Comparaison de la transformée de Fourier, la transformée de Laplace et la transformée en z

Il y a quelques jours, j'ai appris le principe du contrôle automatique, et j'ai soudainement senti que la différence et la connexion entre la transformée de Fourier, la transformée de Laplace et la transformée en z n'étaient pas particulièrement claires, alors je les ai rassemblées et étudiées, et les ai enregistrées ici après les trier et les résumer.

1. Transformée de Fourier

La base de la transformée de Fourier est la série de Fourier. Permettez-moi d'abord de parler de ce qu'est une série de Fourier.

1.1 Série de Fourier

Le mathématicien français Fourier estime que toute fonction périodique peut être représentée par une série infinie composée de fonctions sinus et cosinus (les fonctions sinus et cosinus sont choisies comme fonctions de base car elles sont orthogonales), plus tard connue sous le nom de Fourier La série est d'un genre particulier de séries trigonométriques.

La série de Fourier sous forme triangulaire est la suivante :

Selon la formule d'Euler, les fonctions trigonométriques peuvent être transformées en forme exponentielle, également appelée série de Fourier en tant que série exponentielle. La formule d'Euler est la suivante :

La série de Fourier sous forme exponentielle est la suivante :

dans,

Lorsque k=0,

est la composante continue de la fonction

Lorsque k=1,

Ceci est généralement appelé l'onde fondamentale de la fonction

La fonction trigonométrique lorsque k prend des valeurs différentes (k>1) est appelée la kième harmonique de la fonction

• Il convient de noter que dans la définition des séries de Fourier, seules les fonctions périodiques peuvent être étendues en séries de Fourier

• En fait, toute fonction périodique peut être développée en une série de Fourier, mais la série de Fourier obtenue ne converge pas nécessairement

Alors, si la fonction périodique satisfait la condition de Dirichlet, sa série de Fourier est convergente

Conditions de Dirichlet ( conditions suffisantes et non nécessaires pour la convergence des séries de Fourier ) :
1. Dans une période, la fonction est absolument intégrable 2.
Dans une période, la fonction est continue ou ne comporte qu'un nombre limité de discontinuités du premier type ;
3. Dans un cycle, le nombre de maxima et minima de fonction est limité .

Prenons un signal d'onde carrée comme exemple :

L'expansion en série de Fourier d'un signal d'onde carrée avec une période de T et une largeur d'impulsion de 2 est :

L'image de la série de Fourier est représentée sur la figure :

A l'époque , une séquence de séries de Fourier discrètes programmerait une courbe continue, la transformée de Fourier

Après avoir étudié la série de Fourier des fonctions périodiques, les gens y réfléchiront : les fonctions non périodiques peuvent-elles être exprimées de cette manière, et quelles modifications doivent être apportées à la formule pour qu'elle soit exprimée ? Il y a donc une étude de la transformée de Fourier.

1.2 Transformée de Fourier

Pour une fonction non périodique, elle peut en fait être considérée comme une fonction périodique avec une période de

Par exemple, une image de fonction périodique est la suivante :

Commandez , obtenez :

Dérivé de la formule :

Dénotons une fonction périodique par , selon la série de Fourier :

Au lieu de cela , comme indiqué dans l'image de la fonction ci-dessus.

parce que , alors

(du discret au continu )

donc ça devient

C'est la formule de la transformée de Fourier

Et maintenant ça devient

C'est la transformée de Fourier inverse

• Remarque : Si la transformée de Fourier est prise pour le signal périodique, le résultat obtenu n'est pas réellement la valeur du coefficient de la série de Fourier , mais la valeur de

1.3 Limites de la transformée de Fourier

En fait, toutes les fonctions ne peuvent pas être transformées de Fourier et la condition de Dirichlet doit être satisfaite avant que la transformée de Fourier puisse être effectuée.

Comme les conditions suffisantes et inutiles pour la convergence de la série de Fourier, la condition de Dirichlet pour la transformée de Fourier est :

迪利克雷条件（ 傅里叶变换存在的充分不必要条件）：
1.在整个定义域内，函数是 绝对可积的；
2.在整个定义域内，函数 连续或者只有有限个第一类间断点；
3.在整个定义域内，函数 极大值和极小值的数目是有限个。

其实只需要把傅里叶级数的迪利克雷条件的周期内变成整个定义域内就可以了

1.4 常见函数的傅里叶变换

二、拉普拉斯变换

2.1 为什么需要引入拉普拉斯变换

傅里叶变换在信号频域研究上起到了非常重要的作用，可是并不是所有的信号都可以进行傅里叶变换。那么对于无法进行傅里叶变换的信号，我们想研究它的频域特性，应该怎么办呢？

例如：我们已知，虽然并不满足迪利克雷条件中绝对可积的条件，这也说明了迪利克雷条件其实是充分不必要条件。但是函数显然就无法进行傅里叶变换，这里可以归结为它的增长速度太快，以至于在绝对值积分的时候没法收敛。

那么我们要解决这个问题，针对无法进行傅里叶变换的函数，引入了拉普拉斯变换。其最通俗基本的原理就是给我们的函数乘一个，我们需要取合适的使得它可以快速下降，这样它就可以满足迪利克雷条件的绝对可积这一条件，这样就可以进行傅里叶变换了。

2.2 拉普拉斯变换

对于函数，令，对做傅里叶变换，得：

此时，变换结果的变量从傅里叶变换的变为了和两个，但其实我们发现总是和虚数单位J在一起，所以我们将和两个变量合成为一个变量

于是我们得到了拉普拉斯变换的完整公式：

需要注意的是，我们上面讲了需要取合适的使得可以快速下降，所以对于一些升高比较快的函数，我们需要限定比较大，才可以使得这个函数满足迪利克雷条件。所以，拉普拉斯变换不像傅里叶变换那样没有变量范围的限定，它需要有ROC(Range of Re{s} (or ) for X(s) to converge)与拉普拉斯变换配套存在。事实上，ROC也是拉普拉斯变换的一部分，对于相同的表达式，不同的ROC，其时域函数有可能完全不同，所以一定需要注意ROC不可以遗漏。

拉普拉斯逆变换公式：

2.3 常见函数的拉普拉斯变换

三、z变换

我们知道z变换其实是为离散信号而引入的一种变换，其主要原理和拉普拉斯变换很相似，是为了解决一些离散序列无法进行离散时间傅里叶变换而引入的。我们首先介绍离散时间傅里叶变换。

3.1 DTFT离散时间傅里叶变换

我们上面已经介绍了连续时间傅里叶变换，即傅里叶变换，公式如下：

那么我们将转化为离散的，积分变为求和，即得到了离散时间傅里叶变换：

至于为什么要用 而不是 ，这个问题其实也让我疑惑，我初步思考的结果是：
为了区分离散和连续。试想，如果你看到这样一个符号 ，在没有区分的情况下你并不知道这个变换是连续的还是离散的，所以我觉得可能是为了区分。
括号中 的代表一个复数，即模为1的复数，而不是 所代表的纯虚数，这样也是为z变换做准备。
我看到有博客解释说一个是积分一个是求和，没有特别理解。

3.2 z变换的引入

要想进行DTFT，也必须满足离散傅里叶级数的迪利克雷条件。

迪利克雷条件（DTFT存在的充分不必要条件）
序列 绝对可和

如果有序列无法满足迪利克雷条件，那么我们就想给序列乘一个使得它绝对可积

3.3 z变换

DTFT公式：

如果无法进行DTFT，那么

给乘后再做DTFT得：

此时,

需要注意的是，同拉普拉斯变换一样，z变换也需要定义ROC

逆z变换：

逆Z变换是一个对Z进行的围线积分，积分路径C是一条在 收敛环域（Rx-，Rx+）以内逆时针方向绕原点一周的单围线。

求解逆Z变换的常用方法有：
（1）幂级数展开法（部分分式展开法）
（2）留数定律法
（3）利用已知变换对
（4）长除法

3.4 常见序列的z变换

四、总结

最后总结一下，其实拉普拉斯变换和z变换分别对应着傅里叶变换在连续情况和离散情况下的推广，是针对那些无法进行傅里叶变换的函数或者序列而引入的，其基本原理都是给原函数或者序列乘一个下降很快的指数函数，让其变得绝对可积，再进行傅里叶变换就得到了拉普拉斯变换和z变换。

他们将傅里叶变换所定义的频域，拓展到了复频域。给函数的研究提供了新的思路。

值得注意的是，拉普拉斯变换和z变换都需要定义ROC。这一点很重要。