これらの3つの変換は非常に重要です！科学と工学の分野では、必然的にこれらの変革が必要です。
これら3つの変換の本質は、信号を時間ドメインから周波数ドメインに変換することです。フーリエ変換の出現は、世界に対する人間の認識を覆します。世界は、時間の経過に伴う変化としてだけでなく、さまざまな周波数と異なる重みの組み合わせとしても見ることができます。不適切な例を挙げると、ピアノ音楽の音波は時間領域で表され、ピアノスコアは周波数領域で表されます。
3つの変換により、微分方程式または微分方程式を多項式に変換できるため、微分（微分）方程式の計算コストが大幅に削減されます。
また、通信分野では、信号の周波数領域分析がなければ、時間領域の信号を理解することは困難です。通信分野ではチャネルを周波数で分割する必要があることが多いため、信号の周波数ドメイン特性は、時間ドメイン特性よりも重要です。
特定の3つの変換（4つである必要があります）の分析は次のとおりです。
フーリエ解析には、フーリエ系列とフーリエ変換が含まれます。フーリエ系列は周期信号の変換に使用され、フーリエ変換は非周期信号の変換に使用されます。
ただし、非収束信号の場合、フーリエ変換は無力であり、ラプラス変換のみを使用できます。（主に微分方程式の計算に使用されます）
z変換は、離散ラプラス変換としてカウントできます。（主に差分方程式の計算に使用されます）
なぜ変わるのですか？
すべての変換の意味は、波の形が何であるかを数学的に表現することです。最初に、インパルス関数を時間の順序で行に配置し、次にそれぞれに独自の係数（線形の組み合わせ）を掛けて、紙の上の波の形状を取得できます。その後、偉大なフーリエの学生は、複雑な指数信号を重ね合わせた後にそれぞれの係数を掛けたインパルス関数だけでなく、ほとんどすべての波の波形を表現できることを発見しました。そして！複素指数信号で表される出力計算方法は、畳み込みよりもはるかに規則的であり、この法則は周波数領域から見ることができます。この発見により、信号変換は大きな前進となりました。
周期信号はフーリエ系列で表すことができ、非周期信号はフーリエ変換で表すことができます。さらに拡張すると、これはトピックから外れます。これは前のフーリエ式（* ^ __ ^ *）のメモです（ZhihuユーザーNiu Baaから）
ラプラス変換：フーリエ変換は信号に対する要件が高く、急速に減衰する信号に適しています。フーリエ変換の適用範囲を拡大し、より不安定なシステムの分析に使用できるようにするために、人々は計算プロセスの係数として負の指数関数を人為的に追加します。これにより、一部の非減衰信号はより速く減衰し、変換に便利です。 。これがラブラドール変容の原点です。ラプラス変換は、連続信号に使用されます。
ラブラドール変換：
その中で
Sを式に戻して、次のようにします。
フーリエ変換の式と比較して、係数の違いは1つだけですか？変換は意味をなすために収束する必要があるため、収束領域についての議論は
統合を意味のあるものにすることです。これには、計算に関する少しの知識が含まれます。最終的な答えは、分割線がY軸に平行な長方形の座標系で表示されます。
Z変換：ラプラス変換の目的と同様に、離散時間フーリエ変換式は
zに置き換えられ、次にzの係数（通常は1に等しい）を表す重み係数が乗算され、次にz変換が展開されます。z変換は離散信号に使用されます。
z変換：、
これ
を取り込むことで復元できます。
同様に、Z変換の収束範囲は、計算値を意味のあるものにすることです。幾何学的公式の展開後、zは特定の値よりも小さいか大きい必要があることがわかります。極座標では、それは円です。
複素平面から、フーリエ解析は虚数部に注意を払い、ラプラス変換はすべての複素平面に注意を払い、z変換はラプラス複素平面をz平面に投影し、虚軸を1つに変更します。リング。（不適切な例えは、金属棒を固定位置に置き、金属棒からの光を反射することによってのみ、写真がはっきりと見えるという感覚です。）
理解する方法は？
これで、誰もがこれらの変換についてある程度理解し、少なくともこれらの変換を計算する方法を知っていると思います。さて、これらの変更をいくつかの異なる観点から説明します。信号は通常、時間の関数として表されます
。これは、その機能イメージが音波や水波などの信号の波形として表示されるため、シンプルで直感的です。多くの場合、信号処理は非常に特殊です。たとえば、線形回路が入力正弦波信号を処理した後でも、出力は正弦波信号のままですが、振幅と位相に変化があります（実際、指数関数は線形微分方程式の特性関数は、行列の特性ベクトルのようなものであり、この複素振幅は特性値に対応します。したがって、すべての信号を正弦波信号の線形の組み合わせに分解すると（Fourier変換）、
転送関数を使用
してこの線形システムを記述することができます。この信号が非常に特殊な場合、たとえば、
数学にフーリエ変換が存在しない場合、この問題を解決するためにラプラス変換が導入されます。
このような線形システムでは、転送関数を使用できます。
表現します。したがって、ここから、信号を正弦関数（Fourier変換）または複素指数関数（Laplace変換）に分解することが線形システムの分析にとって非常に重要であることがわかります。
システムではなく信号自体だけを気にする場合は、これらの変換間の関係をこのようなプロセスで結び付けることができます。まず、明確なポイントを示す必要があります。信号を表すために時間ドメインまたは周波数ドメイン（またはsドメイン）のどちらを使用する場合でも、それらはすべて同じ信号を表します。これは線形空間の観点から理解できます。同じ信号に対して、異なる座標フレーム（または基底ベクトル）が使用される場合、それらの座標は異なります。たとえば
、座標として使用する場合、信号は
、として表すことができ、信号は
フーリエ変換として表すことができます。
。線形代数で述べたように、2つの異なる座標フレームの下で、同じベクトルの座標を線形変換で接続できます。有限次元空間の場合は、行列として表すことができます。この場合、無限次元です。この線形変換は、フーリエ変換。
ラプラス
ドメインを描画すると、それは複雑な平面であり、ラプラス変換
はこの複雑な平面上の複雑な変数関数です。そして、虚軸
値に沿ったこの関数
はフーリエ変換です。これまで、信号の形式について多くの仮定はありません。信号が帯域幅が制限された信号である場合、つまり、ゼロでは
なく、狭い範囲（たとえば
）にのみ存在します。サンプリング定理によれば、時間領域をサンプリングすることができ、サンプリング周波数が十分に高い限り、信号を歪みなく復元することができます。では、信号に対するサンプリングの影響は何ですか？s平面から、時間領域でのサンプリング
は仮想軸に沿って定期的に拡張されます！このプロパティは、数学的に簡単に検証できます。
z変換は、ラプラス変換の特殊な形式と見なすことができます。つまり、置換が行われ
、Tはサンプリング周期です。この変換により、信号がsドメインからzドメインに変換されます。前述の点を覚えておいてください。sドメインとzドメインは同じ信号、つまりサンプリング後の信号を表しています。サンプリングだけで信号自体が変わります！複雑な平面の観点から、この変換は、軸に平行なストリップをz平面の単一の葉の枝に変換し
ます。前のサンプリングによって引き起こされた周期の延長によって生成されたストリップが重なっていることがわかります。 zドメイン
の異なるブランチの関数値は同じです。つまり、サンプリングがなく、z変換を直接実行すると、多値の複素関数が得られます。したがって、通常は、サンプリング後に信号に対してz変換のみを実行してください。
ここでは、時間領域のサンプリングについて説明しました。時間領域のサンプリング後、信号は
周波数間スペクトルのみを持ちます。つまり、最高周波数はサンプリング周波数の半分にすぎません。ただし、このような信号を記録するには、無限のストレージスペースが必要であり、周波数領域でさらにサンプリングすることができます。時間が制限されている場合（周波数制限と矛盾します）、周波数ドメインサンプリング（時間ドメインでの周期延長）により、歪みなしでサンプリングされた信号から元の信号を復元できます。そして、信号の長さは制限されています。これは離散フーリエ変換（DFT）であり、有名な高速アルゴリズムである高速フーリエ変換（FFT）を備えています。なぜDFTと言うのですか？コンピュータは通常の信号に対して効果的にフーリエ変換を実行する必要があるためです。これらはすべてDFTによって実現されます。信号に単純な分析式がない限り！
要約すると、線形システムの場合、線形方程式または線形微分方程式（ラプラス方程式、ポアソン方程式など）で記述できる限り、線形回路であろうと光回路であろうと、入力と出力は線形です。システムは、純粋な時間領域分析よりもはるかに強力なフーリエ分析を通じて、周波数領域からシステムの特性を分析できます。よく知られている2つのアプリケーション例は、線形回路とフーリエ光学系（情報光学系）です。非線形システムでさえ、多くの場合線形システムを使用します！したがって、フーリエ変換は非常に重要です。ご覧のとおり、最も初期のフーリエは熱伝導方程式を解くことでもありました（線形システムと見なすこともできます）。
フーリエ変換のアイデアは、さまざまな分野でまだ進化しています。たとえば、信号処理でのウェーブレット変換です。また、一連の基本関数を使用して信号を表現しますが、フーリエ変換を時間周波数分析に同時に使用できないという問題を克服します。 。
最後に、純粋な数学の私の観点から、最終的なフーリエの変化の程度を言いますはい。
線形代数の代数方程式を覚えてい
ますか？Aが対称二乗行列の場合、相互に直交するすべての固有ベクトル
と行列Aの固有値を見つけて
、ベクトルxとbを固有ベクトルの組み合わせとして
表すことができます。固有ベクトルの直交関係により、行列の代数方程式は次のように変換できます。 Nスカラー代数方程式
、それは素晴らしいです！！これはフーリエ変換と関係があると思いますか？心配は、不均質な線形常微分方程式を見てすることはしないでください
、指数関数があることを確認することができ
、彼の特徴的な機能である。式は演算子のように書き換えされている場合は
、そこされ
、これは線形方程式の特徴ベクトルの固有値に似ていますか？yとzの両方を指数関数の線形の組み合わせとして表現すると、この変換後、通常の微分方程式はスカラー代数方程式になります。！yとzを指数関数の線形の組み合わせとして表現するプロセスは、フーリエ変換（またはラプラス変換）です。波動方程式などの部分微分方程式にも同様の結論があります！これは私が数式のコースを受講したときに私が経験したことです。
要約すると、それはフーリエ変換が線形空間における特別な直交変換であることを意味します！指数関数は微分演算子の特性関数であるため、彼は特別です！