题目描述

熊大妈的奶牛在小沐沐的熏陶下开始研究信息题目。

小沐沐先让奶牛研究了最长上升子序列，再让他们研究了最长公共子序列，现在又让他们研究最长公共上升子序列了。

小沐沐说，对于两个数列 $A$ 和 $B$ ，如果它们都包含一段位置不一定连续的数，且数值是严格递增的，那么称这一段数是两个数列的公共上升子序列，而所有的公共上升子序列中最长的就是最长公共上升子序列了。

奶牛半懂不懂，小沐沐要你来告诉奶牛什么是最长公共上升子序列。

不过，只要告诉奶牛它的长度就可以了。

数列 $A$ 和 $B$ 的长度均不超过 3000。

输入格式

第一行包含一个整数 $N$ ，表示数列 $A, B$ 的长度。

第二行包含 $N$ 个整数，表示数列 $A$ 。

第三行包含 $N$ 个整数，表示数列 $B$ 。

输出格式

输出一个整数，表示最长公共上升子序列的长度。

数据范围

$1 \leq N \leq 3000$ ，序列中的数字均不超过 $2^{31}−1$ 。

输入样例

4
2 2 1 3
2 1 2 3

输出样例

题目分析

此题是LIS和LCS的结合版。

状态表示：设 $f [i, j]$ 表示以 $A$ 的前 $i$ 个数字和 $B$ 的前 $j$ 个数字构成，且以 $B [j]$ 结尾的LCIS的长度，最后结果应为 $max\{f[n,i]|1\le i\le n\}$ 。(你是否想过为什么状态是这么设计的？怎么想到这样表示的？就当是前人经验吧，记住就好了，就像公式一样，会用就行。)

状态计算：

$a[i]\ne b[j]$ ，那么 $f [i, j] = f [i - 1, j]$ (注意在计算 $f [i, j]$ 时 $j$ 不能变，因为一定以 $B [j]$ 结尾)；
$a [i] = b [j]$ ，根据LIS的计算方法，我们通过一重循环枚举得到 $maxv=max\{f[i-1,x]+1|1\le x<j且B[x]>B[j]\}$ ，用该最大值更新， $f[i,j]=max\{f[i,j],maxv\}$ 。

代码：

#include <iostream>
using namespace std;

const int MAXN = 3050;
int a[MAXN], b[MAXN], f[MAXN][MAXN];
int n, ans;

int main(){
    
    
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i ++) cin >> a[i];
    for (int i = 1; i <= n; i ++) cin >> b[i];
    
    for (int i = 1; i <= n; i ++)
        for (int j = 1; j <= n; j ++){
    
    
            if (a[i] == b[j]){
    
    
                f[i][j] = 1;
            	for (int x = 1; x < j; x ++)
            		if (b[x] < b[j])
            			f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][x] + 1);
            }
            else f[i][j] = f[i - 1][j];
        }
    
    for (int i = 1; i <= n; i ++)
        ans = max(ans, f[n][i]);
    cout << ans << endl;
    return 0;
}

在枚举 $m a x v$ 的值时，发现 $B [j] = A [i]$ ，所以条件为 $B [x] < A [i]$ ，而这里的 $A [i]$ 是第一层循环中的值，是确定的，与第二层循环无关，所以可以将其提到第二层循环之外，在第二层循环的同时更新 $m a x v$ 的值即可 (即求前缀最小值)，无需第三层循环。

上述代码的三重循环部分可变为：

for (int i = 1; i <= n; i ++){
    
    
    int maxv = 1;
    for (int j = 1; j <= n; j ++){
    
    
        f[i][j] = f[i - 1][j];
        if (a[i] == b[j]) f[i][j] = max(f[i][j], maxv);
        if (b[j] < a[i]) maxv = max(maxv, f[i - 1][j] + 1);
    }
}

这道题转移部分的优化告诉我们，在实现状态转移方程时，要注意观察决策集合的范围随着状态的变化情况。对于“决策集合中的元素只增多不减少”的情景，就可以像本题一样维护一个变量来记录决策集合的当前信息，避免重复扫描，把转移的复杂度降低一个量级。

【题解】AcWing 272.最长公共上升子序列