逆 Z 変換を完了する 3 つの方法
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01 10番目の宿題
1. 演習の紹介
Z 変換は、シーケンス データや離散時間システムを操作するための強力な数学ツールとして広く使用されています。逆z変換では、剰余法、因数分解、長期除算法などが一般的に使用されます。宿題の 10 番目には、これら 3 つの方法を使用して逆 Z 変換を解く練習をする小問があります。逆 Z 変換を解く際のこれら 3 つの方法の特性について説明し、比較してみましょう。
2. 問題解決
1.残差法
まず最初の方法である剰余法について説明します。シーケンスの z 変換は、それぞれ 1 と 2 に位置する 2 つの極を含む有理分数です。タイトルの通り、その収束領域はリングです。剰余法の本来の意味は公式法であり、複素変数関数の剰余定理を用いて、複素変数関数の等高線積分を解析関数の全極における剰余の和の計算に変換します。輪郭。n が 0 以上の場合、等高線パス内には z が 1 に等しい極のみが存在します。次に、剰余計算ルールに従って、1 の点における積分の式の剰余を計算すると、計算結果は -10 になります。これはシーケンスの右側の式です。n が 0 未満の場合、元の分子の z の n 乗は原点に高次の極を形成します。直接入手するのはさらに困難です。複素変数関数で留数定理 2 を使用すると、等高線内の剰余の合計の計算を、等高線の積分の外側の極の剰余の合計に変換できます。解析信号によると、無限遠点からの剰余を含むすべての極剰余の合計は 0 に等しくなります。したがって、x[n] は、周囲の外側の極の剰余の合計に負の 1 を掛けたものに等しくなります。剰余則により、x[n]の結果が得られます。これはシーケンスの左側の式です。2 つを組み合わせると、対応する双方向シーケンスの結果が得られます。
2. 因数分解の方法
以下では、これまでの演習で実際に説明した因数分解方法について説明します。ここでは因数分解の結果が直接与えられます。そして、収束領域内の各因子に対応する極の位置に応じて、その系列が左系列であるか右系列であるかを判定する。最初の要素は極 1 に対応し、収束領域内にあります。右の配列に相当します。収束領域の外側に位置する極 2 については、左側のインデックス シーケンスに対応します。これらを組み合わせることで、両側性配列の発現結果を得ることができます。
3. 長い分割
最後に、長い除算方法について説明します。シーケンスの z 変換定義に従って、有理分数は長除法によって z または z の負のべき乗に関する多項式に展開され、多項式の係数はシーケンス x[n] になります。長除法で得られた結果は片側数列にのみ適していますが、この問題は両側数列であるため、有理分数を対応する左右の数列に分解する必要があります。このようにして、長分割法を適用して、両側で対応するシーケンスを取得できます。前述の因数分解法を解く過程で、実際に右数列と左数列にそれぞれ対応する 2 つの因数が得られました。
以下では、これら 2 つの因子について、数列の右側と左側の数列の式をそれぞれ長分割法によって求めます。最初の因子については、右側のシーケンスに対応します。z の降べきの順序に従って分母と分子の多項式を配置します。これにより、長除算の結果は、数列の因果部分の値に対応する z の負のべき乗の多項式を識別できます。この数列をまとめると、数列の右辺の式が得られます。
数列の左側の数列に対応する 2 番目の因子については、分子式と分母式を z の昇べき順に並べると、z に対応する多項式が得られ、その係数は の値に対応します。シーケンス。左側の配列の式は帰納法によって得られます。これら 2 つの部分を組み合わせることで、シーケンスの表現を得ることができます。もちろん、シーケンスが片側シーケンスの場合、長い除算方法を 1 つだけ実行した後で最終結果を得ることができます。
※概要 ※
この記事では、第10課題の練習問題について解説します。与えられた z 変換有理分数を逆変換するには 3 つの方法が使用されます。ソリューションの考え方や特徴をご覧いただけます。
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