インパルス応答と畳み込み

このシリーズは、DR_CAN工学数学の基本シリーズのビデオノートのシリーズです。詳細については、https：//space.bilibili.com/230105574を参照してください。作成
者のレベルが限られているため、テキストにはいくつかの欠点やエラーが必ずあります。

1畳み込みの定義

関数は \（F、G \）で定義されている（R ^ {N} \） \ に測定可能な機能（機能測定可能）、 \ （F、G \）畳み込みと呼ばれる\（F * G \）、これは、反転および変換された後の別の関数の積の積分であり、変換量の関数です。つまり、

\ [（f * g）（t）\ stackrel {\ text {def}} {=} \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} f（\ tau）g（t- \ tau）d \ tau \]

関数が定義されていない場合（R ^ {N} \ \ ） 、値は関数のドメインがゼロに予め定められている外であっても、これは定義なる\（R ^ {N} \ ） で機能します。

2インパルス応答の定義

で信号処理、インパルス応答（英：インパルス応答）は、一般を指すシステム入力における単位パルス関数出力（応答）、それは過渡応答の種類。ための連続時間システム、インパルス応答は、一般的関数である\（H（T、\タウ ）\） 入力信号を前記対応するために、すなわち単位パルス関数を満たすディラック関数δの関数は以下のように定義される形式：

\ [\ delta（t）= 0、t \ neq 0 \\\ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} \ delta（t）dt = 1 \]

入力がディラックのデルタ関数の場合、システムのインパルス応答\（h（t）\）にはシステムのすべての情報が含まれます。したがって、任意の入力信号\（x（t）\）に対して、連続領域畳み込み法を使用して、対応する出力\（y（t）\）を取得できます。つまり：

\ [y（t）= \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} x（\ tau）h（t- \ tau）d \ tau = x（t）* h（t）\]

離散時間システムの場合、インパルス応答は通常、シーケンス\（h [n] \）で表されます。対応する離散入力信号、つまり単位パルス関数は、信号およびシステムサイエンスにおいて、クロネッカーデルタの形式を満たします。関数は次のように定義できます。

\ [\ delta [n] = \ left \ {\ begin {array} {ll} 1、＆n = 0 \\ 0、＆n \ neq 0 \ end {array} \ right。\]

同様に、入力が\（\ delta [n] \）の場合、離散システムのインパルス応答\（h [n] \）にはシステムのすべての情報が含まれます。したがって、任意の入力信号\（x [n] \）に対して、対応する出力信号\（y [n] \）は、離散領域畳み込み（総和）法によって取得できます。つまり：

\ [y [n] = \ sum_ {k = 0} ^ {\ infty} x [k] h [nk] \]

3線形時不変システム

4ばね減衰システムの例

線形システムの場合、対応する出力\（x（t）\）は入力\（f（t）\）に等しく、伝達関数\（H（s）\）は逆ラプラス変換後インパルス応答の畳み込み\（h（t）\）：

入力信号の個別の部分を3つの\（\ Delta T \）に分割します。これらの3つの部分はシステムに影響を与え、影響は互いに独立しています。つまり、対応する独立した入力応答、つまり出力です。そして時間\（T \）出力システム、すなわち\（T \）の前の時間に、各入力応答をとするとき、追加\（\デルタT \ RIGHTARROW 0 \） 、和が一体となります：

同様に、\（\ Delta T \ rightarrow 0 \）の場合、時間\（t \）におけるこの小さな入力は、インパルス関数の\（f（t）\）倍として近似できます。線形時不変システムの性質により、次の入力および出力テーブルを取得できます。

最初の行はインパクトのインパクトであり、基本的な形として理解できます

2行目は、この衝撃が\（i \ Delta T \）時間遅れると、入力応答も\（i \ Delta T \）遅れることを示しています。

3行目は、インパルス強度（画像領域）が\（A \）であり、\（i \ Delta T \）が遅延した後、システムの入力応答が基本形式\（i \ Delta Tで遅延することを意味します。\）\（\）回

4行目は3行目の促進であることにより、（A \）\関数を入力置換（I \デルタT \）\、一度に（デルタT \の\）\パラグラフ領域。彼は、システムの領域ことを示している\（\デルタT F（I \デルタT）が\） 入力遅延に入射\（I \デルタT \）の後に入力された応答を

重ね合わせの原理によれば、この瞬間の前にすべての入力を追加できるため、この瞬間のシステムの応答を取得できます。次のように書くことができます：

\ [x（t）= \ sum_ {i = 0} ^ {j} \ Delta T f \ left（i \ Delta T \ right）h_ {0}（ti \ Delta T）\ quad t = j \ Delta T \]

場合\（\デルタT \ RIGHTARROW 0 \） 場合、\（I \デルタTの= \ \タウから）、上記の式は以下のように書くことができる畳み込み形の：

\ [x（t）= \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} f（\ tau）h（t- \ tau）d \ tau = f（t）* h（t）\]

5インスピレーション

上記の分析により、線形時不変システムの場合、インパルス応答\（h（t）\）がシステムを完全に定義できることがわかります。これが、伝達関数を\（H（s）\）として表す理由です。つまり、インパルス応答\（h（t）\）は、ラプラス変換後に伝達関数を取得します\（H（s）\）。