投資対象の単期間収益率が満足する
と
対応する連続複利は次のように表すことができます。
この連続複利のテイラー展開と 2 次項の保持は簡単に得られます。
ケリー基準によれば、投資家はレバレッジ比率を調整することで対数収益率を最大化しようとします。レバレッジ比率を思い出すと、平均と標準偏差が合計となり、対数収益率が合計になります。これを微分して最適なレバレッジ比率を取得します。
この最適なレバレッジ比率の下では、投資家の期待収益率は次のようになります。
と
対数リターンの下でのリスク中立性
実際、パーセント収益率を対数収益率に変換するプロセスは、コストとしてのリスクの役割を反映しています。リスクが存在するため、最適なレバレッジを適用することで、それに応じてリスクを低減し、リスクをコントロールします。ただし、変換された対数リターン測定の下では、基本的なケリー基準にはリスク中立性の特性が含まれています。この措置の下ではリスクが存在しますが、追加のリスクプレミアム（対数収益率で表されます）を提供することはできません。
ただし、実際の運用では、リスクをさらに制御するために、最適レバレッジの半分が使用されることがよくあります。
この場合、最適な収益率は次のようになります。
レバレッジ比率が大幅に低下していることがわかりますが、収益率への影響は大きくありません。
資本コストを考慮する
リスクのない資本コストがあることを考慮してください。レバレッジ比率が 1 より大きい場合、コストはリスクのない支払いとなり、レバレッジ比率が 1 未満の場合、コストはリスクのない利益になります。
次に、レバレッジの対数収益率を考慮すると、
最適なレバレッジ比率を見つける
持ち帰って計算される最適な収益率は次のとおりです。
それはまだ終わっていません。この収益率はリスクフリー収益率と同等であると仮定します。
上記の式を整理すると、
上の式は何を意味するのでしょうか？不確実性が価格を決定します。
最適レバレッジの半分がまだ実用レベルで使用されている場合、それは次のことを意味します。
こちらも最適解とほぼ同じです。
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