逆フーリエ変換を解く
- Signals and Systems 2023 (Spring) 宿題の要件 - 7 番目の宿題
- Signals and Systems 2023 (Spring) 宿題リファレンスの回答 - 7 回目の宿題
01 七回目の任務
1.演習の紹介
7 番目の割り当ては、フーリエ変換の特性を練習するために使用される 3 つの逆フーリエ変換問題で構成されます。最初の演習では、オメガの 2 乗の 4 分の 1 の逆変換を解きます。2 番目は、1 マイナス 1 j オメガの逆数を求めます。3 つ目は、次の演習でプロットされたスペクトルの逆変換を見つけることです。次に、ソリューションのアイデアについて説明します。
2. 問題解決
1. 最初の質問
最初のサブ問題は、オメガの 2 乗の逆フーリエ変換を解くことです。この関数自体はフーリエ変換の Direchlet 条件を満たさず、エネルギーも面積も無限大になりやすいため、逆変換の公式をそのまま適用することは困難です。次に、フーリエ変換の周波数領域微分特性を使用して、解決を支援します。符号関数のスペクトルは、j オメガの 2 部分に等しくなります。このスペクトルを微分することにより、必要なオメガ 2 乗が得られることがわかります。周波数領域微分は、信号引数 t の時間領域乗算に対応します。周波数領域も j 倍にする必要があります。単純化すると、オメガ 2 乗マイナス 2 になります。そして、オメガの二乗部分に近づくように整理します。式の左辺の分母に-2を移動すると、オメガの2乗の1/1の逆変換結果が得られます。ここまでで、オメガの 2 乗に相当する時間領域信号が得られました。
▲ 图1.2.1 求解结果
#!/usr/local/bin/python
# -*- coding: gbk -*-
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# TEST1.PY -- by Dr. ZhuoQing 2023-04-09
#
# Note:
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from headm import *
t = linspace(-2,2,10000)
def G(t, startn, endn):
return heaviside(t-startn,0.5)-heaviside(t-endn,0.5)
def Gt(t, center, width):
startn = center-width/2
endn = startn + width
return heaviside(t-startn,0.5)-heaviside(t-endn,0.5)
t1,t2 = -0.5,0.5
t1num = int((t1-min(t))/(max(t)-min(t))*len(t))
t2num = int((t2-min(t))/(max(t)-min(t))*len(t))
ft = 1/t**2
plt.plot(t[:t1num], ft[:t1num], color='dodgerblue', lw=3)
plt.plot(t[t2num:], ft[t2num:], color= 'dodgerblue', lw=3)
plt.xlabel("t")
plt.ylabel("f(t)")
plt.grid(True)
plt.grid(False)
plt.tight_layout()
plt.show()
#------------------------------------------------------------
# END OF FILE : TEST1.PY
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2. 2 番目の質問
2 番目のサブ問題は、1 - 1 j オメガの逆フーリエ変換を見つけます。j オメガ プラス 1/1 としての一方的な指数信号の周波数スペクトルについては、よりよく知っています。タイトルに示されているスペクトルとはマイナス符号の違いしかありません。以下のスペクトルに負の符号を追加すると、デフォールディングに相当します。時間領域信号についても同様のデコンボリューションが必要であり、この結果から、タイトルで必要な逆フーリエ変換が得られる。方程式を整理し、2 番目のサブ問題の計算結果を取得します。ここで実際にフーリエ変換の性質が適用されるのは、倍率がマイナス1のときです。
▲ 图1.2.2 求解结果
3. 3 番目の質問
3 番目のサブ問題は、特定のスペクトル波形に対応する時間領域信号を解くことです。これには、インパルス スペクトルと 2 つの矩形スペクトルが含まれます。原点での衝撃スペクトルの場合、対応する時間領域信号は DC 定数です。その大きさから、定数は 4 Pi の 3 分の 3 であることがわかります。均等に対称な矩形スペクトルの場合、原点にも配置されている矩形スペクトルを最初に考慮することができ、それに対応する時間領域信号は、フーリエ変換の双対特性に従って sinc 信号と等しくなるはずです。ここでは、時間領域信号の具体的な表現をスペクトル波形に従って示します。2 つのスペクトルは、原点のスペクトルを左右にずらしたものと見なすことができます。移動回数は3回。このプロセスは、時間領域信号の正弦波変調に対応します。これらの信号を重ね合わせることにより、対応する時間領域信号を得ることができます。周波数スペクトルが今シフトされた場合、実際には 2 倍のコサイン 3t を乗算する必要があることに注意してください。そうしないと、変調後の周波数スペクトルが半分に減少するはずです。これを行うには、前半を削除する必要があります。整理後、最終的に 3 番目の質問に対する答えを取得します。
※まとめ ※
この記事では、 7 番目の課題における逆フーリエ変換の 3 つのサブ問題について説明します。フーリエ変換の基本的な特性が包括的に適用されます。
■ 関連文献へのリンク:
● 関連図へのリンク: