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4.2 平衡二叉树（AVL树）

含有相同节点的二叉查找树可以有不同的形态，而二叉查找树的平均查找的时间复杂度与树的高度有关。

• AVL树的最高层数和最低层数的差值不能超过1.
• 其左右子树也是AVL树。
• AVL树的平衡因子只能为-1，0，1

图示：

AVL树的旋转

AVL是一个查找性能非常高的数据结构，但是每当平衡因子的绝对值超过1就得进行树的旋转，维护这样一个结构很耗费性能。

优点：

查找效率非常高。

缺点：

插入效率低，当插入数据时，需要维护AVL树的平衡 ，AVL树就要大幅度的旋转，旋转树是非常损耗性能的。

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总结

简单的介绍了部分树的结构和特性。