Notas sobre "Geometría de vista múltiple en visión por computadora" (2)

2 Geometría Proyectiva y Transformaciones del 2D

Este capítulo presenta principalmente los conocimientos y símbolos geométricos necesarios para este libro.

2.1 Geometría plana

Se introduce brevemente la geometría plana y el libro se enseñará de forma mixta de álgebra y geometría.

2.2 El plano proyectivo 2D

Vectores de fila y vectores de columna. Por defecto, todos los vectores en este libro son vectores de columna, como $x$ , entonces$X^T$ es el vector fila. Para un vector fila$(x,y)$ , tenemos$X=(x,y{)}^{T.}$ _

2.2.1 Puntos y rectas

Coordenadas homogéneas de un segmento de recta La recta viene dada por la ecuación $unax+por\_+C=0$ , entonces usamos$(un,segundo,c{)}^T$ representa el segmento de recta. Pero$(un,segundo,c{)}^T$ no puede representar de forma única un segmento de línea porque$(un,segundo,c{)}^T$与$k(a,segundo,c{)}^T$ representa el mismo segmento de recta ($k$ no es 0). Entonces$k(a,segundo,c{)}^T$ es en realidad la expresión de un tipo de vector. Todos los vectores de esta clase son vectores secundarios. Luego juntamos todas las clases para formar un espacio de proyección. Hay un punto especial en el espacio$(0,0,0{)}^T$ , que no pertenece a ninguna recta.

La segunda coordenada del punto y la ecuación de la recta son $unax+por\_+C=0$ , entonces se puede escribir como$(x,y,1)(un,segundo,c{)}^T$ , entonces esto$(x,y,1)$ es la coordenada homogénea del punto.

Conclusión 2.1 Un punto está en una línea recta si y sólo si $X^{t}l=0$

Grado de libertad El grado de libertad significa que esta geometría se puede expresar mediante varias variables que cambian libremente. Por ejemplo, el grado de libertad de un punto es 2, porque $x,y$ es suficiente, y el grado de libertad de la recta también es 2. Esto se debe a que aunque la recta tiene tres variables, la relación entre ellas es$a:b:c$ . Por ejemplo, en una representación no homogénea, estos dos parámetros se pueden elegir como el gradiente y la intersección con el eje y de la línea.

Intersección de rectas Dos rectas $yo=(un,segundo,c)，l^{\prime }=({un}^{\prime },b^{\prime },C^{\prime })$, su punto de intersección es$yo\times {yo}^{\prime }$。

Una recta determinada por dos puntos Dos puntos $x,X^{\prime }$ , la línea recta que determinan es$X\times X^{\prime }$。

2.2.2 Puntos ideales y la recta en el infinito

Punto de intersección de rectas paralelas Si consideramos el punto de intersección de dos rectas paralelas $unax+por\_+C=0,unax+por\_+C^{\prime }=0$ , haciendo el producto cruzado, obtendremos$(c^{\prime }-c)(b,-un,0{)}^T$ , si ignoramos el factor de escala$(c^{\prime }-c)$ , entonces la intersección de las líneas paralelas está en$(b,-un,0{)}^T$ , luego cambiamos esta coordenada homogénea a no homogénea, luego obtenemos$(b/0,-un/0{)}^T$ , este punto está en el infinito, por lo que decimos que las rectas paralelas se cortan en el infinito.

Punto ideal y recta en el infinito Consideramos cualquier punto $(x_{},X_{},X_{}{)}^T$ , establezca$X_{}=0$ , 那么$(x_{},X_{},0{)}^T$ son todos los puntos en el infinito. Todos estos puntos caen en una línea recta, es decir,${yo}_{}=(0,0,1{)}^{T.}$ _

Luego consideramos cualquier línea recta $yo=(un,segundo,c{)}^T$ ,$l$与${yo}_{}$El punto de intersección es $(b,-un,0{)}^{T.\_}$ _ Entonces uno y$l$ recta paralela${yo}^{\prime }$ sumará con${yo}_{}$También se cruza con $(b,-un,0{)}^T$。$(b,-a)$ y el vector normal de la recta$(un,b)$ es vertical, por lo que es la dirección de la línea. Tenga en cuenta que$(un,b)$ no es la dirección de una línea recta,$(un,b)$ es perpendicular a la recta. $(b,-un,0)$ Este punto está en la línea recta en el infinito, entonces la línea recta en el infinito puede considerarse como un conjunto de direcciones de líneas rectas.

Modelo geométrico de un plano de proyección bidimensional Un plano de proyección puede imaginarse como una colección de rayos en un espacio tridimensional. Puedes elegir tres puntos de tres rayos y hacerlos coplanares, luego todos los demás rayos tendrán intersecciones con el plano. Entonces el plano está formado por puntos del rayo. Una recta en el plano proyectivo es la intersección del plano que pasa por el origen y el plano proyectivo. Dos rayos diferentes se encuentran en el mismo plano y dos planos diferentes se comparan con un rayo. Se puede comparar con dos líneas rectas que se cruzan en un punto, y los dos puntos determinan una línea recta.

Como se muestra en la figura, el punto ideal en el infinito y la recta son paralelas al plano $X_{}=1$ .

Dualidad entre segmentos de línea y puntos Los roles de los puntos y los segmentos de línea en realidad se pueden intercambiar. Por ejemplo, ${yo}^{T}x=0$ se puede escribir como$X^{t}l=0$ .

2.2.3 Cónicas y cónicas duales

Un cono describe una ecuación cuadrática en un plano. Hay tres tipos principales de geometría euclidiana: parábola, hipérbola y elipse. En geometría fotográfica bidimensional, estos tres son equivalentes.

Primero escribimos el cono como y luego la expresión $X=(x_{},X_{},X_{})$

$$\left[\begin{array}{ccc}a& b/2& d/2\\ b/2& C& mi/2\\ d/& mi/& \end{array}\right]$$

El cono se puede escribir como $X^{TCx}\_\_=0$ Un cono tiene 5 grados de libertad.

Cinco puntos determinan un cono. Escribamos el cono de otra manera, usando $X=X_{}/x_{},y=X_{}/x_{}$，可以得到：
$$\begin{gathered} (x_i^{},X_{}{y}_{},y_i^{},X_{},y_{},1)c=0 \\ C=(un,segundo,c,e,re,f) \end{gathered}$$

Se necesitan cinco ecuaciones para resolver $c$ , porque$Los\; grados\; de\; libertad\; de\; c$ son 5.

Línea tangente a elipse y elipse $C$ está en el puntoxxrecta tangentell$en\; x$$l$ es$yo=Cx$ .$\_$

Cónica dual En el artículo anteriorccEl cono definido por$c\; es\; un\; cono\; compuesto\; de\; puntos.$Podemos definir un cono c ∗ c^*que consta de líneas rectas$C^{\ast }$ , este cono está compuesto por todos y$c$ consta de rectas tangentes. $C^{\ast }=C^{-1}$

2.3 Transformaciones proyectivas

Definición 2.9 Transformación de proyección $h$ es una transformación del espacio de proyección bidimensional al espacio de proyección bidimensional, que satisface una propiedad: si$X_{},X_{},X_{}$En línea recta antes de la transformación, si y sólo si son después de la transformación $\left(h\right(x_{}),h(x_{}),h(x_{}))$ todavía está en línea recta.

Según esta definición, la transformación de proyección también se llama colinealidad, y la transformación de proyección y la homografía tienen el mismo significado.

El libro también presenta otra forma de definirlo desde una perspectiva algebraica. En términos sencillos, es cualquier $3\times$La matriz no singularHH$de\; 3$$H$ ambos definen una transformación de proyección.

Explicada desde una perspectiva geométrica, la transformación de proyección en realidad define un mapeo de plano a plano, porque sabemos que la geometría de proyección está definida por un plano. Además, la transformación de proyección mantiene la colinealidad. Si los sistemas de coordenadas en estos dos planos son ambos sistemas de coordenadas euclidianas, entonces esta transformación de proyección se convierte en una transformación de perspectiva con 6 grados de libertad.

2.3.1 Transformaciones de rectas y cónicas

Un punto tiene la siguiente transformación $X^{\prime }=Hx$ , entonces la transformación de línea es${yo}^{\prime }=h^{-T}l$, la transformación cónica es$X^{TCx}\_\_=X^{\prime T}{H}^{-TCH}\_{\_}^{-1}{x}^{\prime }$ , entonces$C=h^{-TCH}\_{\_}^{-1}$ , su transformación de doble círculo es$C^{{\ast }^{\prime }}=HC{\_}^{\ast }{H}^{T.}$ _

2.4 Una jerarquía de transformaciones

Esta sección es un capítulo clave, que presenta las definiciones y propiedades de varias transformaciones capa por capa.

2.4.1 Transformación de cuerpo rígido de isometrías

Determinar:
$$\left(\begin{array}{c}{X}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ \end{array}\right)=\left[\begin{array}{ccc}ϵ\mathrm{porque}i& -\mathrm{pecado}& t_{}\\ ϵ\mathrm{pecado}i& -\mathrm{porque}& t_{}\\ & & \end{array}\right]\left(\begin{array}{c}X\\ y\\ \end{array}\right)$$
Se puede abreviar como:
$$X^{\prime }=h_{}X=\left[\begin{array}{cc}R& t\\ 0^{}& \end{array}\right]x$$
$R$ es un$2\times Una\; matriz\; ortogonal\; de\; 2$ , toda la matriz grande tiene tres grados de libertad: uno para rotación y dos para traslación. Las invariantes son: la longitud de los segmentos de recta, el ángulo entre los segmentos de recta y el área de la figura.

2.4.2 Transformaciones de similitud Transformaciones de similitud

Determine:
$$\left(\begin{array}{c}{X}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ \end{array}\right)=\left[\begin{array}{ccc}s\mathrm{porque}i& -s\mathrm{pecado}& t_{}\\ s\mathrm{pecado}i& s\mathrm{porque}& t_{}\\ & & \end{array}\right]\left(\begin{array}{c}X\\ y\\ \end{array}\right)$$
Se puede abreviar como:
$$X^{\prime }=h_{}X=\left[\begin{array}{cc}r\_& t\\ 0^{}& \end{array}\right]Toda\; la\; matriz\; x$$
tiene 4 grados de libertad: uno para el factor de escala, uno para la rotación y dos para la traslación. Las invariantes son: el ángulo entre los segmentos de línea, si las líneas son paralelas o paralelas, y la relación entre los segmentos de línea no cambia. Debido a que todo el gráfico está escalado, la relación de área entre diferentes áreas no cambia.

2.4.3 Transformaciones afinesTransformaciones afines

其形式如下：
$$\left(\begin{array}{c}{X}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ \end{array}\right)=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{}& a_{}& t_{}\\ a_{}& a_{}& t_{}\\ & & \end{array}\right]\left(\begin{array}{c}X\\ y\\ \end{array}\right)$$
可以简写成：
$$X^{\prime }=h_{}X=\left[\begin{array}{cc}A& t\\ 0^{}& \end{array}\right]Toda\; la\; matriz\; x$$
tiene 6 grados de libertad y la esquina superior izquierda$Cuatro\; para\; A$ , dos para traducción.

$A$ se puede descomponer en la siguiente forma:
$$A=R\left(\theta \right)R(-\varphi )DR\left(\varphi \right)$$
$$\left[\begin{array}{cc}{yo}_{}& 0\\ & {yo}_{}\end{array}\right]$$

Así que $A$ puede interpretarse como que primero gira un ángulo$\varphi$ , y luego de$x,El\; escalado\; se\; realiza\; en\; ambas\; direcciones\; de\; y$ y los factores de escala son${yo}_{},{yo}_{}$, luego presione $-\phi$ gira hacia atrás y luego gira$yo$ .

Debido a la compresión, el ángulo entre los segmentos de línea cambia y el invariante solo puede mantener el paralelismo entre las líneas rectas, la relación entre las líneas rectas y la relación del área.

2.4.4 Transformaciones proyectivasTransformaciones proyectivas

La transformación proyectiva es una transformación lineal general no singular de coordenadas homogéneas. En realidad, generaliza la transformación afín. Hemos visto el papel de la transformación proyectiva antes.
Su forma es la siguiente:
$$X^{\prime }=h_{}X=\left[\begin{array}{cc}A& t\\ v^{}& \end{array}\right]xToda$$
la matriz grande tiene 8 grados de libertad. Su invariante: una línea recta sigue siendo una línea recta después de la transformación.

2.4.5 Resumen y comparación

2.4.6 Descomposición de una transformación proyectiva

Toda la matriz de transformación de proyección se puede descomponer en tres matrices pequeñas:
$$\begin{gathered} h=h_{}{h}_{}{h}_{} \\ =\left[\begin{array}{cc}r\_& t\\ 0^{}& \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}k& 0\\ 0^{}& \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}I& 0\\ v^{}& \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}A& t\\ v^{}& \end{array}\right] \end{gathered}$$
$h_{}$Moviendo una línea recta hasta el infinito, $h_{}$es una transformación afín, $h_{}$es una transformación de similitud generalizada.

2.4.7 El número de invariantes

Anteriormente analizamos cuántas invariantes tiene una geometría bajo ciertas transformaciones. Entonces, ¿cómo calcular esta invariante? Tenemos las siguientes conclusiones:

Conclusión 2.16 El invariante de una geometría es mayor o igual a los grados de libertad de la geometría menos los grados de libertad de la transformación.

Por ejemplo, 4 puntos en el espacio tienen 8 grados de libertad, porque cada punto tiene 2. Entonces el invariante de la geometría es: los grados de libertad de la geometría, 8, menos los grados de libertad de la transformación. Si asumimos que la transformación es una transformación de similitud, entonces la respuesta es 8-4=4 (las transformaciones de similitud tienen 4 grados de libertad). Suponiendo que la transformación es una transformación afín, la respuesta es 8-6=2 (la transformación afín es 6 grados de libertad).

2.5 La geometría proyectiva de 1D

La geometría de proyección espacial unidimensional es el punto $\bar{X}=(x_{},X_{}{)}^T$ , donde$X_{}=0$ , la matriz de homografía unidimensional es:
$${\bar{X}}^{\prime }=h_{2\times }\bar{X}$$
$h_{2\times }$Hay 3 grados de libertad.

La razón cruzada
Dados 4 puntos en un plano unidimensional, definimos una razón cruzada:
$$cruz(\_X_{},X_{},X_{},X_{})=\frac{|X_{}{X}_{}||X_{}{X}_{}}{|X_{}{X}_{}||X_{}{X}_{}|}$$

其中
$$|X_{}{X}_{}|=\mathrm{el}\left[\begin{array}{cc}{X}_{yo}& X_j\\ X_{yo}& X_j\end{array}\right]$$

La relación de cruce tiene varias propiedades:

1. La razón cruzada no tiene nada que ver con el sistema de coordenadas que se utiliza, porque la razón entre el numerador y el denominador se cancelan entre sí.
2. Si todo punto es un punto a una distancia finita y $X_{}=1$ , entonces∣$|{\bar{X}}_{}{\bar{X}}_{}|$ representa el punto de partida desde${\bar{X}}_{}$a ${\bar{X}}_{}$la distancia firmada de
3. Si un punto es un punto ideal, la relación de cruce aún se mantiene
4. La relación de cruce es invariante bajo cualquier transformación de proyección.

Las líneas concurrentes
son líneas con un punto de partida común y luego se encuentra una línea más para cruzar todas las líneas comunes, de modo que se pueda definir la relación de intersección.

2.7 Recuperación de propiedades afines y métricas de imágenes

Esta sección es principalmente para eliminar la pérdida de propiedades causada por la transformación de proyección y restaurar la imagen de la transformación de proyección a la transformación de similitud, de modo que se conserven propiedades como líneas paralelas, segmentos de línea y proporciones de área.

Como sabemos que la transformación de proyección solo tiene 4 grados de libertad más que la transformación de similitud, entonces solo necesitamos restaurar 4 grados de libertad. ¿De dónde vienen estos 4 grados de libertad? La línea en el infinito proporciona 2 y dos puntos absolutos en el infinito, ya que son invariantes bajo transformaciones de similitud. También se le puede llamar punto de cono, porque cualquier cono corta la línea en el infinito en estos dos puntos.

2.7.1 La línea del infinito

Bajo la transformación de proyección, las líneas en el infinito se proyectan hacia el infinito.
Una línea en el infinito no cambia bajo una transformación afín, lo que significa que después de una transformación afín, todavía está en el infinito. Pero las posiciones de los puntos en la recta han cambiado, excepto que todos los puntos están en el infinito.

2.7.2 Recuperación de propiedades afines de imágenes

Sabemos que para restaurar las propiedades afines necesitamos encontrar la línea en el infinito. Entonces, primero dejamos claro que la cámara es una transformación de proyección y luego la línea se asignará a un lugar determinado en el sistema de coordenadas de la imagen. Primero encontramos este lugar y luego usamos las propiedades de 2.7.1 para establecer una ecuación.

Supongamos que la línea en el infinito está asignada a $yo=({yo}_{},{yo}_{},{yo}_{}{)}^T$ , sabemos que las coordenadas de la recta en el infinito son$(0,0,1{)}^T$ y la recta es invariante bajo transformación afín, entonces construimos una matriz:
$$h=h_{}\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ {yo}_{}& {yo}_{}& {yo}_{}\end{array}\right]$$

$h_{}$es cualquier transformación afín, $H$ puede poner$l$ se transforma en$(0,0,1)$ , luego tomamos$H$ se multiplica por toda la imagen, de modo que toda la imagen recupera sus propiedades afines.

Entonces la siguiente pregunta es cómo encontrar $l$ , encontramos dos líneas paralelas de la imagen y las extendemos, deben cruzarse, por lo que es un punto. De nuevo, hay dos puntos. Estos dos puntos determinan$yo$ . Hay otro método en el libro, Ejemplo 2.20 en P51.

2.7.3 Los puntos circulares y sus duales

Ya hemos explicado qué es un punto elíptico, así que ahora echemos un vistazo a cómo se ve.
Usamos $yo,J$来表示,$I=(1,yo,0{)}^T,j=(1,-yo,0{)}^T$ , encuentra una de las
siguientes ecuaciones
$$\begin{gathered} I^{\prime }=h_{}I \\ =\left[\begin{array}{ccc}s\mathrm{porque}i& -s\mathrm{pecado}i& t_{}\\ s\mathrm{pecado}i& s\mathrm{porque}i& t_{}\\ 0& & \end{array}\right]\left(\begin{array}{c}1\\ i\\ \end{array}\right) \\ =con{e}^{-yo\theta }\left(\begin{array}{c}1\\ i\\ \end{array}\right) \\ =I \end{gathered}$$

De acuerdo con la fórmula anterior, tenemos la siguiente conclusión:
Conclusión 2.21 Punto de elipse $yo,J$ permanece sin cambios bajo la transformación de proyección si y solo si la transformación de proyección es una transformación de similitud.

¿Cómo se encontraron estos dos puntos? es la ecuación cónica con ${yo}_{}$punto de intersección.

* Conos duales definidos por puntos de cono.
Podemos usar $yo,J$ para definir un cono
$$C_{\infty }^{}=Yo{J}^t+J.I.{\_}^{TthisC\infty }$$
∗$C_{\infty }^{}$Es un cono compuesto de líneas rectas, que es la degeneración del cono de línea de 2.2.3 nudos. Entonces, ¿de quién se trata? Es el dual de un punto cónico.

$C_{\infty }^{}$También es invariante bajo transformaciones similares. Entonces podemos tener las siguientes conclusiones:

Conclusión 2.22 Punto del cono $C_{\infty }^{}$es invariante bajo una transformación proyectiva si y solo si la transformación proyectiva es una transformación de similitud.

$C_{\infty }^{}$Hay dos propiedades más. 1. Hay cuatro grados de libertad 2. ${yo}_{}$es $C_{\infty }^{}$El vector cero de

2.7.4 Ángulos en el plano proyectivo

Supongamos que hay dos líneas rectas $yo=({yo}_{},{yo}_{},{yo}_{}{)}^T$ ,$metro=(m_{},{metro}_{},{metro}_{}{)}^T$ , el ángulo entre ellos es:
$$\mathrm{porque}i=\frac{{yo}_{}{metro}_{}+{yo}_{}{metro}_{}}{\sqrt{({yo}_1^{}+{yo}_2^{})(m_1^{}+{metro}_2^{})}}$$

Si para $yo,m$ aplica la transformación de proyección, la fórmula anterior ya no es aplicable. Para calcular el ángulo después de la transformación de proyección, tenemos la siguiente fórmula:
$$\mathrm{porque}i=\frac{{yo}^{TC}{\_}_{\infty }^{}}{\sqrt{\left({yo}^{TC}{\_}_{\infty }^{}l\right)\left(m^{TC}{\_}_{\infty }^{}metro\right)}}$$

Entonces sabemos $C_{\infty }^{}$Puedes calcular el ángulo entre segmentos de línea o planos ( Conclusión 2.23 ).

También hay una conclusión obvia en el libro: si ${yo}^{TC}{\_}_{\infty }^{}metro=0$ , entonces$yo,mvertical$ .

2.7.5 Restaurar las propiedades métricas de las imágenes.

Las propiedades métricas se refieren a ángulos, proporciones entre segmentos de línea, etc. Utilice principalmente $C_{\infty }^{}$, esto se debe a que bajo la transformación de proyección, existe la siguiente fórmula:
$$\begin{gathered} C_{\infty }^{{\ast }^{}}=\left(h_{}{h}_{}{h}_{}\right)C_{\infty }^{}(h_{}{h}_{}{h}_{}{)}^t \\ =\left[\begin{array}{cc}KK{\_}^t& KK{\_}^{televisión}\_\\ v^{TKK}\_{\_}^{}& v^{TKK}\_{\_}^{televisión}\end{array}\right] \end{gathered}$$

$K$ es el componente superior izquierdo de la transformación afín,$v$ es el componente de la transformación proyectiva. De la fórmula anterior, podemos ver que siempre que sepamos$C_{\infty }^{}$Puedes encontrar $C_{\infty }^{{\ast }^{}}$y luego hacer la descomposición SVD, puedes encontrar $k,v$ .

Para obtener detalles específicos, consulte P56 Ejemplo 2.26.

2.8 Más propiedades de las cónicas

Este capítulo también es el tema central: presenta la relación entre puntos, líneas y conos, que es la base de la geometría epipolar.

2.8.1 La relación polo-polar

un punto $x$ y un cono$C$ puede determinar una línea recta$yo=Cx$ , esto$l$ se llama línea polar. Presta atención a esto$x$ no está en el cono$en\; C$ , pero enCCfuera de$c.$Pasó$x$ puede enviar a$C$ forma dos líneas (tenga en cuenta que esta líneano es una línea polar, la llamolínea tangente). Cadarecta tangentees tangente al cono, como se muestra en la siguiente figura. podemos imaginar$x$ se mueve gradualmente hacia el cono, por lo que el ángulo entre lasdos rectas tangentes aumenta gradualmente.$x$ está ubicado en el cono y las dos rectas tangentes se convierten en una recta tangente. A continuación se presenta otro concepto: Definición 2.29

Correlación entre puntos y líneasLa correlación es un mapeo reversible de puntos en un espacio de proyección bidimensional a líneas en un espacio de proyección bidimensional. Es un3 × 3 3 \times 3
$3\times La\; matriz\; no\; singular\; de\; 3$ (no singular por lo que es reversible), la denotamos como$A$ , entonces toda la correlación se puede expresar como$yo=Unax$。

Este $A$ proporciona la relación entre puntos y líneas, pero$A$ no es simétrica. Entonces si$A$ es simétrica, ¿qué pasará? Esto lleva al concepto de puntos conjugados:

Punto conjugado punto $y$ en porxxEn la línea polar determinada por$x$$y$ y$x$ es el punto conjugado, expresado como$y^{t}l=y^{TCx}\_\_=0$ .

Entonces $C$ describe la relación entre puntos y líneas.

Además, el punto conjugado tiene la propiedad: $x$ si en$En\; la\; línea\; polar\; de\; y$ ,$y$ también estarás en$En\; la\; línea\; extrema\; de\; x$ .

2.8.2 Clasificación de cónicas

Los conos pueden identificar tres categorías: hipérbola, parábola y elipse. Están formados por la intersección de planos y conos respectivamente. Entonces si lo consideramos desde la perspectiva de la geometría proyectiva y usamos una línea recta en el infinito para intersectar una elipse, si no hay un punto de intersección real, entonces se forma una elipse. Si hay un punto de intersección, es una parábola. hay dos puntos de intersección, es decir, la hipérbola, como se muestra en la siguiente figura:

Si lo pensamos desde un punto de vista algebraico, $Descomponga\; C$ usando SVD para obtener$C={Ud.}^{T}DU$, donde$D$ es el valor propio de la matriz, sea$D$ es descompuesto nuevamente por SVD, asegurandoDDEl valor propio de$D$$Diferentes\; valores\; propios\; de\; D$ dan como resultado diferentes tipos de conos, como se muestra en la siguiente tabla:

2.9 Puntos fijos y líneas

Sabemos que ${yo}_{}$y los puntos elípticos son invariantes bajo transformación de proyección. Entonces, si una transformación se considera una matriz y los puntos y las líneas se consideran vectores, entonces ¿qué tipo de vectores permanecen sin cambios bajo la acción de la matriz? El vector correspondiente al valor propio. Entonces esos puntos y líneas que no cambian son los vectores propios de la matriz de proyección.

Los puntos fijos en diferentes transformaciones se presentan a continuación:

Los valores propios de la transformación euclidiana (transformación de cuerpo rígido) son { ei θ , e − i θ e^{i \theta}, e^{-i \theta} ${mi}^{yo\theta },{mi}^{-i\theta }$ }, los dos puntos fijos son los puntos circulares (puntos de elipse) mencionados anteriormente.

Cambios similares y expediciones especiales {1, $con{e}^{yo\theta },con{e}^{-i\theta }$ }, los dos puntos fijos son los puntos elípticos mencionados anteriormente.

Los dos puntos fijos de transformación afín pueden ser puntos reales o puntos complejos, pero la línea fija ${yo}_{}$Es cierto en cualquier caso.