Chapter7.1: 周波数領域解析の理論的基礎

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自動制御の理論的基礎に関するリンク: https://blog.csdn.net/qq_39032096/category_10287468.html?spm=1001.2014.3001.5482
ブログ参考書: 「MATLAB/Simulink と制御システムのシミュレーション」。

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1. 周波数領域解析の理論的基礎

1.1 周波数特性の基本的な考え方

1.1.1 周波数特性の概要

• 制御システムの周波数特性は、正弦波入力信号に対するシステムの応答性能を反映しています。
• 周波数ドメイン分析法は、システムの品質を分析するための実験を通じて周波数特性を直接取得でき、周波数特性分析システムのアプリケーションは定性的および定量的な結論を導き出すことができ、明らかな物理的意味を持ちます。
• 周波数特性を数理モデルとしてシステムを解析・設計する手法を周波数特性法、周波数応答法ともいいます。
• 周波数応答法の基本的な考え方: 制御システムの各変数をいくつかの信号として扱い、これらの信号は異なる周波数の多くの正弦波信号によって合成され、各変数の動きは信号に対するシステムの応答の合計です。異なる周波数の;

1.1.2 周波数特性の定義

周波数特性：正弦波信号の作用下での周波数に対する定常状態出力と入力の比率の関係特性を指します。

周波数特性関数:
$$ぐ\left(j\omega \right)=\frac{{バツ}_{}(じ}{{バツ}_{}\left(じ\right)\_}=あ\left(\omega \right){へ}^{j\phi \left(\omega \right)}$$
のうち：$あ(・\omega ・)=\frac{{バツ}_{}(ああ}{{バツ}_{}\left(ああ\right)}$振幅周波数特性と呼ばれる$\phi \left(\omega \right)={ファイ}_{}\left(ああ\right)-{ファイ}_{}\left(\omega \right)$は位相周波数特性と呼ばれます。

周波数特性は次のようにも表されます。
$$ぐ\left(j\omega \right)=\frac{{バツ}_{}(じ}{{バツ}_{}\left(じ\right)\_}=p\left(\omega \right)+j\theta \left(\omega \right)$$
ここで:$p\left(\omega \right)$はG ( j ω ) G({\rm j}\omega)実周波数特性θ ( ω ) \theta(\omega)$と呼ばれるG$$($$j$$\omega$$)の実部$$\theta \left(\omega \right)$は$G\left(j\omega \right)$の虚部は、虚周波数特性と呼ばれます。

関数
{ p ( ω ) = A ( ω ) cos ⁡ φ ( ω ), θ ( ω ) = A ( ω ) sin ⁡ φ ( ω ) A ( ω ) = p 2 ( ω ) + θ 2 ( ω ) , φ ( ω ) = arctan ⁡ θ ( ω ) p ( ω ) \begin{cases} &p(\omega)=A(\omega)\cos\varphi(\omega),&\theta(\omega) =A(\omega)\sin\varphi(\omega)\\\\ &A(\omega)=\sqrt{p^2(\omega)+\theta^2(\omega)}, &\varphi(\ omega)=\arctan\displaystyle\frac{\theta(\omega)}{p(\omega)}\end{cases}⎩ ⎨ ⎧なp ( ω )=あ(・ω・)コスφ ( ω ) ，あ(・ω・)=p2 (ああ)+私2 (ああ) な，私( o )=あ(・ω・)罪φ ( ω )φ ( ω )=アークタンp ( ω )θ ( ω )な
入力が非正弦周期信号の場合、その入力はフーリエ級数を使用して正弦波の重ね合わせに展開でき、その出力は対応する正弦波の重ね合わせであり、このとき、システムの周波数特性はフーリエとして定義されます。システム出力と入力の変換 量のフーリエ変換の比率。

1.1.3 周波数領域解析法の特徴

• 各リンク、オープン ループ、クローズド ループ システムのパフォーマンス解析に適しています。

  ナイキスト安定性基準を使用すると、閉ループ システムの安定性と性能を、システムの特性根を解く必要なく、描画法を介してシステムの開ループ周波数特性に従って分析できるため、困難を回避できます。微分方程式を直接解く;

• 周波数特性には明確な物理的意味があります。

  多くの部品の周波数特性は実験で求めることができますが、機構が複雑または不明で微分方程式を書くことが困難な部品やシステムについては、実験室で信号発生器や精密測定器を使用して周波数特性を測定することができます。

• 周波数領域の性能指数と時間領域の性能指数の間には明確な対応があります。

  2次系では周波数特性と時間領域遷移過程の性能指標との間に明確な対応があり、高次系では系のパラメータや構造の変化を時間領域遷移プロセス インデックス。

• 周波数設計では、動的応答とノイズ抑制の両方の要件を考慮することができます。

  システムに特定の周波数範囲で深刻なノイズがある場合、周波数解析法を使用して、これらのノイズを十分に抑制できるシステムを設計できます。

• 補正方法の中でも、周波数領域解析法は補正に非常に便利です。

  システムの性能指標が振幅余裕、位相余裕、および誤差係数の形で与えられる場合、周波数分析法を使用してシステムを分析および設計することは非常に便利です。

• 周波数法では、非線形システムを完全には解析できません。

  周波数法は、主に単一入力および単一出力の線形定常状態システムの分析と研究に使用され、多入力多出力の線形定常状態システムにも適用されます。局所的な典型的なアプリケーションであり、非線形システムについて包括的に解析することはできません。

1.1.4 周波数ドメインのパフォーマンス指標

• 共振周波数${おお}_{}$: 振幅-周波数特性を示す$A\left(\omega \right)$の最大値に対応する周波数
• 共振ピーク値$M_{}$: 振幅-周波数特性の最大値$M_{}$大きな値は、システムが周波数の正弦波信号に強く応答することを示します。つまり、システムの安定性が低く、ステップ応答のオーバーシュートが大きいことを示します。
• 周波数帯域${おお}_{}$: 振幅-周波数特性を示す$A\left(\omega \right)$の振幅は、初期値 0.707 の 0.707に減衰します。対応する周波数の$0.707$${おお}_{}$大は、システムが急速に変化する信号を再現する強力な能力を持ち、歪みが小さいことを示します。つまり、システムが高速で、ステップ応答の立ち上がり時間が短く、調整時間が短いことを示します。
• ゼロ周波数$A\left(0\right)$ : 周波数を示します$おお=0$での振幅$A\left(0\right)$は、システム ステップ応答の最終値$A\left(0\right)$と$1$の差は$A\left(0\right)$は1 1に近い$1$、システム精度が高い。

1.2 周波数特性の表現方法

1.2.1 極座標プロット (ナイキスト線図)

• システム周波数特性の表現:
  $$ぐ\left(j\omega \right)=あ\left(\omega \right){へ}^{j\phi \left(\omega \right)}$$

• ベクトルを使用して、特定の周波数${おお}_{}$G ( j ω i ) G({\rm j}\omega_i)の下で$G\left(j{\omega }_{}\right)$ベクトルの長さ$あ（{ああ}_{})$、ベクトル極座標角度は$f\left(o_{}\right)$，$f\left(o_{}\right)$正の方向は反時計回りで、極座標は直角座標と一致し、極座標の頂点は座標の原点にあります (下図を参照)。

  

• 周波数特性$G\left(j\omega \right)$は入力周波数ω \ω周波数ω \ω$のときの\omega$の複素変数関数$\omega$由$0\to \infty$ ,$G\left(j\omega \right)$の変化の曲線、つまりベクトルの終点の軌跡は、極座標図と呼ばれます。

• 極座標プロットでは、$おお={おお}_{}$、実軸上の射影は実周波数特性$p\left(o_{}\right)$、虚軸上の射影は虚周波数特性です。

1.2.2 対数座標図（ボード線図）

• $ボード線$図は、次の図に示すように、対数振幅-周波数特性と対数位相-周波数特性で構成されます。

  

• 対数振幅-周波数特性は、周波数特性の対数値$ら\left(\omega \right)=20ラグ\_A\left(\omega \right)$と周波数$\omega$の関係曲線、対数位相周波数特性は、周波数特性の位相角$\phi \left(\omega \right)$と周波数$\omega$の関係曲線;

• 対数振幅-周波数特性の縦軸は$ら\left(\omega \right)=20ラグ\_A\left(\omega \right)$ in$dB$ (デシベル)、リニア スケール$A\left(\omega \right)$が10 10増加する$10$回$L\left(\omega \right)$は$20dB$、横軸は対数除算、つまり$\omega$の対数を取った後

• 対数位相周波数特性の横軸は対数目盛り、縦軸は線形目盛りを採用し、単位は°（度）です。

• 対数プロット ( $ボード線$図) 利点:

  • 振幅の乗算は対数加算演算に変換されるため、システムの周波数特性の描画作業が大幅に簡素化されます。
  • 横軸は対数除算を採用し、スケールを縮小して周波数視野を拡大し、より広い周波数範囲でシステムの周波数特性を表すことができます; B ode {\rm Bode $ボード線$図では、周波数特性の中間および高周波数帯域だけでなく、低周波数帯域も描画できます。これは、システムの分析と設計に役立ちます。
  • 漸近的な対数振幅周波数特性を描くことができ、標準テンプレートを作成して正確な対数周波数特性を描くことができます。

1.2.3 対数相図（ニコルス線図）

• 対数相図は、$ニコルス$グラフは、角周波数をパラメータ変数とした場合の対数振幅-周波数特性と位相-周波数特性を組み合わせたグラフです。

• 対数位相図は次のようになります。

  

• $ニコルス$線図の特徴：縦軸は$ら\left(\omega \right)=20ラグ\_A\left(\omega \right)$ in$dB$ (デシベル)、リニア スケールを使用、横座標は対数スケールを使用、単位は ° (度)、周波数$\omega$はパラメーター変数です。

1.3 代表的なリンクの周波数特性

1.3.1 典型的なリンク

典型的なリンクは、最小位相リンクと非最小位相リンクに分けられます。

最小位相リンク:

• 比例リンク: $K，(K>0)$；
• 慣性リンク: $1/(T秒+1)，(T>0)$；
• 一次微分リンク: $Ts\_+1，(T>0)$；
• 解: $1/({秒}^2/o_n^{}+2zs/{\omega }_{}+1)、(o_{}>0、0\le g<1)$；
• 関数: $s^2/o_n^{}+2zs/{\omega }_{}+1、({ああ}_{}>0、0\le g<1)$；
• インテグラル リンク: $1/s$；
• 差別化リンク：$す$；

非最小位相リンク:

• 比例リンク: $K，(K<0)$；
• 慣性リンク: $1/(-Ts+1)，(T>0)$；
• 一次微分リンク: $-Ts\_\_+1，(T>0)$；
• 解: $1/({秒}^2/o_n^{}-2zs/{\omega }_{}+1)、(o_{}>0、0<g<1)$；
• 関数: $s^2/o_n^{}-2zs/{\omega }_{}+1、({ああ}_{}>0、0<g<1)$；

開ループ伝達関数の典型的なリンク分解は、一連のいくつかの典型的なリンクとして開ループ システムを表現できます。
$$G\left(秒\right)H\left(秒\right)=\prod _{私は=1}{G}_{}\left(s\right)$$
典型的なリンクの周波数特性を次のようにします。
$$G_{}\left(j\omega \right)={あ}_{}\left(o\right)e^{j{\phi }_{}\left(\omega \right)}$$
とすると、システムの開ループ周波数特性は次のようになります。
$$G\left(j\omega \right)H\left(j\omega \right)=\left[\prod _{私は=1}{あ}_{}\left(o\right)\right]e^{j\left[{\sum }_{私は=1}^{}{ファイ}_{}\left(\omega \right)\right]}$$
システムの開ループ振幅周波数特性と開ループ位相周波数特性は次のとおりです。
$$あ(・\omega ・)=\prod _{私は=1}{あ}_{}\left(\omega \right)，\phi \left(\omega \right)=\sum _{私は=1}{ファイ}_{}(\omega )$$
系统开环对数幅频特性为：
$$ら\left(\omega \right)=20ラグ\_あ(・\omega ・)=\sum _{私は=1}20ラグ\_{あ}_{}\left(ああ\right)=\sum _{私は=1}{L}_{}\left(ああ\right)$$

• システムの開ループ周波数特性は、開ループ システムを構成する典型的なリンクの周波数特性の合成によって表されます。
• システムの開ループ対数周波数特性は、典型的なリンクの対数周波数特性の重ね合わせとして表されます。

1.3.2 代表的なリンクの周波数特性

典型的なリンク周波数特性曲線の特徴:

1. 非最小位相および対応する最小位相リンク

   最小位相の比例リンク$G\left(s\right)=K(K>0)$、比例リンクと呼ばれ、振幅-周波数および位相-周波数特性は次のとおりです。
   $$あ(・\omega ・)=K，\phi \left(\omega \right)=0°$$
   非最小位相比例リンク$G\left(s\right)=-K(K>0)$、振幅周波数および位相周波数特性は次のとおりです。
   $$あ(・\omega ・)=K，\phi \left(\omega \right)=-$$
   最小位相$$180°$$$G\left(s\right)=\frac{}{Ts\_+1}，(T>A\; (\; \omega )$ = 1 1 + T 2 ω 2 , φ ( ω ) = − arctan ⁡ T ω A(\omega)=\frac{1}{ \
   $$あ(・\omega ・)=\frac{}{\sqrt{1+T^{2o}{\_}^2}}、\phi （\omega ）=-\mathrm{アークタン}T\omega$$
   非最小位相慣性リンク$G\left(s\right)=\frac{}{-Ts\_\_+1}，(T>0)$、振幅-周波数および位相-周波数特性は次のとおりです。
   $$あ(・\omega ・)=\frac{}{\sqrt{1+T^{2o}{\_}^2}}、\phi （\omega ）=\mathrm{アークタン}T\omega \_$$

   • 最小位相慣性リンクと非最小位相慣性リンクの振幅-周波数特性は同じですが、位相-周波数特性は符号が逆で、振幅-位相曲線は実軸に対して対称です。
   • 最小位相慣性リンクと非最小位相慣性リンクは同じ対数振幅-周波数曲線を持ち、対数位相-周波数曲線は 0° 線に対して対称です。
   • 上記の 2 つの機能は、発振リンクと非最小位相発振リンク、1 次差動リンクと非最小位相 1 次差動リンク、2 次差動リンクと非最小位相 2 次リンクに適用されます。 -注文差分リンク;

2. 伝達関数が互いに逆数である典型的なリンク

   最小位相の典型的なリンクでは、積分リンクと差動リンク、慣性リンクと 1 次微分リンク、振動リンクと 2 次微分リンクの伝達関数は互いに逆数であり、 G 1 ( s ) = 1 G 2 ( s
   $$G_{}\left(秒\right)=\frac{}{G_{}\left(秒\right)}$$
   任$G_{}\left(j\omega \right)={あ}_{}\left(o\right)e^{j{\phi }_{}\left(\omega \right)}$の場合:
   { φ 2 ( ω ) = − φ 1 ( ω ) L 2 ( ω ) = 20 lg ⁡ A 2 ( ω ) = 20 lg ⁡ 1 A 1 ( ω ) = − L 1 ( ω ) \begin{cases} &\varphi_2(\omega)=-\varphi_1(\omega)\\\\ & L_2(\omega)=20\lg{A_2(\omega)}=20\lg\displaystyle\frac { 1}{A_1(\omega)}=-L_1(\omega)\end{ケース}⎩ ⎨ ⎧なファイ2(ああ)=− f1(ああ)L2(ああ)=20ラグ_あ2(ああ)=20ラグ_あ1(ああ)1=−L _1(ああ)
   伝達関数が逆数である典型的なリンクでは、対数振幅-周波数曲線は 0dB 線に対して対称であり、対数位相-周波数曲線は 0° 線に対して対称です; この結論は非最小位相にも当てはまります。リンク;

3. 発振リンクと 2 次微分リンク

   振動リンクの伝達関数は次のとおりです:
   $$G\left(s\right)=\frac{}{(s/o_{}{)}^2+2z(s/{\omega }_{})+1};{ああ}_{}>0、0<g<1$$
   発振リンクの周波数特性:
   $$あ(・\omega ・)=\frac{}{\sqrt{{\left(\begin{array}{c}1-\frac{{おお}^{}}{{おお}_n^{}}\end{array}\right)}^2+4g{\_}^2\frac{{おお}^{}}{{おお}_n^{}}}}$$

   φ ( ω ) = − arctan ⁡ 2 ζ ω ω n 1 − ω 2 ω n 2 = { − arctan ⁡ 2 ζ ω ω n 1 − ω 2 ω n 2 ， ω ≤ ω n − ( 180 − arctan ⁡ 2 ζ ω ω n ω 2 ω n 2 − 1 ) ， ω > ω n \varphi(\omega)=-\arctan\displaystyle\frac{2\zeta\displaystyle\frac{\omega}{\omega_n}}{1- \displaystyle\frac{\omega^2}{\omega_n^2}}= \begin{cases} &-\arctan\frac{2\zeta\displaystyle\displaystyle\frac{\omega}{\omega_n}}{1 -\displaystyle\frac{\omega^2}{\omega_n^2}}，\omega≤\omega_n \\\\ &-\begin{pmatrix} 180-\arctan\frac{2\zeta\displaystyle\frac{ \omega}{\omega_n}}{\displaystyle\frac{\omega^2}{\omega_n^2}-1} \end{pmatrix}，\omega>\omega_n \end{cases}φ ( ω )=−アークタン1−おおn2おお22g _おおnおおな=⎩ ⎨ ⎧な−アークタン1 −おおn2おお22g _おおnおおな、ああ≤おおn− な180−アークタンおおn2おお2−12g _おおnおおなな な、ああ>おおnな

   $\phi \left(0\right)=0°，\phi (\infty )=-180°$、位相周波数特性曲線は 0° から -180° まで単調に減少します;$おお={おお}_{}$時間、$f\left(o_{}\right)=-90°$，$あ（{ああ}_{})=\frac{}{2g\_}、$振動リンクと虚軸の交点は$-j\frac{}{2g\_}$；

   $あ\left(0\right)=1，あ(\infty )=0$，求$A\left(\omega \right)$の极值，
   $$\frac{dA(\omega }{d\omega \_}=\frac{-[-\frac{2o}{{おお}_n^{}}\left(1-\frac{{おお}^{}}{{おお}_n^{}}\right)+4g{\_}^2\frac{}{{おお}_n^{}}}{{\left[{\left(1-\frac{{おお}^{}}{{おお}_n^{}}\right)}^2+4g{\_}^2\frac{{おお}^{}}{{おお}_n^{}}\right]}^{\frac{}{2}}}=0$$
   は共振周波数を取得します:
   $${おお}_{}={おお}_{}\sqrt{1-2g{\_}^2}，0<g\le \sqrt{2}/2番目の$$
   式:
   $$M_{}=あ（{ああ}_{})=\frac{}{2g\_\sqrt{1-g^2}}，0<g\le \sqrt{2}/2$$
   当$0<g<\frac{\sqrt{2}}{2}$時間，
   $$\frac{dM{\_}_{}}{dゼータ}=\frac{-(1-2g{\_}^2}{g^2(1-g^2{)}^{\frac{}{2}}}<0$$
   ${おお}_{}，{み}_{}$どちらも減衰比$\zeta$の減少関数$(0<g\le \frac{\sqrt{2}}{2})$；当$0<g<\frac{\sqrt{2}}{2}$、および$おお\epsilon (0,{おお}_{})$时，$A\left(\omega \right)$は単調に増加します;$おお\epsilon ({ああ}_{}、\infty )$时，$A\left(\omega \right)$は単調に減少します;$\frac{\sqrt{2}}{2}<g<1$时，$A\left(\omega \right)$は単調減少します。

   2 次差動リンクの伝達関数は、発振リンクの伝達関数の逆数であり、対称性に従って、2 次差動リンクの対数周波数曲線を得ることができます: { A ( 0 ) = 1 φ ( 0 )
   $$\{\begin{array}{ll}& あ\left(0\right)=1\\ & \phi \left(0\right)=0\end{array}，\{\begin{array}{ll}& あ（{ああ}_{})=2g\_\\ & f\left(o_{}\right)=90\end{array}，\{\begin{array}{ll}& あ(\infty )=\infty \\ & \phi (\infty )=180\end{array}$$
   減衰比$\frac{\sqrt{2}}{2}<g<1$时，$A\left(\omega \right)$は 1 から$\infty$ ; 減衰比が$0<g<\frac{\sqrt{2}}{2}$、 ω ∈ ( 0 , ω r ) \omega\in(0,\omega_r)から$おお\epsilon (0,{おお}_{})$时，$A\left(\omega \right)$を最初の集合とする
   $$\{\begin{array}{ll}& あ（{ああ}_{})=2g\_\sqrt{1-g^2}<1\\ & {おお}_{}=おお\sqrt{1-2g{\_}^2}\end{array}$$
   在$おお\epsilon ({ああ}_{}、\infty )$时，$A\left(\omega \right)$は単調に増加します。

4. 対数振幅-周波数漸近特性曲線

   慣性リンク、1 次微分リンク、発振リンク、および 2 次微分リンクの対数振幅-周波数曲線のプロットを単純化するために、一般に低周波および高周波の漸近線を使用して近似します。対数振幅 - 周波数曲線と呼ばれる対数振幅 - 周波数曲線 近特性曲線;

   慣性リンクの対数振幅-周波数漸近特性は次のとおりです。
   L a ( ω ) = { 0 , ω < 1 T − 20 lg ⁡ ω T , ω > 1 T & \omega<\displaystyle\frac{1}{T}\\ -20\lg\omega{T}, &\omega>\displaystyle\frac{1}{T} \end{cases}La(ああ)=⎩ ⎨ ⎧0 、− 20ラグ_T _ _おお<T1おお>T1な
   

   低周波部分はゼロ デシベル ラインで、高周波部分は$-20dB/dec$直線、$おお=\frac{}{T}$、前述の周波数$\frac{}{T}$は慣性リンクのハンドオーバー周波数です。漸近特性を使用して対数振幅周波数特性を近似すると、誤差があります: $\Delta L\left(\omega \right)=ら\left(\omega \right)-L_{}\left(\omega \right)$、エラーはハンドオーバー周波数で最大になり、約$-3dB$ ; 1 次微分リンクと非最小位相 1 次微分リンクおよび慣性リンクの対数振幅周波数漸近特性曲線は$0dB\; の$線は互いに鏡像です。

   解の量を決定します:
   $$ら\left(\omega \right)=-20ラグ\_\sqrt{{\left(1-\frac{{おお}^{}}{{おお}_n^{}}\right)}^2+4g{\_}^2\frac{{おお}^{}}{{おお}_n^{}}}$$
   当$おお<<{おお}_{}$のとき、$ら\left(\omega \right)\fallingdotseq 0$、低周波漸近線は 0dB ラインです;$おお>>{おお}_{}$時間、$ら\left(\omega \right)=-40ラグ\_\frac{}{{おお}_{}}$、高周波漸近線は$({ああ}_{}、0)$、傾き -40dB/dec の直線、発振リンクのハンドオーバー周波数は${おお}_{}$,次を定義しましょう:
   L a ( ω ) = { 0 , ω < ω n − 40 lg ⁡ ω ω n , ω > ω n L_a(\omega)= \begin{cases} 0,&\ omega<\ omega_n\\ -40\lg\displaystyle\frac{\omega}{\omega_n},&\omega>\omega_n\end{cases}La(ああ)=⎩ ⎨ ⎧0 、− 40ラグ_おおnおお、おお<おおnおお>おおnな
   非最小位相発振リンクと発振リンクの対数振幅周波数漸近特性曲線は同じであり、2 次微分リンクと非最小位相 2 次微分の対数振幅周波数漸近特性曲線は同じです。リンクと発振リンクは 0dB ラインに対して対称です。

   片対数座標の直線の方程式は次のとおりです。
   $$k=\frac{L_{}\left({ああ}_{}\right)-L_{}({ああ}_{}}{ラグ\_{おお}_{}-ラグ\_{おお}_{}}$$
   除外: $[{ああ}_{}、lg(o_{})]、[{ああ}_{}、lg(o_{})]$は直線上の 2 点、$k(dB/dec)$は直線の傾きです。

1.3.3 開ループ振幅位相特性曲線

大まかな開ループ振幅-位相特性曲線の描画方法:

• 開ループ振幅位相特性曲線の開始点$(ああ=0_{})$と終点$(ああ=\infty )$；

• 開ループ振幅位相特性曲線と実数軸の交点。ω = ω x \omega=\omega_xとする$おお={おお}_{}$時，$G\left(j{\omega }_{}\right)H\left(j{\omega }_{}\right)$は:
  $$\left[G\right(j\omega \_{}_{}\left)H\right(j{\omega }_{})]=0または\phi \left({\omega }_{}\right)=\angle \left[G\right(j{\omega }_{}\left)H\right(j{\omega }_{})]=k\pi ，k=0、\pm 1、\pm 2、...$$
  ここで:${おお}_{}$クロスオーバー周波数と呼ばれます。

  開ループ周波数特性曲線と実数軸の交点の座標は次のとおりです。
  $$レ\left[G\right(j{\omega }_{}\left)H\right(j{\omega }_{})]=G\left(j{\omega }_{}\right)H\left(j{\omega }_{}\right)$$

• 開ループ振幅位相特性曲線の変動範囲 (象限、単調性);

大まかな開ループ振幅-位相特性曲線を描く法則のまとめ:

• 開ループ振幅-位相特性曲線の開始点は、比例リンク$K$とシステムの積分リンクまたは微分リンクの数$\nu$ (システム タイプ);

  • $n<0$、開始点は原点です。
  • $n=0$ 、開始点は実軸上の$K$、$K$はシステムの開ループ ゲイン$K$は正または負です。
  • $n>0$，定義$n=4k\_+私(k=0、1、2、\dots ;私=1、2、3、4)$の場合$、$$K>0$は$私\times (-90°)$無限遠、$K<0$は$私\times (-90°)-$無限に$180°\; ;$

• 開ループ振幅-位相特性曲線の終点は、開ループ伝達関数の分子多項式と分母多項式の最小位相リンクと非最小位相リンクの次数和に依存します。

  システムの開ループ伝達関数の分子多項式と分母多項式の次数を$m$と$n$ 、 KKを書き留めます$K$に加えて、分子多項式の最小位相リンクの次数和は${メートル}_{}$、非最小位相リンクの次数和は${メートル}_{}$、分母多項式の最小位相リンクの次数和は$n_{}$、非最小位相リンクの次数合計は$n_{}$、次に:
  $$メートル={メートル}_{}+{メートル}_{}、n=n_{}+n_{}$$

  φ ( ∞ ) = { [ ( m 1 − m 2 ) − ( n 1 − n 2 ) ] × 90 ° ， K > 0 [ ( m 1 − m 2 ) − ( n 1 − n 2 ) ] × 90 ° − 180 ° , K < 0 \varphi(\infty)= \begin{cases} [(m_1-m_2)-(n_1-n_2)]\times90°，&K>0\\\\ [(m_1-m_2)- (n_1-n_2)]\times90°-180°,&K<0 \end{cases}φ ( ∞ )=⎩ ⎨ ⎧[( m1−メートル2)−( n1−n2)]×90° 、[( m1−メートル2)−( n1−n2)]×90°−180°、K>0K<0

  開ループ系が最小位相系の場合、
  $$\begin{array}{rlrl}& n=メートル、& & G(j\infty )H(j\infty )=K^{\ast }\\ & & & \\ & n>m& & G(j\infty )H(j\infty )=0\angle [(n-m)\times (-90°)\end{array}$$
  ここで: $K^{\ast }$はシステムの開ループ根軌跡ゲインです。

• 開ループシステムに定振幅振動リンクがある場合、多重度$l$は正の整数です。つまり、開ループ伝達関数の形式は次のとおりです。
  $$G\left(秒\right)H\left(秒\right)=\frac{}{(\frac{s^{}}{{おお}_n^{}}+1{)}^l}{G}_{}\left(秒\right)H_{}\left(s\right)$$
  $G_{}\left(秒\right)H_{}\left(s\right)$ ± j ω n ±{\rm j}\omega_n を含まない$\pm j\omega {\_}_{}$、そのとき$\omega \; は$ω n \omega_nになる傾向があります${おお}_{}$时，$A\left(\omega \right)$早于无百，ながら：
  $$\begin{array}{rl}& f\left(o_{n^{}}\right)\fallingdotseq {ファイ}_{}\left({ああ}_{}\right)=\angle \left[G_{}\right(j{\_}_{}\left)H_{}\right(j{\_}_{})]\\ & \\ & f\left(o_{n^{}}\right)\fallingdotseq {ファイ}_{}\left({ああ}_{}\right)-l\times 180\end{array}$$
  即$\phi \left(\omega \right)$在$おお={おお}_{}$近くで、位相角が急激に変化$-l\times 180°$；

1.3.4 開ループ対数周波数特性曲線

システムの開ループ対数振幅-周波数漸近特性:
$$L_{}\left(ああ\right)=\sum _{私は=1}{L}_{a_{}}\left(\omega \right)$$
開ループ伝達関数の場合、典型的なリンクに従って分解され、システムを構成する典型的なリンクは 3 つの部分に分割されます。

• $\frac{}{s^n}$または$\frac{-K}{s^n}(K>0)$；
• 慣性リンク、1 次微分リンク、および対応する非最小位相リンクを含む 1 次リンク、ハンドオーバー頻度は$\frac{}{T}$；
• 発振リンク、2 次差動リンク、および対応する非最小位相リンクを含む 2 次リンク、ハンドオーバー周波数は${おお}_{}$；

记${おお}_{みん\_}$は最小ハンドオーバー頻度です。つまり、$おお<{おお}_{みん\_}$周波数範囲は低周波数帯域です。

開ループ対数振幅-周波数漸近特性曲線の描画手順:

1. 開ループ伝達関数の典型的なリンク分解。

2. 1 次リンクと 2 次リンクのハンドオーバー頻度を決定し、片対数座標図の$\omega$軸上。

3. 低周波数帯域で漸近特性線を描きます: at $おお<{おお}_{みん\_}$周波数帯域では、開ループ システムの振幅-周波数漸近特性の勾配は$\frac{}{{おお}^n}$、したがって直線の傾きは$-20\nu dB/dec$ ;低周波数の漸近線を取得するには、線上の点を決定する必要があります。その方法は次のとおりです。

   • 方法 1: $おお<{おお}_{みん\_}$その範囲で点${おお}_{}$,決定$L_{}\left({ああ}_{}\right)=20ラグ\_K-20n\_ラグ\_{おお}_{}$；
   • 方法 2: 周波数を特定の値として取る${おお}_{}=1$の場合、$L_{}\left(1\right)=20ラグ\_か$；
   • 方法 3: $L_{}\left({ああ}_{}\right)$は特別な値 0 であり、$\frac{}{{おお}_0^{}}=1$ ,则${おお}_{}=K^{\frac{}{n}}$；

   過点$({ああ}_{}、L_{}({ああ}_{}))$在$おお<{おお}_{みん\_}$この範囲は、-20 ν \nuの勾配として使用できます。$\nu$ dB/dec 直線;

4. 作$おお\ge {おお}_{みん\_}$周波数帯域漸近特性線; 各ハンドオーバー周波数ポイントで傾きが変化し, 変化規則はハンドオーバー頻度に対応する典型的なリンクの種類に依存する. システム内の複数のリンクが同じハンドオーバー頻度を持つ場合, ハンドオーバー時の傾き.周波数ポイントの変化は、各リンクに対応する勾配変化値の代数和でなければなりません。

ハンドオーバー周波数ポイントでの勾配の変化表:

1.3.5 ディレイリンクとディレイシステム

一定の遅延の後、出力量が入力量の変化を歪みなく再現するリンクは遅延リンクと呼ばれ、遅延リンクを含むシステムは遅延システムと呼ばれます。

遅延リンクの入力と出力の時間領域表現は次のとおりです。
$$c\left(トン\right)=1(トン-t)r(t-\tau )$$
ここで:$\tau$は遅延時間です。

遅延リンクの伝達関数は次のとおりです。
$$G\left(s\right)=\frac{C(s}{R\left(秒\right)}=e^{-\tau s}$$
遅延リンクの周波数特性は次のとおりです。
$$ぐ\left(j\omega \right)=e^{-jtoo}=1・\angle (-57.3t\omega )$$

1.4 開ループおよび閉ループ周波数特性の性能解析

1.4.1 開ループ対数周波数特性とタイムドメイン応答の関係

1. 低周波帯域分析。

   • 低周波数帯域: L ( ω ) = 20 lg ⁡ ∣ G ( j ω ) ∣ {\rm L(\omega)=20\lg|G(j\omega)|} を参照$ら\left(\omega \right)=20ラグ\_|G\left(j\omega \right)|$の漸近線は、最初のコーナー周波数の前の周波数帯域にあり、この周波数帯域の特性は積分リンクと開ループ倍率によって完全に決定されます。

   • 低周波の低周波特性:
     $$L_{}\left(ああ\right)=20ラグ\_K-20n\_ラグ\_\omega$$
     ここで：$K$は開ループ倍率$\nu$は、開ループ伝達関数の積分リンクの数です。

   • 低周波数帯域の周波数特性は、システムの定常状態の性能を決定します。

2. ミッドバンド分析。

   • 中間周波数帯域: 開ループ カットオフ周波数${おお}_{}$近く ( $ほぼ0dB$ )、この周波数帯域の特性は、閉ループ システムの動的応答の安定性と迅速性を反映しています。
   • 時間領域応答の動的特性は、主に中周波数帯域の形状に依存します。
   • ミッドバンドの形状を反映する 3 つのパラメーター: 開ループ カットオフ周波数${おお}_{}$、中間周波数帯域の勾配、および中間周波数帯域の幅。
   • 開ループ対数振幅-周波数特性における周波数帯域の傾きは、$-20dB/dec$であり、システムが十分な位相角マージンを確保できるように、長さはできるだけ長くすることが望まれます。中間周波数帯域の勾配は$-40dB/dec$では、中間周波数帯域が占める周波数範囲が長すぎてはなりません。そうしないと、位相角マージンが非常に小さくなります。中間周波数帯域の傾きが小さい場合、システムを安定させるのが難しくなります。 ;
   • カットオフ周波数${おお}_{}$値が高いほど、システムが信号を再現する能力が強くなり、システムの速度が向上します。

3. 高周波分析。

   • 高周波数帯域：開ループ対数振幅周波数特性曲線が中間周波数帯域の後にある周波数帯域を指し、高周波数帯域の形状は主に時間領域応答の最初のセクションに影響します。
   • システム分析を実行するとき、高周波帯域を近似することができます。つまり、小さな慣性リンクを使用して複数の小さな慣性リンクを等価にし、等価の小さな慣性リンクの時定数は、置き換えられた複数の時定​​数に等しくなります。小さな慣性リンク。
   • 高周波帯域におけるシステムの開ループ対数振幅-周波数特性の振幅は、高周波干渉信号を抑制するシステムの能力を直接反映します; 高周波部分の振幅が低いほど、アンチシステムの干渉能力;

4. 優れたシステムの各周波数帯域の形状。

   • 低周波数帯域には、特定の高さと勾配が必要です。
   • ミッドバンドのスロープは$-$十分な幅で$20dB/dec\; 。$
   • 高周波帯域は、急速な減衰の特性を採用して、不要な高周波干渉を抑制します。

1.4.2 開ループ周波数特性と時間領域応答の関係

一般的な 2 次系の周波数領域インデックスと時間領域インデックスの相互変換式:
$$\begin{array}{rl}& {おお}_{}=\sqrt{\sqrt{1+4g{\_}^4}-2g{\_}^2}{おお}_{}、c\left(o_{}\right)=\mathrm{アークタン}\frac{2g}{\sqrt{\sqrt{1+4g{\_}^4}-2g{\_}^2}}\end{array}$$
高次系の周波数領域指数と時間領域指数の変換式：
$$\begin{array}{rl}& p_{}=0.16+0.4\left(\frac{}{罪c}-1\right)、35°\le c\le 90°\\ & \\ & t_{}=\frac{}{{おお}_{}}[2+1.5\left(\frac{}{罪c}-1\right)+2.5{\left(\frac{}{罪c}-1\right)}^2\end{array}$$

1.4.3 閉ループ周波数特性と時間領域応答の関係

一般的な 2 次システムの閉ループ伝達関数は次のとおりです。
$$\Phi \left(秒\right)=\frac{{おお}_n^{}}{s^2+2ゾ{\_}_{}s+{おお}_n^{}}$$
システムの閉ループ周波数特性は次のように取得できます。
$$\Phi \left(j\omega \right)=\frac{{おお}_n^{}}{\left(じ\right)\_{}^2+j2z{o}_{}おお+{おお}_n^{}}$$
システムの閉ループ振幅周波数特性は次のとおりです。
$$む（\omega ）=\frac{{おお}_n^{}}{\sqrt{({ああ}_n^{}-{おお}^2{)}^2+(2ゾ{\_}_{}ああ{）}^2}}$$
電视题环相镇特性：
$$\phi \left(\omega \right)=-\mathrm{アークタン}\frac{2ゾ{\_}_{}}{{おお}_n^{}-{おお}^2}$$
二次系の共鳴ピーク$M_{}$および時間領域のオーバーシュート$p_{}$解:
$$p_{}=e^{-zp/\sqrt{1-g^2}}\times 100\%、{中}_{}=\frac{}{2g\_\sqrt{1-g^2}}$$

• 共振ピーク値$M_{}$減衰比$\zeta$関連、オーバーシュート$p_{}$また、減衰比$g$ ;

• $より小さい\zeta$、$M_{}$増加が速いほど、オーバーシュート$p_{}$また、非常に大きく、40 % 以上$40\%$、この時点で、システムは通常、過渡応答指数の要件を満たしていません。

• 当$0.4<g<0.707$、$M_{}$1 $p_{}$変化傾向は基本的に同じで、この時の共鳴ピーク値$M_{}=1.2～1.5$ ,解釈$p_{}=20\%から30\%$で、システムの応答は理想的です。

• ζ $g>0.707$、共鳴ピークなし、$M_{}$ฎ$\sigma \%$対応はもはや存在しないため、設計では一般に$\zeta$の値は0.4 から 0.7の間$0.4から0.7$の間

• 二次系の共振周波数${おお}_{}$vs ピーク時間$t_{}$関数:
  $$t_{}{おお}_{}=\frac{円周率\sqrt{1-2g{\_}^2}}{\sqrt{1-g^2}}$$

• ζ $\zeta$が定数の場合${おお}_{}$vs ピーク時間$t_{}$ω r \omega_rに反比例${おお}_{}$値が大きいほど、$t_{}$値が小さいほど、システム時間の応答が速くなります。

• 2 次系の閉ループ カットオフ周波数${おお}_{}$遷移時間$t_{}$間の関係:
  $${おお}_{}{t}_{}=\frac{3～}{g}\sqrt{1-2g{\_}^2+\sqrt{2-4g{\_}^2+4g{\_}^4}}$$

• 共合分比$\zeta$が与えられた後、閉ループ カットオフ周波数${おお}_{}$遷移時間$t_{}$ω b \omega_bに反比例${おお}_{}$値が大きいほど、システムの応答速度が速くなります。