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Bonjour à tous, je suis TF Boy, un artiste de performance en programmation. Le programme que je vais réaliser pour vous aujourd'hui est : Introduction à la Transformée de Fourier .
1. Transformée de Fourier : des disciples célèbres dissuadent les enseignants
La transformée de Fourier a été autrefois poussée au rang de métaphysique.
Celui-ci a dit que le savoir peut changer votre façon de voir le monde. Cela dit, j'aime le système de signal, mais après avoir regardé la transformée de Fourier pendant 2 semaines, j'ai abandonné.
De nombreuses personnes ont également écrit des didacticiels scientifiques populaires, y compris des didacticiels basés sur zéro, garantis pour comprendre les didacticiels et des didacticiels étranglés. Cependant, quand ils ont montré la formule mathématique, beaucoup de gens sont tombés dans la contemplation : Je... Par où ai-je commencé, je ne peux pas le comprendre...
Ces phénomènes ont inspiré mon fort désir de performer, je veux monter sur scène et jouer pour tout le monde. Si vous ne comprenez pas ma performance, veuillez m'étrangler.
2. Écrire un blog : lorsque la transformée de Fourier est en cours
J'écris un blog, je ne vous mens pas, j'écris vraiment, et il y a des photos pour le prouver (oui, la première personne à écrire un blog avec vscode).
À ce moment-là, il était tard dans la nuit et l'ordinateur de ma maison faisait un « bourdonnement » de refroidissement. Au même moment, sur la route devant la fenêtre, un camion de fumier passait à toute vitesse et un sifflement dur a retenti "Di ~".
Comment ai-je entendu le son.
Le son produit par la vibration de l'objet se propage dans l'air, pénètre dans mon oreille et pousse mon tympan. Plus le son est fort et plus le son est faible. Après une série de traitements, je peux entendre l'ordinateur et la voiture.
En y réfléchissant bien, il est un peu étrange que j'aie analysé le son en fonction de la situation où le tympan a été poussé, y compris le ventilateur de refroidissement de l'ordinateur et le klaxon de la voiture. En fait, en plus de cela, j'ai aussi entendu la télé à l'étage, les insectes à l'extérieur de la fenêtre, l'alarme de la voiture électrique...
La scène où le son est émis et reçu est comme taper des doigts sur une table avec régularité et légèreté. Je suis sûr que vous pouvez dire que ce rythme est un allegro et que ce rythme est un tambour africain. Mais c'est difficile à dire par le rythme du bureau : votre collègue tape au clavier, et le bruit d'une ambulance sonne sur la route.
Donnez-vous 3 minutes pour y réfléchir, je vais d'abord aux toilettes.
Avec des dizaines de milliers d'années d'histoire humaine, je ne sais pas si quelqu'un s'est posé cette question. Si vous vous piquez le tympan avec un bâton, vous pouvez distinguer une douzaine d'objets sonores différents. Comment expliquer cela ?
En fait, c'est -- c'est la transformée de Fourier (je peux vous faire deviner, c'est une transition soudaine ?).
如下图所示：推动你耳膜的力度就是左侧的波形，你的大脑经过傅里叶变换，分析出了十几种不同的发声物体。
好了，现在拿出傅里叶变换的定义：
傅里叶变换，表示能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。
定义看不懂没关系，只要能看懂前面说的，分辨声音的那个例就行。
关于什么是傅里叶，此处打个标记叫[A]。如果你看不懂，就说从[A]开始就糊涂了，来掐我时，好让我死得明白。
但是，有一点谈资我们要知道，这个理论是法国人傅里叶在1807年提出来的。那时，嘉庆皇帝刚抄了和珅的家没过几年。
三、描述一个波：都有独特的气质
你糊弄我？你拿人这种有灵性的生物，来举数学的例子，数学公式能解决道德问题吗？
再说，声音混在一起，就如同染料混在一个缸里，你还能分出来？我就不信了！
我感觉有人跟我对话，充满了质疑和不屑。
那好，我换一个例子，收音机大家都知道吧。
全国几百家广播台，各家都往外发送无线电波。
我们并非生活在多个平行宇宙。因此，这些电波没有VIP通道，肯定都是混在一起在空中传播的。就像下面这样：
那……收音机，可以收听指定电台的节目。
这个是机器，它的收音设备，没有你的耳朵那么复杂，也没有神经元，这一点儿灵性也没有，但它是可以分解指定波段的。
好了，继续看我表演，说一下声音的两个属性：频率、振幅。
3.1 声音的频率
声音是由振动产生的，振动一般都是……就……就像这样：
一个点围绕着某个相对固定的中心，周期性地移动。
比如，一个弹簧吊着一个小球，上下振动。
如果，一边记录时间，一边记录位置，其实它的形状就是弦曲线（我保证这个词，已是本文最专业的术语），也可以叫波。
有些物体振动的快，1秒钟反复来回1000次。有些物体振动的慢，1秒钟才往返1个周期。
这个单位时间内振动一个周期的次数，我们就叫频率。
因为材质不同，不同的物体振动的频率是不一样，波形也不一样。
下面是物理课上，敲击音叉振动的声波。
下面是用嘴吹试管的声波。
只要我们听到的声音不一样，基本上它们声波的频率也是不一样的。
就算都是口琴，低音区是这样的：
高音区是这样的：
我们发现，高音区比较密集，相同单位内振动的次数更多，也就是频率大。反之，低音区频率小，比较稀疏。
你听到的每种不同类型声音，都有自己固定的频率，就像每个地方菜的口味一样，是有差别的。此处打个标记叫[B]，如果你看不懂，就说从[B]开始，就乱了，来告诉我。
3.2 声音的振幅
声音的振幅就是声音的大小。大小和频率没有任何关系。
频率是某个时间内，推了耳膜多少次。振幅是这次推动，花了多少力气。
还是拿音叉举例子，声音的振幅只影响音量，波形、频率都不变。你敲出原子弹爆炸的音量，它也是那个形状。
声音大时，音叉的波形：
声音小时，音叉的波形：
这很好理解，不管我小声说话，还是大声说话，你都能听出是我。但是，我大声说话，你会震得耳朵疼（耳膜遭受一记重拳）。
再来点儿谈资吧。我们人类能听到的频率范围是20Hz(1秒钟振动20个周期)到20000Hz。超过20000Hz为超声波，低于20Hz为次声波。我们常说，蝙蝠发出的超声波，不是因为它声音太小或太大，导致我们听不见。其实是因为它振动得太快，蝙蝠已经说了5000字了，但是我们只收到一个“的”。这是没有意义的。同样，我们人类能发出的声音频率也是有范围的，范围在250Hz-4000Hz之间，这是由我们人类声带的肉质（额……不知道为啥突然出来这个词）决定的。
振幅和频率的区别，此处打个标记叫[C]。
如果你了解了，频率和振幅这两个波的属性，后面就好说了。
四、说傅里叶变换吧：我不抗拒了！
傅里叶发现，这个世界上的人，对事物的理解不透彻，描述的也不科学。
世人都以时间为轴线，来描述事物。比如，描述一段1分钟的录音：第1秒说了什么，第2秒说了什么……。
世人摇摇头，叹了口气：傅里叶，你想咋着？
4.1 时域
傅里叶说，以时间作为参考的描述，叫时域分析。
比如下面这图，这是个时域图。我们看到这1秒内，它很忙，来来回回，从0到1秒跑着，从-1跑到1，反复了5次。所以，这段波的频率是5，最大振幅是1。整图描述的是，每一个时刻的信号值：
如果这段波，不是1秒，而是1个小时，那么它就是3600个这样的图拼在一起。
时域的概念，打个标记叫[D]。不懂的话，就看看表，再看看路上的汽车，刚才在你左边，1分钟后到了你的右边。2分钟后，它还在原地等红绿灯，每个时间都有对应的位置。这也是我们普通人认识世界的方式。
4.2 频域
还是那段波，而如果用频域来描述，那就是这样的：
横坐标表示频率，纵坐标表示振幅。上面这个图表示：这里面有一段波，频率为5，振幅为1。
傅里叶告诉世人，我这个频域，可以抵得过时域的千年万年。两者说的是同一件事，只是分析的角度和描述手段不一样。
呵呵哈……哈呵呵，傅里叶冷笑着离开了，他连笑，都带着波形。
频域，打个标记叫[E]。
4.3 波的合成和分解
世界上的波，不会是上面说的那么单纯，实际上是很复杂的。
波，根据固定的频率振动，原本很单纯。只是，大家都在同一个空间内振动，相互之间发生了抵消和促进，相互融合，进行叠加，导致它很复杂。
波的叠加，打个标记叫[F]。不明白的话，赶紧评论区输入[F]，让我知道，我会加强细节描述。
既然能叠加，那么能拆解吗？
其实，是可以的。不只是听觉，人类的味觉也做到了，你吃一口菜，可以尝出来里面有糖，有醋，有辣椒。它的理论基础就是，味觉具有一定的标准，辣就是辣，混到哪里都是辣。
波也一样，大家都是振动，震动就是弦曲线，只是频率不一样。
我们可以通过转啊转，各种组合，你护拢我，我护拢你，总能拼起来。
规律的波，并非一定得是“U”形，下面这几种情况，也都是规律的波形。
甚至，下面这个形状，也是规律的波形。可以拆解为若干组波的叠加。
二维空间里没有规律，就去从三维空间里面找。即便实在无法分解，我们也可以认为它的周期无限长，我有规律，只是本次循环还没到头呢？着啥急！
波的分解，不用明白具体是怎么分的。知道能分就行，打个标记叫[G]。
4.4 时域拆解频域
一段复杂的波，可以分解成，多段，规律的单纯波的集合。
然后，对这些规律的波从频域进行描述，就有了整段波的谱线图。
下图是一个综述。f指的是频率维度。这张图，很清晰地说明了波形、时域和频域的关系。很多教程，开局就拿出这张图，可解万难。但是，我说了这么久，才敢亮出来。
此图打个标记叫[H]，还不明白来掐我。
4.5 频域复原时域
根据频域，也能复原成时域（此处用理想波，便于理解概念，还有相位等问题，不敢具体展开了）。
上面图里绿色的频率和振幅，可以描述一个波。如果把谱线上描述的波，依次画出来，然后做叠加。这样就复原了时域的波形。这个过程就像是泡发木耳。
波的复原，打个标记叫[I]，有疑问请评论（别的平台复制本文可能不回复，但是掘金TF男孩一定给你回复，且回复的比你问的还要多）。
五、傅里叶变换有什么用？
傅里叶变换，在生物领域，你已经享受到它的益处了，你能分辨出一段声音里不同的声源，一口食物里不同的味道。
除此之外，我们可以拿时域转频域，对频域的特征进行二次加工，然后再恢复成时域，以此来做文章。
比如那些演唱会上调节声卡的人，如果你高音不足，可以给你升上去，低音太高，可以给你降下来。
举个例子，比如变声软件。把一段音频，分离出男声和女声，将男声改为女声的频率，然后还原回去，实现男声变女声。
再比如，声音压缩。将一些低频波形，合成一条。如下图蓝色线条，可以替代其下方的其他多条波形，而又不会影响人们的听觉判断，以此实现了数据的压缩。
除了在音频和信号的应用之外，在视觉上也有广泛应用，比如轮廓提取、美颜磨皮等等。
甚至，我还有一个想法，研发一款不会颠簸的汽车：
应用部分，如需讨论，打个标记叫[J]。
六、代码实践
如果，你已掌握了上面说的傅里叶变换。那么，下面，我们就要实践一下了。
实践的目的在于应用，表示我们已经可以利用代码，进行傅里叶变换了。这可以加深理解，并储备知识。
以下代码，采用python语言演示。
6.1 生成波形
傅里叶变换，是对波形做变换。因此，要变换我们首先得有一段波形。比如这一段音频，这是单词“stop”的声音波形(3个小高峰，s-tɒ-p)：
信息的读取和绘制都很简单：
from scipy.io import wavfile
import matplotlib.pyplot as plt
# 读取音频数据
fs, audio_wave = wavfile.read("stop.wav")
# 采样率 fs, 音频数据 audio_wave
plt.plot(audio_wave) # 绘制音频数据
plt.show()
复制代码这样看的不直观，我们选取开头的160个点，plt.plot(audio_wave[0:160])来绘制这一小段，这样看就是线条的波形了：
从总图看，开头那部分是一马平川。但是，当我们放大这部分细节时，我们看到的却是满眼的崎岖和坎坷。
我们看到上面的wavfile.read函数返回两个值，一个叫采样率，一个叫音频数据。
声音的读取和波形绘制，此处打个标记叫[K]。
6.1.1 采样率
采样率就是采样的频率，描述多长时间记录一次数据。
还记得打点计时器吗？
那个在纸上打点的频率，就叫采样率。
比如，1秒钟打60个点，采样率就是60。
60的采样率，能记录上信息吗？
这得看对方信号有多快。
如果对方太慢，会导致一个地方频繁打点，其实打一个点和打100个点没有区别，这很浪费。
如果对方太快，可能会记录不全，甚至它跑了好多周期了，我们一个点都采不上。蝙蝠的超声波就是频率太快了，我们的耳膜采样不上。
下图是采样率为1000和100时，记录的图：
可见，信号不复杂时，采样率高和超高，没有什么变化，都能记录全了。区别只是，用1万个点来描述，还是用100个点来描述。
下图是采样率为20时，绘制的同一段信号的图：
采样率一旦比信号低(小于信号最高频的2倍)了，有些信息的细节就记录不上了。
对于录音机，我们说，它是否能把声音的细节记录上，主要看它的采样率高不高。
关于采样率，此处打个标记叫[L]，你是否get全了呢？
为什么要了解这些概念？因为我们要制造声波数据，需要先了解它。
为什么要造数据（这自问自答，我也是不要脸了）？因为我们造的数据，是我们已知的参数，便于我们和求出的结果做对照。
要造数据，还需要了解弦函数sin(θ)。
就是横轴上一个点，对应纵轴上一个值，把它们画出来，就是一个波：
6.1.2 绘制波形
现在，我们来搞一系列的横纵坐标点。
import numpy as np
#采样率，单位时间内采集多少次样本（1秒内记录1000次，采样率1kHz）
Fs = 1000
#采样周期，频率的倒数，相邻两点的时间间隔，1秒打10个点，采样周期就是0.1秒
T = 1/Fs
#信号长度，信号有多少个点
L = 1200
# 时间轴X轴的集合，这批信号每次采集的时间点
t = np.arange(L)*T
# 幅度值Y轴的集合，1200个点对应的Y轴的值
S = np.sin(2*np.pi*t)
复制代码上面代码，t是横轴坐标，S是纵轴坐标。我们先来看1秒内发生的故事，因为我们设置的是1秒一个周期，其他时间段都是循环的。
我们的采样率是1000，也就是1秒记录1000个点。
1秒内，t的值是[0.000,0.001,0.002,……,1.0],把一个2π（完整周期）分成了1000份。对这1000个点求函数的值，也就是S = [0,…0.5,…1,…0,…-0.5,…-1,…,0]。
如果用代码画出来的话。
import matplotlib.pyplot as plt
plt.plot(t[:1000], S[:1000])
plt.show()
复制代码数据就是下图所示：
上面的例子中，1秒进行了一个周期，频率是1。
如果，我们要一个频率为5的波形，那又该怎么整呢？
很简单，让S = np.sin(2*np.pi*t*5),里面乘以5，再画出来，就是下图这样：
如果想要一个频率为8的波形呢？乘以8就可以了！
关于波形数据的生成和绘制，此处打个标记叫[M]。如果大脑过载的话，要及时上报啊。
下面，我们准备了一组复合波数据，作为测试样本。
这批样本，其实就是一段频率为5的波，叠加一段频率为20的波。
其中有点插曲（故意设计的），这个频率为20的波，他的振幅为0.5（频率5的振幅是1），波形是这样的。
两段波相加，混合起来是这样的：
S_5 = np.sin(2*np.pi*5*t)
S_20 = 0.5*np.sin(2*np.pi*20*t)
S_25 = S_5 + S_20
复制代码好了，这个就是我们自己造的测试数据。
下面，我们来做傅里叶变换，看看能不能分析出来它的组成。
关于波的叠加，此处打个标记叫[N]。
6.2 傅里叶变换 FFT
今天，我们是用傅里叶变换，不是写傅里叶变换。所以过程会很简单，简单到就3个字母fft。
python库scipy.fftpack中有fft，它就是专门处理傅里叶变换的。
from scipy.fftpack import fft
# 完成傅里叶变换
Y = fft(S_25)
# 把结果画出来
p2 = np.abs(Y)
p1 = np.abs(Y)[:int(L/2)]
# Fs、L是之前生成波形时的采样率和信号长度
f = np.arange(int(L/2))*Fs/L
plt.plot(f,2*p1/L)
plt.show()
复制代码采用傅里叶变换，对测试波形进行分析，得出了这个谱线。
从图上我们看出，整段波里，存在2个频率的波形，一个频率为5，振幅为1；另一个频率为20，振幅是0.5（刚才就是按照这个规则造的假数据）。
这说明，分析的很对。
此时，我们可以玩耍的就多了。比如增大高频的频率，或者把低频的删除，然后再还原为波形，就做到了对声音的增强、提取和调整。
关于谱线，能看懂就行，此处打个标记叫[O]，看不懂来掐我。
等会……这里面存在一个问题，那就是：这个分析结果，把时间维度给忽略了。
然而，时间是一个很重要的参考。
上面演示的是S20和S5叠加的情况。如果要是S20追加S5呢？意思就是有先后顺序，就像这样：
S_20_5 = np.append(S_20, S_5)
复制代码这段波形，先是一段小声（振幅小）的高频（频率大），然后是一段大声（振幅大）的低频（频率小）。
我分析啊，应该先是女生小声嘀咕，然后男生大声呵斥。这个时间顺序里面，是包含着故事的。
波形分析里没有时间维度，就相当于食品说明里，只有组成成分，没有含量占比。这，没法判断它的口味和营养。
于是，短时傅里叶变换就出现了。
6.3 短时傅里叶变换 STFT
本文的毕业考核，就是最终能看懂下面这张图。
不着急，我慢慢说。
为了加上时间（序列）维度，才有了短时傅里叶。
其实，它的本质还是傅里叶，只是它从时域信号中，依次选取一段样本，进行傅里叶分析。分析完了，再合并起来，这样就有了时间维度了。
短时傅里叶变换的调用依然很简单，比傅里叶变换多一个字母，它是stft。传入的参数是要分析的波形数据，以及采样频率，返回值是：时间t、频率f、振幅Z。
from scipy.signal import stft
# 短时傅里叶变换
f, t, Z = stft(S_20_5, fs=1000)
# 把结果画出来
z = np.abs(Z)
plt.figure(figsize=(10,10))
plt.xlabel("author:[email protected] Time(s)")
plt.ylabel("frequency")
plt.ylim(ymin=0, ymax= 30)
plt.title("from https://juejin.cn/user/615370768790158")
c = plt.pcolormesh(t, f, z, cmap ='Greens', vmin = 0, vmax = 1)
plt.colorbar(c)
复制代码由短时傅里叶变换得出数据生成的这个图，叫三维频谱图。
相比于谱线图，它加入了时间维度。
其中，横坐标是时间维度，这个时间可以不和波形图的时间对应。它和上面的fs采样点参数有关。纵坐标，则表示波形的频率。它虽然是一幅2维图，但可以表示3维的数据。
Sa troisième dimension est la valeur de couleur du bloc de couleur, qui représente l'amplitude. Plus la valeur de la couleur est claire, plus l'amplitude est grande .
Comment analyser ce graphique :
- Commencez par l'ordonnée : ce signal contient 2 fréquences, une fréquence est 20 et l'autre fréquence est 5. Parmi eux, la bande à 20 fréquences a une amplitude plus petite et la bande à 5 fréquences a une amplitude plus grande.
- En partant de l'abscisse : avant 1,2 s, il n'y a que des signaux haute fréquence ; après 1,2 s, la haute fréquence disparaît, les signaux basse fréquence apparaissent et le volume basse fréquence est plus fort.
- Commencez par l'amplitude : le son le plus fort (valeur de couleur plus forte) apparaît principalement dans la seconde moitié et le signal de basse fréquence est émis. On suppose que le garçon est en colère.
En ce qui concerne l'interprétation du spectrogramme tridimensionnel, marquez-le ici et appelez-le [P] Si vous ne le comprenez pas, faites-le moi savoir.
Eh bien, essayons l'examen de fin d'études, regardez le spectrogramme ci-dessous. Ceci est un morceau de musique. Les deux formes d'onde supérieures sont les canaux gauche et droit, la couleur rouge ci-dessous est le spectre de fréquences et la coordonnée droite est la hauteur (fréquence), telle que C, G5, etc.
Dans ce morceau de musique, quelle gamme est la plus active ? Ce chanteur est-il une soprano ou une basse ?
7. Clause de sauvetage
Amis, je parle très rudimentaire, vraiment, pas humble du tout. Je n'ai pas parlé de la phase, et je n'ai pas parlé de tous les paramètres de la fonction, enregistrez-le simplement si vous le pouvez. C'est juste pour la vulgarisation scientifique, pour faire savoir à tout le monde qu'il existe une telle chose, pas seulement pour savoir, il est préférable d'absorber certaines connaissances. Les connaissances acquises vous appartiennent.
Les lecteurs cibles de cet article sont ces amis qui sont même retournés aux professeurs de mathématiques du premier cycle du secondaire sin. cosIls ne peuvent vraiment pas trouver de matériel populaire pour étudier, mais ils ont aussi une forte soif de connaissances, bien que de nombreux médecins... non, de nombreux étudiants diplômés, criant qu'ils ont fait de leur mieux.
Je n'irai pas plus loin car je n'y connais pas grand chose. Cependant, je pense que cet article peut également aider certaines personnes, en particulier cet article a téléchargé près de 50 images et de nombreuses images dynamiques.
S'il y a des erreurs, corrigez-moi, je ferai des corrections, et c'est aussi pour moi l'occasion d'apprendre.
Si vous souhaitez communiquer avec moi, vous êtes invités à laisser un message. Je suis un garçon TF de la communauté Nuggets, un artiste de performance de programmation, effectuant une programmation pour le peuple. Si vous voyez cet article sur un autre site, il s'agit peut-être d'une réédition, merci de vous rendre sur les Nuggets pour discuter avec moi. S'il y a des amis qui réimpriment, veuillez indiquer la source, afin que les lecteurs puissent trouver l'auteur, veuillez remplir les deux.