------ 定義された操作とプロパティ
Sが空、写像fとする：SN-> Sは、S上のn進演算と称される 集合Sに定義されたバイナリ演算である「•」とし もし：
- ∀x、y∈S、•Sに"•"と呼ばれるy∈Sを、Xがされて閉鎖さで。
- ∀x、y∈S、X•Y = Y•X、 いわゆる"•" Sはあるに交換可能では。
- ∀x、Y、z∈S、X• （Y•Z）=（X•Y）•Z、 いわゆる"•" Sであること結合することができるものです。
- ∀x∈Sは、X•X = X、Sの上にある"•"と呼ばれるべき等の。
◆☉設けられている場合、Sで同時に2つのバイナリ操作を定義
- ∀x、Y、ZS、x☉（ Y◆Z）=（x☉y）◆（x☉z） とy☉（Z◆X）=（ y☉x）◆（z☉x）、 計算と呼ばれますですアサインインチ
- ◆☉および動作は交換可能であり、そして∀x、YS、X◆（x☉y ）= X とx☉（X◆y）は= X 、 及び◆は演算☉満たすと言われる吸収法則を。
------代数システムの特定の要素の定義
非空集合SはS f1で動作の数に伴って、定義され、F2、...は、FKからなるシステムと呼ばれる代数システム、と呼ばれる<S、F1、F2、... 、FK>。
代数系を定義された特定の要素：
1. 識別要素（ユニットセル）：∃eSもしそのようなXS、E•X = E• X = X、 代数システムと呼ばれるEは同一要素。
2. 無記号：もしS∃θSような任意の要素x、そこθ•X = X•θ=ためにその θ、 θはゼロ要素と呼ばれる代数システムです。
3. Idempotents：∃aSは、とても•=という、冪等と呼ばれるシステムがある場合。
4. 逆：•B = B• = E、 aとbは互いに逆です。
- それはユニークな逆逆の要素を持っている場合は、ID要素とゼロドルは、それぞれの要素ユニークです。
------グループ
代数システム<S、•>、もし
1.「•」クローズド操作、広いグループ。
2.「•」閉操作であるが、と比較して、操作を組み合わせることができる半グループ。
3.「•」閉動作であるだけでなく、操作を組み合わせることができ、同一の要素があり、各要素はのために、逆元を有する基。
一連のn個の要素の構成集合Sに設けられた全ての置換N 。
S N-その操作が閉じているように、2つの置換は、Aにおける複合遺跡での置換です。
合成関数がバインドされているので、それが結合した複合体であると置換することができます。
S N-存在一体順列π=（1）、その結果、任意の置換両方σ•π=π•σ= σ、 したがってπ=（1）単一の要素です。
X-Y変位の各要素は、それぞれが逆置換を有するように、XがYに、逆置換要素PUTなります。
私たちは<S、•>と呼ばれる対称群のn。
どちらの場合も、サブグループは、以下のとおりです。
设<G,*>和<S,*>都是群，若S是G的非空子集，则称S是G的子群。
设<G,*>是群，a ϵ G，记S={ an | n ϵ Z }，则<S,*>是<G,*>的子群。
（其他的定义也都可，满足第一条就行）
如果<S , •>是群，且运算满足交换律，则称<S , •>为可交换群。
<S , •>为可交换群 ↔ 对任意a，b ϵ G，都有( a • b )2=a2 • b2
如果<S , •>是群，且其中存在一个元a使得群可由a生成，即G=(a)。则称G为循环群，a为G的一个生成元。称使得an=e的最小正整数n为元素a的周期。
在此基础上有三条推断可以直接使用：
- am=e ↔ n|m
- ai=aj ↔ n|(i-j)
- 由a生成的子群恰有n个元素，即(a) = {e,a,a2,…,an-1}
拉格朗日定理
群G中子群H的所有左右陪集都是等势的；
n阶群<G，*>的任何子群<H，*>的阶必是n的因子；
n元群G中任何元素的周期必是n的因子。
——正规子群
设<H,*>是群<G,*>的一个子群。如果对于任何a ϵ G，aH=Ha 或 aHa-1 ⊆ H，则称H是G的正规子群（或不变子群）。
——商群
设<H,*>是群<G,*>的一个正规子群，G/H表示G的所有陪集的集合，则<G/H，•>是一个群，称为商群。“•”定义为∀aH,bH ϵ G/H，aH•bH = (a*b)H 。
群的同态，群的同构
设<S,*>和<T,•> 是两个二元代数系统，
如果存在映射f：S→T，使得对任意a1,a2ϵS，f(a1*a2)=f(a1)•f(a2)，则称S，T同态，当f是双射时称f为同构映射。
设f是群<G,*>到<H,*>的同态映射，e‘是H的幺元，记Ker（f）={x|xϵG ∧ f(x)=e'}，Ker（f）称为f的同态核。 Ker（f）是G的正规子群。