04 ノート 離散数学 - 関係 - 離散数学に基づく (第 3 版)_張 京民、陶善楽

関係の概念

X、Y は集合、R は X×Y の部分集合、X=Y の場合、R は X から Y への二項関係と呼ばれ、R は X 上の関係と呼ばれ、(x,y)∈R は x と呼ばれます。 、y は関係 R を満たし、xRy で示されます。x は y の前件、y は x のポストキーです。

定義
R を X から Y までの二項関係とします。Rの定義領域はdom(R) として記録され、R の値の範囲は ran( R )
$$ドム\left(R\right)\_\_=\{x|x\in X、そしてyが存在します\in Yは(x,y)\in R\}$$
$$ラーン\left(R\right)\_\_=\{y|y\in Y、そしてxが存在します\in Xは(x,y)\in R\}$$

空の関係: 空集合
完全な関係: X×Y
恒等関係: {(x,x)|x∈X}

関数
X から Y への関数 f は、X から Y への二項関係を作ります
1) dom(f) = X
2) $$\forall \times \in X、y_{}、y_{}\in やあ、(x,y_{})\in f\wedge (x,y_{})\in f\to y_{}=y_{}$$

バイナリ表現

1) 集合を表現する方法
2) 関係グラフは
X、Y を使用し、グラフ内の頂点を表します。一般的に X は左、Y は右です。(x, y)∈R の場合、有向辺を使用してxからyに描く、x= yのとき、円を描く

3) 関係行列
m×n 行列、テイク 1 に属する場合、テイク 0 に属さない場合

n項関係

X1...Xn は n 個の集合の部分集合
X1×...×Xn R は n 項関係

リレーショナル演算

逆系
$$R^{-1}=\left\{\right(y,x)|(x,y)\in R\}\subseteq Y\times X\; の$$
補数関係
x<y
の逆関係は x>y
の補数関係は x≥y の
合成関係
$$R=\left\{\right(x,z)|x\in X、z\in Zと、Yに属するyが存在します(x、y)\in R、(y,z）\in S\}$$

複合関係は交換法則を満たさないため
、2 つの関係を複合することはできません

Power
R を X 上の関係とします。n∈N
R の n 乗 R^n
$$R^n=\{\begin{array}{rlr}{私}_{}& & n=0\\ R^{n-1}& & \end{array}$$

制約
R を X 上の関係、Y を X の部分集合とすると、Y 上の関係 {(x,y)|x, y∈Y, and (x,y)∈R} を R の制約と呼びます。 Y上

リレーショナル演算のプロパティ

$$(R^{-1}{）}^{-1}=R$$
$$(R\cup さ{）}^{-1}=R^{-1}\cup S^{-1}(R\cap さ{）}^{-1}=R^{-1}\cap S^{-1}$$
$$(R○さ{）}^{-1}=S^{-1}○R^{-1}$$
$$(R○さ）○T=R○(S○た）$$

定理
R を X 上の関係とすると、任意の正の整数 n と任意の x,y∈X に対して、(x,y)∈R^k は
n+1 タプル (x0...xn)∈ の存在と等価です。 X^ {n+1}
ただし、x0 = x、xn = y。任意の i に対して、(x_i, x_{i+1}) ∈ R

系 1
R は X, m, n∈N の関係
$$R^m{R}^n=R^{m+n}$$
系 2
R を有限集合 X 上の関係とします。 |X|=n, n∈N、任意の x、y∈X、m∈N に対して、 (x,y)∈R m の場合^、kとなる

系 3
|X|=n
$$\bigcup _{m=1}{R}^{メートル}=\bigcup _{m=1}{R}^{メートル}$$

関係特別なプロパティの閉鎖

特殊な性質1) x ∈ X、常に (x, x) ∈ R が存在し、R は X
に対する再帰関係です 2) x ∈ X、R に属さない (x, x) が常に存在し、R は
X 上の再帰関係 逆関係3 ) x, y ∈ X、(x, y) ∈ R である限り、(y, x) ∈ R が存在し、R は
X 上で対称な関係
4) x, y ∈ X , (x, y) ∈R および (y,x)∈R が x=y である限り、R は X 上の関係反対称
5) 3) x, y, z∈X, (x,y である限り) )∈R と (y,z) ∈R、(x,z)∈R が存在し、R は X 上の関係推移的な

記号表現
1) 再帰
$${私}_{}\subseteq R$$
2) 反反射
$$R\cap {私}_{}=\varnothing$$
3) 対称関係
$$R^{-1}=R$$
4) 反対称
$$R\cap R^{=1}\subseteq {私}_{}$$
5) 推移的な関係は
$$R^2\subseteq R$$は次から推定されます (等価ではないため、 R n ⊆ RR^n\sube R
に渡すことはできません)
$$R^n\subseteq R$$

関係行列は、
1) 再帰的、対角は 1
2) 再帰的反対角は 0
3) 行列の対称性
4) 行列の対称性には少なくとも 1 つの 0 があることを示します。

関係グラフの表現
1) 再帰頂点にはサイクルがあります
2) 反再帰頂点にはサイクルがありません
3) 対称頂点間にエッジがあり、2 つの反対側のエッジが必要です
4) 非対称グラフには多くても 1 つのエッジがあります

閉鎖

R を X 関係、P をプロパティ P を含む関係プロパティ (R を含む) として定義し
、X 上の最小の関係を R の P クロージャと呼びます。

R の P 閉包は、 1) R ⊆ RPR\sube R^Pを満たすX 上の関係 R ^Pです。
$$R\subseteq R^P$$
2)$$R^{P\; は}プロパティPを持ちます$$
3) X 上の任意の関係 R' について、R' がプロパティ P を持っている場合 if
$$Rの場合\subseteq R^{「、}」それからR^P\subseteq R^{』}$$

たとえば、R は X の関係であり、X 上の R を含む推移的関係はR の推移閉包です。X 上の関係 T が次の特性を持つ場合、
1) $$R\subseteq T$$
2) T は推移的です
3) X 上に R を含む推移的な関係には T が含まれており
、T は R の推移閉包です

定理
r 再帰閉包、s 対称閉包、t 推移閉包
1) $$r\left(R\right)=r\cup {私}_{}$$
2) $$s\left(R\right)=R\cup R^{-1}$$
3)$$t\left(R\right)=\bigcup _{n=1}{R}^n$$

等価関係と分割

同値関係
定義：再帰的関係、対称関係、推移的関係を同時に
満たす関係R が X、xRy 上の同値関係であるとき、xRy は R と同値であるという1) 恒等関係のすべての関係は同値関係2 ) R ≤ 関係は等価関係ではありません3) xRy は次のように定義されます: x と y は同じ姓を持ち、R は等価関係です4) xSy、x と y は同じ父親または母親を持ち、S は等価関係ではありません関係

同値クラス
定義: R [ x ] R 上の x の同値クラス : { y ∣ y ∈ X , および y R x } ⊆ XR : X 上の同値関係, x ∈ X [x]_R:\{y |
y∈X $$\begin{gathered} [\times {]}_{}:\{y|y\in X、およびyRx\}\subseteq バツ \\ R:X、x\_の同値関係\in X \end{gathered}$$
等価クラスの代表要素x [x]_R

合同関係 R_m modulo m と合同類
1)
$$R_{}=\left\{\right(x,y)|x、y\in Z、\times \equiv y\left(modm\right)\}、\_\_メートル\in N$$
R_m は Z 上の同値関係です。
2) Z 法 3 の合同関係 R_3
0, 1, 2 の場合、同値類
$$\begin{gathered} [0{]}_{R3}=\{3n|n\in Z\} \\ [1{]}_{R3}=\{3n\_+1|n\in Z\} \\ [2{]}_{R3}=\{3n\_+2|n\in Z\} \end{gathered}$$

定理
R は同値関係
1) $$xRy\Rightarrow [\times {]}_{}==[y{]}_{}$$
2) $$¸xRy\_\_\_\Rightarrow [\times {]}_{}\cup [y{]}_{}=\varnothing$$
3)$$\underset{x\in X}{}[z{]}_{}=バツ$$

プロパティ
1) 同値クラスの任意の要素は、同値クラスの代表要素として使用できます。
2) 任意の 2 つの同値クラスは等しいか、共通の要素を持ちません
。 3) 同値クラスは、互いに等価なすべての要素で構成されます。

R に関する業務集合 X ビジネス集合 X/R: R に関する X のすべての同値類の集合X
/R = {[x]_R| x ∈ R}
R: X 上の同値関係

たとえば、
$$Z/R3\_=\left\{\right[0{]}_{R3}、[1{]}_{R3}、[2{]}_{R3}\}$$

分割する

x を円周率で割る

$$\begin{gathered} 円周率\subseteq P\left(X\right) \\ \forall A\_\in p、あ\ne \varnothing \\ \forall A、\_B\in p、（A=B\vee あ\cap B=\varnothing ） \\ \cup 円周率=X\; の \end{gathered}$$
定理
R は X の同値関係
X/R は X の除算

pi は X の除算であり、R の関係は次のように定義されます。
$$R=\left\{\right(x,y)|x、y\in \pi \}\; Rの同じ分割ブロックはX$$
上の同値関係です

部分的な注文

X は集合であり、 X 上の再帰的、非対称、および推移的関係は、X 上の半順序関係であり、半順序と呼ばれ、半順序関係とも呼ばれます。

≤ が X の半順序の場合、X の 2 つの要素 x、y、x≤y、または y≤x のいずれか 1 つが常に true となり、≤ が X の全順序になります。 ≤ が X の半順序の場合、X
順序 ≤ は部分順序集合と呼ばれ、2 つのタプル (X, ≤) として記録されます。 ≤ が集合 X 上の全順序である場合、(X, ≤) は合計であると言われますオーダーセット

x、y∈X、x≤y または y≤x の場合、x と y は半順序 ≤ に関して比較可能であると言われます。

蓮津

定義
半順序集合 (X, ≤) x,y∈X
y は、 x < z < y x<y\land \lnot \exist z∈X となるような x x < y ∧ ¬ ∃ z ∈ X をカバーします。 $$バツ<y\wedge \exists z\_\_\in X\; がxを作る<z<y$$
y は x の直接の後継者です

ハッセ図
のノード x と y の間の矢印は、y が x を覆い、y が x の上にある場合にのみ接続されます。デフォルトでは、各点にリングがあるため、リングは描画されません

プロパティ
(X, ≤)poset, a ∈ X
1) 任意の x ∈ X、x ≤ a の場合、a は (X, ≤) の最大の要素と呼ばれます
2) a ≤ x、a は (X, ≤) と呼ばれます
3 ) X に属する x はありません a<x とします。a は (X, ≤) の最大要素です。 4) x<a, a は (X, ≤ )
の最小要素です。

最大 (小) 要素が 1 つだけ存在するか、最大 (小) 要素が存在しない最大 (小) 要素が
複数存在するか存在しない最大 (小) 要素が必ずしも最大 (小)要素であるとは限らない要素が存在します。最大 (小さい) 要素が 1 つだけあります。順序セット全体の最大 (小さい) 要素は、最大 (小さい) 要素でなければなりません。