カメラ キャリブレーションの目的は、ピクセル座標系とワールド座標系の間の関係を確立することです。原理は、カメラモデルに従って既知の特徴点の画像座標からカメラのモデルパラメータを解き、空間点の三次元座標を画像から復元できるようにすることです。解くパラメータは内部パラメータ４つと歪みパラメータ５つであり、外部パラメータは回転行列の回転パラメータ３つと並進ベクトルのパラメータ３つである。
1. ピンホールカメラモデル
カメラ撮像モデルには、レンズ投影モデル（ピンホールカメラモデル）、正投影モデル、透視投影モデルの 3 つが一般的です。次のように：
焦点距離とは何ですか? レンズの焦点距離は基本的に、レンズの中心点から鮮明な画像を形成するフィルム面またはデジタル CCD までの距離です。
物体距離 u、焦点距離 f、位相モーメント v の関係は次のとおりです。
2. 4 つの主要な座標系
1. ピクセル座標系と画像座標系（CCD面）
ピクセル座標系の原点は画像の左上隅、つまり uv 座標系であり、画像座標系の原点は画像の中心、つまり xy 座標系です。マッピング関係は次のとおりです。
上記の式を同次座標と行列の形式で表すと次のようになります。
画像座標系の単位を mm とすると、dx の単位は mm/ピクセル、x/dx の単位はピクセルになります。上の式の逆関係は次のようになります。
2. カメラ座標系
点Oはカメラの光学中心であり、点Oと軸で構成される直交座標系はカメラ座標系であり、これは
カメラの焦点距離であり、
軸はカメラの光軸であり、画像面に対して垂直です。
3. 世界座標系
世界座標系はカメラの位置、つまり世界座標系を記述するために導入され、並進ベクトル t と回転行列 R を用いてカメラ座標系と世界座標系の関係を表現します。世界座標系における空間点 P の同次座標を
、カメラ座標における同次座標を とする
。次のように：
このうち、Ｒは３×３の直交単位行列（すなわち回転行列）であり、ｔは３次元並進ベクトルである。Vector 、
4×4 行列です。
カメラ座標系とワールド座標系の関係は次のとおりです。
(1) 回転行列 R
3 次元空間では、回転はそれぞれの座標軸を中心とした 2 次元の回転に分解できます。回転軸の計量は変化しません。角度 ψ、φ、θ が x、y、z 軸の周りで順番に回転すると、合計回転行列 R は 3 つの行列 Rx(ψ)、Ry(φ)、および Rz(θ) の積になります。 ）。次のように：
(2) 並進ベクトル t
並進ベクトルは、2 番目の座標の原点からの 1 番目の座標の原点のオフセットです。オブジェクト中心を原点とする座標系からカメラを原点とする別の座標系に移動する場合、対応する並進ベクトルは t=オブジェクト原点-カメラ原点 となります。次に、次のように、ワールド座標系の座標からカメラ座標系の座標に変換します。
3 次元の回転は角度 ψ、φ、θ で表され、3 次元の平行移動はパラメータ で表され、合計 6 つのパラメータがあります。内部パラメータ (カメラ マトリクス) は で
、外部パラメータは R と t です。
3. カメラのモデルとカメラのキャリブレーション
1. 理想的なカメラモデル（線形モデル）
ピンホールカメラモデルによれば、像面上の任意の点の投影点は、
Ｃ（光学中心、すなわち投影の中心）と を結んだ線となる
。比例関係により、次のようになります。
上記の式を同次座標および行列形式 (カメラ座標系と画像座標系) で表現すると、次のようになります。
ピクセル座標系と画像座標系、ワールド座標系とカメラ座標系は次のとおりです。
すべてをまとめると、次のようになります。
上式はワールド座標系（単位はミリメートル）からピクセル座標系（単位はピクセル）への変換を完了し、ワールド座標系からカメラ座標系へ、カメラ座標系からカメラ座標系への変換を経験しました。画像座標系からピクセル座標系へ変換します。その中には、と
。M は 3×4 の射影行列で、M1 はカメラ の内部パラメータによって完全に
決定され、それぞれ主点の座標である
画像の u 軸と v 軸のスケール係数を表します。
はカメラの外部パラメータによって完全に決定され、カメラのキャリブレーションはカメラの内部パラメータと外部パラメータを決定することです。ピクセル座標系はワールド座標系から求めることができますが、射影行列 M は 3×4 の不可逆行列であるため、ピクセル座標系からワールド座標系を求めることはできません。直観的には、光線 OP 上に位置するすべての空間点の投影点は点 p です。
2. 実際のカメラモデル（非線形モデル）
カメラのキャリブレーションは、カメラの内部パラメータまたは外部パラメータを決定するプロセスです。内部パラメータはカメラの内部幾何学的および光学的特性を指し、カメラの外部パラメータは世界座標系からカメラ座標系への並進ベクトルおよび回転行列を指します。実際のカメラのモデルは次のとおりです。
このうち、ｍは実際の投影点の像面座標系における物理座標を表し、ｍ'は理想投影点の像面座標系における物理座標を表す。以下では、ラジアル歪とタンジェンシャル歪のみを考慮し、偏心歪や薄プリズム歪は考慮していない。
(1) ラジアル歪み
放射状の歪みは、光線がレンズの中心に近づくよりも中心から離れるほど大きく湾曲するために発生します。次のように：
(2) 接線方向の歪み
接線方向の歪みは、レンズ自体が結像面と非平行になるカメラの製造上の欠陥によって発生します。次のように：
その中で、は半径方向の歪み係数、
は接線方向の歪み係数、
は半径方向の半径、 です
。
4. OpenCV単眼カメラキャリブレーションの実装[3]
参考文献:
[1] 単眼視校正の原理: http://www.cnblogs.com/polly333/p/4994408.html
[2] カメラの詳細モデル: http://blog.csdn.net/lsh_2013/article/details/47615309
[3] OpenCV 単眼カメラのキャリブレーション: http://blog.csdn.net/t247555529/article/details/47836233
カメラ キャリブレーションの目的は、ピクセル座標系とワールド座標系の間の関係を確立することです。原理は、カメラモデルに従って既知の特徴点の画像座標からカメラのモデルパラメータを解き、空間点の三次元座標を画像から復元できるようにすることです。解くパラメータは内部パラメータ４つと歪みパラメータ５つであり、外部パラメータは回転行列の回転パラメータ３つと並進ベクトルのパラメータ３つである。
1. ピンホールカメラモデル
カメラ撮像モデルには、レンズ投影モデル（ピンホールカメラモデル）、正投影モデル、透視投影モデルの 3 つが一般的です。次のように：
焦点距離とは何ですか? レンズの焦点距離は基本的に、レンズの中心点から鮮明な画像を形成するフィルム面またはデジタル CCD までの距離です。
物体距離 u、焦点距離 f、位相モーメント v の関係は次のとおりです。
2. 4 つの主要な座標系
1. ピクセル座標系と画像座標系（CCD面）
ピクセル座標系の原点は画像の左上隅、つまり uv 座標系であり、画像座標系の原点は画像の中心、つまり xy 座標系です。マッピング関係は次のとおりです。
上記の式を同次座標と行列の形式で表すと次のようになります。
画像座標系の単位を mm とすると、dx の単位は mm/ピクセル、x/dx の単位はピクセルになります。上の式の逆関係は次のようになります。
2. カメラ座標系
点Oはカメラの光学中心であり、点Oと軸で構成される直交座標系はカメラ座標系であり、これは
カメラの焦点距離であり、
軸はカメラの光軸であり、画像面に対して垂直です。
3. 世界座標系
世界座標系はカメラの位置、つまり世界座標系を記述するために導入され、並進ベクトル t と回転行列 R を用いてカメラ座標系と世界座標系の関係を表現します。世界座標系における空間点 P の同次座標を
、カメラ座標における同次座標を とする
。次のように：
このうち、Ｒは３×３の直交単位行列（すなわち回転行列）であり、ｔは３次元並進ベクトルである。Vector 、
4×4 行列です。
カメラ座標系とワールド座標系の関係は次のとおりです。
(1) 回転行列 R
3 次元空間では、回転はそれぞれの座標軸を中心とした 2 次元の回転に分解できます。回転軸の計量は変化しません。角度 ψ、φ、θ が x、y、z 軸の周りで順番に回転すると、合計回転行列 R は 3 つの行列 Rx(ψ)、Ry(φ)、および Rz(θ) の積になります。 ）。次のように：
(2) 並進ベクトル t
並進ベクトルは、2 番目の座標の原点からの 1 番目の座標の原点のオフセットです。オブジェクト中心を原点とする座標系からカメラを原点とする別の座標系に移動する場合、対応する並進ベクトルは t=オブジェクト原点-カメラ原点 となります。次に、次のように、ワールド座標系の座標からカメラ座標系の座標に変換します。
3 次元の回転は角度 ψ、φ、θ で表され、3 次元の平行移動はパラメータ で表され、合計 6 つのパラメータがあります。内部パラメータ (カメラ マトリクス) は で
、外部パラメータは R と t です。
3. カメラのモデルとカメラのキャリブレーション
1. 理想的なカメラモデル（線形モデル）
ピンホールカメラモデルによれば、像面上の任意の点の投影点は、
Ｃ（光学中心、すなわち投影の中心）と を結んだ線となる
。比例関係により、次のようになります。
上記の式を同次座標および行列形式 (カメラ座標系と画像座標系) で表現すると、次のようになります。
ピクセル座標系と画像座標系、ワールド座標系とカメラ座標系は次のとおりです。
すべてをまとめると、次のようになります。
上式はワールド座標系（単位はミリメートル）からピクセル座標系（単位はピクセル）への変換を完了し、ワールド座標系からカメラ座標系へ、カメラ座標系からカメラ座標系への変換を経験しました。画像座標系からピクセル座標系へ変換します。その中には、と
。M は 3×4 の射影行列で、M1 はカメラ の内部パラメータによって完全に
決定され、それぞれ主点の座標である
画像の u 軸と v 軸のスケール係数を表します。
はカメラの外部パラメータによって完全に決定され、カメラのキャリブレーションはカメラの内部パラメータと外部パラメータを決定することです。ピクセル座標系はワールド座標系から求めることができますが、射影行列 M は 3×4 の不可逆行列であるため、ピクセル座標系からワールド座標系を求めることはできません。直観的には、光線 OP 上に位置するすべての空間点の投影点は点 p です。
2. 実際のカメラモデル（非線形モデル）
カメラのキャリブレーションは、カメラの内部パラメータまたは外部パラメータを決定するプロセスです。内部パラメータはカメラの内部幾何学的および光学的特性を指し、カメラの外部パラメータは世界座標系からカメラ座標系への並進ベクトルおよび回転行列を指します。実際のカメラのモデルは次のとおりです。
このうち、ｍは実際の投影点の像面座標系における物理座標を表し、ｍ'は理想投影点の像面座標系における物理座標を表す。以下では、ラジアル歪とタンジェンシャル歪のみを考慮し、偏心歪や薄プリズム歪は考慮していない。
(1) ラジアル歪み
放射状の歪みは、光線がレンズの中心に近づくよりも中心から離れるほど大きく湾曲するために発生します。次のように：
(2) 接線方向の歪み
接線方向の歪みは、レンズ自体が結像面と非平行になるカメラの製造上の欠陥によって発生します。次のように：
その中で、は半径方向の歪み係数、
は接線方向の歪み係数、
は半径方向の半径、 です
。
4. OpenCV単眼カメラキャリブレーションの実装[3]
参考文献:
[1] 単眼視校正の原理: http://www.cnblogs.com/polly333/p/4994408.html
[2] カメラの詳細モデル: http://blog.csdn.net/lsh_2013/article/details/47615309
[3] OpenCV 単眼カメラのキャリブレーション: http://blog.csdn.net/t247555529/article/details/47836233