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X の密度関数が
p ( x ) = { x , 0 ≤ x < 1 ; 2 − x , 1 ≤ x < 2 ; 0 の場合、その他 p(x)= \begin{cases} x,&0 \le x <1; \\ 2-x,&1 \le x<2; \\ 0,&other. \end{cases}p ( x )=⎩⎪⎨⎪⎧× 、2−× 、0、0≤バツ<1 ;1≤バツ<2 ;その他。
P{X≤1.5}=_____ 【正解：7/8 または 0.875】（結果を分数で表現）
解法：
P { X ≤ 1.5 } = ∫ − ∞ 1.5 p ( x ) dx = ∫ 0 を求めてみましょう。 1 xdx + ∫ 1 1.5 ( 2 − x ) dx = x 2 2 ∣ 0 1 + ( 2 x − x 2 2 ) ∣ 1 1.5 = 1 2 − 0 + ( 3 − 1. 5 2 2 ) − 3 2 = 7 8 P \{ X \le 1.5 \} = \int _{- \infty }^{1.5}p(x)dx= \int _{0}^{1}xdx+ \int _{1}^{1.5 }( 2-x)dx= \frac {x^{2}}{2}|_{0}^{1}+(2x- \frac {x^{2}}{2})|^{1.5 }_1 =\frac{1}{2}-0+(3- \frac {1.5^{2}}{2})- \frac {3}{2}= \frac {7}{8}P { X≤1 . 5 }=∫− ∞1 . 5p ( x ) d x=∫01x d x+∫11 . 5( 2−x ) d x=2バツ2∣01+( 2x _−2バツ2) ∣11 . 5=21−0+( 3−21 . 52)−23=87 -
確率変数 X の密度関数を
p ( x ) = { a + bx 2 , 0 ≤ x ≤ 1 ; 0 、その他とします。 p(x)= \begin{cases} a+bx^{2},&0 \ le x \le 1; \\ 0,&other. \end{cases}p ( x )={ ある+bx _2、0、0≤バツ≤1 ;その他。
E ( X ) = 2 3 E(X)= \frac {2}{3}の場合E ( X )=32、
シーク: a=_____ [正解: 1/3] および b=_____ [正解: 2]; (a の結果を近似分数で表現してください) 質問には複数の回答 (複数の空白) を記入できます
。答えを記入した解
: ∫ − ∞ + ∞ p ( x ) dx = ∫ 0 1 ( a + bx 2 ) dx = ( ax + b ⋅ x 3 3 ) ∣ 0 1 = a + b (
規則性∫− ∞+ ∞p ( x ) d x=∫01( _+bx _2 )dx_=( × _+b⋅3バツ3) ∣01=ある+3b=1 ,またE ( X ) = ∫ − ∞ + ∞ xp ( x ) dx = ∫ 0 4 x ( a + bx 2 ) dx = ( a ⋅ x 2 2 + b ⋅ x 4 4 ) ∣ 0 1 = a 2 + b 4 = 2 3 E(X)= \int _{- \infty }^{+ \infty }xp(x)dx= \int _{0}^{4}x(a+bx^{2} )dx=(a \cdot \frac {x^{2}}{2}+b \cdot \frac {x^{4}}{4})|_{0}^{1}= \frac {a }{2}+ \frac {b}{4}= \frac {2}{3}E ( X )=∫− ∞+ ∞x p ( x ) d x=∫04× ( _+bx _2 )dx_=( _⋅2バツ2+b⋅4バツ4) ∣01=2あ+4b=32,故a = 1 3 , b = 2 a= \frac {1}{3},b=2ある=31、b=2 -
確率変数 X の密度関数を次のようにします:
p ( x ) = { e − x , x > 0 ; 0 , x ≤ 0. p(x)= \begin{cases} e^{-x},&x >0; \\ 0,&x \le 0. \end{cases}p ( x )={ e− x、0、バツ>0 ;バツ≤0 .
试求 E ( 2 X + 5 ) E(2X+5) E ( 2X _+5 ) =_____ 【正确答案: 7】;
解:
E ( 2 X + 5 ) = ∫ 0 + ∞ ( 2 x + 5 ) e − xdx = ∫ 0 + ∞ ( 2 x + 5 ) ( − de − x ) = − ( 2 x + 5 ) e − x ∣ 0 + ∞ + ∫ 0 + ∞ 2 e − xdx = 5 − 2 e − x ∣ 0 + ∞ = 7 E(2X+5)=∫_0^{+ ∞}(2x+5)e^{−x}dx=∫_0^{+∞}(2x+5)(−de^{−x})=−(2x+5)e^{−x}| _0^{+∞}+∫_0^{+∞}2e^{−x}dx=5−2e^{−x}|_0^{+∞}=7E ( 2X _+5 )=∫0+ ∞( 2x _+5 ) e- x dx=∫0+ ∞( 2x _+5 ) ( −デ_− ×）=− ( 2x _+5 ) e− × ∣0+ ∞+∫0+ ∞2e_ _- x dx=5−2e _ _ _− × ∣0+ ∞=7 -
将来の新製品の市場シェア X は区間 (0, 1) 上の値のみを取る確率変数であり、その密度関数は p
( x ) = { 4 ( 1 − x ) 3 , 0 となります。 < x < 1 ; 0 、その他. p(x)= \begin{cases} 4(1-x)^{3},&0<x<1; \\ 0,&others. \end{cases}p ( x )={ 4 ( 1−× ）3、0、0<バツ<1 ;その他。
平均市場シェア =_____【正解: 0.2 または 1/5】
解:
E ( X ) = ∫ 0 1 x ⋅ 4 ( 1 − x ) 3 dx = ∫ 0 1 ( 4 x − 12 x 2 + 12 x 3 − 4 x 4 ) dx = ( 2 x 2 − 4 x 3 + 3 x 4 − 4 5 x 5 ) ∣ 0 1 = 1 5 E(X)= \int _{0}^{1}x \cdot 4 (1-x)^{3}dx= \int _{0}^{1}(4x-12x^{2}+12x^{3}-4x^{4})dx=(2x^{2 } -4x^{3}+3x^{4}- \frac {4}{5}x^{5})|^1_0= \frac {1}{5}E ( X )=∫01バツ⋅4 ( 1−× ）3dx __=∫01( 4x _−1 2 ×2+1 2 ×3−4x _4 )dx_=( 2x _2−4x _3+3x _4−54バツ5 )∣01=51 -
工場のブルドーザーの修理時間 T は確率変数 (単位: h) であり、その密度関数は
p ( t ) = { 0.02 e − 0.02 t , t > 0 ; 0 , t ≤ 0 です。 p(t ) = \begin{cases} 0.02e^{-0.02t},&t>0; \\ 0,&t \le 0. \end{cases}p ( t )={ 0 。0 2 e− 0 。0 2 t、0、t>0 ;t≤0 .
平均保守時間=______【正解：50】
解：
平均保守時間E ( T ) = ∫ 0 + ∞ t ⋅ 0.02 e − 0.02 tdt = ∫ 0 + ∞ t ( − de − 0.02 t ) = − te − 0.02 t ∣ 0 + ∞ + ∫ 0 + ∞ e − 0.02 tdt = e − 0.02 t − 0.02 ∣ 0 + ∞ = 50 E(T)= \int _{0}^{+ \infty }t \cdot 0.02e^ {-0.02t}dt= \int _{0}^{+ \infty }t(-de^{-0.02t}) =-te^{-0.02t}|_{0}^{+ \infty } + \int _{0}^{+ \infty }e^{-0.02t}dt= \frac {e^{-0.02t}}{-0.02}|_{0}^{+ \infty }=50E ( T )=∫0+ ∞t⋅0 。0 2 e− 0 。0 2 t dt=∫0+ ∞t ( − d e− 0 。0 2t ) _=-て_− 0 。0 2 t ∣0+ ∞+∫0+ ∞e− 0 。0 2 t dt=− 0 。0 2e− 0 。0 2t_ _∣0+ ∞=5 0 -
学生が課題を完了するまでの時間 X は時間単位の確率変数です。その密度関数は
p ( x ) = { cx 2 + x , 0 ≤ x ≤ 0.5 ; 0 、その他です。p(x)= \begin{ cases} cx^{2}+x,&0 \le x \le 0.5; \\ 0,&other. \end{cases}p ( x )={ cx _2+× 、0、0≤バツ≤0 。5 ;その他。
(1) 定数 c=_____ [正解: 21];
(2) 課題を 20 分以内に完了する確率を求めます =_____ [正解: 17/54]; (結果はおおよその分数で表してください) (
3) 10 分を求めてください 上記の課題を完了する確率 =_____ 【正解: 103/108】; (結果は近似分数で表してください)
解法:
(1) 密度関数の規則性より、∫ − ∞ + ∞ p ( x ) dx = ∫ 0 0.5 ( cx 2 + x ) dx = ( cx 3 3 + x 2 2 ) ∣ 0 ∞ = c 24 + 1 8 = 1 \int _{- \infty }^{+ \infty }p (x)dx= \int _{0}^{0.5}(cx^{2}+x)dx=(c \frac {x^{3}}{3}+ \frac {x^{2}} {2})|_{ 0}^{ \infty }= \frac {c}{24}+ \frac {1}{8}=1∫− ∞+ ∞p ( x ) d x=∫00 。5( c x2+x ) d x=( c3バツ3+2バツ2) ∣0∞=2 4c+81=1.したがって、 c=21;
(2) 分布関数 F(x)=P{X≤x}、サブセクション点は x=0, 0.5、
x<0 の場合、F ( x ) = P { X ≤ x } = P ( ϕ ) = 0 F(x)=P\{X≤x\}=P(\phi)=0F ( × )=P { X≤× }=P ( ϕ )=0
当0≤x<0.5のとき、F(x)=∫ − ∞ xp ( u ) du = ∫ 0 x ( 21 u 2 + u ) du = ( 7 u 3 + u 2 2 ) ∣ 0 x = 7 x 3 + x 2 2 \int _{- \infty }^{x}p(u)du= \int _{0}^{x}(21 u^{2}+u)du=(7u^{3 }+ \frac {u^{2}}{2})|_0^{x}=7x^{3}+ \frac {x^{2}}{2}∫− ∞×p ( u ) d u=∫0×( 21u_ _ _2+う）ドゥー_=( 7u _3+2あなた2) ∣0×=7x _3+2バツ2
x≧0.5の場合、F ( x ) = P { X ≤ x } = P ( Ω ) = 1 F(x)=P\{X≤x\}=P(Ω)=1F ( × )=P { X≤× }=P ( Ω )=1なので、
X の分布関数
F ( x ) = { 0 , x < 0 ; 7 x 3 + x 2 2 , 0 ≤ x < 0.5 ; 1 , x ≥ 0.5 ; F(x)= \begin{cases} 0 ,&x<0; \\ 7x^{3}+ \frac {x^{2}}{2},&0 \le x<0.5; \\ 1,&x \ge 0.5; \end{cases}F ( × )=⎩⎪⎨⎪⎧0 、7x _3+2バツ2、1、バツ<0 ;0≤バツ<0 。5 ;バツ≥0 。5 ;
(3) 所望確率はP { X ≤ 20 60 = 1 3 } = F ( 1 3 ) = 7 × ( 1 3 ) 3 + 1 2 × ( 1 3 ) 2 = 7 27 + 1 18 = 17 54 P \{ X \le \frac {20}{60}= \frac {1}{3} \} =F \left ( \frac {1}{3} \right )=7 \times \left ( \frac { 1}{3} \right )^{3}+ \frac {1}{2} \times \left ( \frac {1}{3} \right )^{2}= \frac {7}{27} + \frac {1}{18}= \frac {17}{54}P { X≤6 02 0=31}=F(31)=7×(31)3+21×(31)2=2 77+1 81=5 41 7;
(4) 所望確率はP { X ≥ 10 60 = 1 6 } = 1 − F ( 1 6 ) = 1 − 7 × ( 1 6 ) 3 − 1 2 × ( 1 6 ) 2 = 1 − 7 216 − 1 72 = 103 108 P \{ X \ge \frac {10}{60}= \frac {1}{6} \} =1-F \left ( \frac {1}{6} \right )=1 -7 \times \left ( \frac {1}{6} \right )^{3}- \frac {1}{2} \times \left ( \frac {1}{6} \right )^{2 }=1- \frac {7}{216}- \frac {1}{72}= \frac {103}{108}P { X≥6 01 0=61}=1−F(61)=1−7×(61)3−21×(61)2=1−2 1 67−7 21=1 0 81 0 3