Es la etapa de origen de las matemáticas, incluidas las matemáticas del antiguo Egipto y la antigua Babilonia. Las matemáticas se ocupan principalmente del conteo, la medición y la geometría.

2. El período de las matemáticas clásicas

Siglo VI a.C. ~ Siglo XVI d.C.

Las matemáticas en la antigua Grecia alcanzaron su apogeo. Matemáticos como Pitágoras, Euclides y Arquímedes hicieron importantes contribuciones en áreas como la geometría, la teoría de números y la mecánica.

3. Edad Moderna Temprana

Del siglo XVII al XVIII d.C.,

El establecimiento del cálculo y el desarrollo del análisis. Matemáticos como Newton, Leibniz y otros hicieron importantes contribuciones en áreas como el cálculo, la teoría de números y las ecuaciones algebraicas.

4. Tardíos de la modernidad

En el siglo XIX, un grupo de viejos europeos:

Avances importantes como el rigor de lo infinitesimal y el establecimiento del concepto límite. Los matemáticos europeos promovieron el desarrollo de las matemáticas durante este período, entre ellos Cauchy, Riemann, Poincaré y Gödel.

5. Matemáticas modernas

Del siglo XX a la actualidad, informática científica y revolución inteligente:

Las matemáticas modernas incluyen muchos subcampos, como las matemáticas aplicadas, el análisis matemático, el álgebra abstracta, la topología, la geometría, la teoría de la probabilidad y la estadística.

En segundo lugar, ¿qué es la metodología computacional?

1. Álgebra numérica

a.Resolver ecuaciones algebraicas lineales (transformación equivalente)

Mediante transformación equivalente, el sistema de ecuaciones se puede transformar en una forma matricial, es decir, PAx = Pb, donde P es una matriz de intercambio de columnas, A es una matriz de coeficientes, x es un vector desconocido y b es un vector constante. Se pueden utilizar métodos numéricos como el método de eliminación gaussiano, la descomposición LU y métodos iterativos (como el método de Jacobi, la iteración de Gauss-Seidel) para resolver ecuaciones lineales.

B. Vector propio de valor propio de matriz (transformación similar)

Los valores propios representan los factores de escala de la matriz, mientras que los vectores propios representan las direcciones correspondientes. Mediante la transformación de similitud, la matriz se puede transformar en una forma diagonal, donde los elementos diagonales son valores propios y los vectores de columna correspondientes son vectores propios. Los valores propios y los vectores propios tienen aplicaciones importantes en muchos campos, como los métodos numéricos, el análisis de datos y la física.

C. Cuadrático (conversión de contrato)

Una forma cuadrática es una función polinómica que consta de términos cuadráticos. En álgebra numérica, es importante estudiar las propiedades y cambios de formas cuadráticas para problemas de optimización y descomposición matricial. Mediante la transformación del contrato, la forma cuadrática se puede transformar en una forma canónica, lo que hace que la resolución y el análisis de problemas sean más convenientes.

2. Aproximación numérica

Cómo representar funciones, integración numérica, diferenciación numérica.

La aproximación numérica se refiere a la solución aproximada de problemas matemáticos complejos mediante métodos numéricos y tecnología informática. En aplicaciones prácticas, muchos problemas matemáticos no pueden resolverse con precisión mediante métodos analíticos, por lo que es necesario utilizar métodos de aproximación numérica para aproximar soluciones o calcular sus resultados numéricos.

A. Interpolación

Construye una función aproximada a partir de valores de función conocidos en puntos de datos de modo que la función aproximada pasa a través de estos puntos de datos y se desconoce el valor de la función entre estos puntos. Los métodos de interpolación comunes incluyen la interpolación de Lagrange y la interpolación de Newton.

B. Ajuste de curvas

Ajuste una función que se ajuste a la tendencia de los datos a través de puntos de datos conocidos. El objetivo del ajuste de curvas es encontrar una función simple que minimice su error a partir de puntos de datos conocidos. Los métodos comunes de ajuste de curvas incluyen mínimos cuadrados y ajuste polinómico.

C. Integración numérica

Calcula numéricamente la integral de una función en un intervalo específico. Los métodos de integración numérica pueden transformar el problema integral de funciones continuas en problemas de cálculo numérico discreto, incluida la regla trapezoidal, la regla de Simpson y la integral de Romberg.

D. Diferenciación numérica

Calcular la derivada o diferenciación de una función utilizando métodos numéricos. Los métodos de diferenciación numérica pueden estimar valores derivados calculando la diferencia de una función en puntos discretos, como la diferencia hacia adelante, la diferencia hacia atrás y la diferencia central.

E. Método iterativo

El enfoque iterativo se utiliza para acercarse gradualmente a la solución del problema hasta que se cumpla una determinada condición de convergencia. Los métodos iterativos se utilizan ampliamente para resolver ecuaciones no lineales, ecuaciones lineales y problemas de optimización.

F. Solución aproximada de ecuaciones diferenciales ordinarias.

Resolver aproximadamente ecuaciones diferenciales ordinarias mediante métodos numéricos, como el método de Euler, el método de Runge-Kutta, etc.

La elección del método de aproximación numérica depende de las características y requisitos del problema específico. Seleccionando y combinando adecuadamente estos métodos, se pueden obtener resultados numéricos que cumplan con los requisitos de precisión y eficiencia en aplicaciones prácticas.

3. Optimización numérica

mín f(x)

Entrenamiento de redes neuronales - Alquimia

La optimización numérica es una técnica para encontrar la solución óptima de una función mediante métodos numéricos. En problemas prácticos, a menudo necesitamos encontrar el valor mínimo o máximo de una función, y la optimización numérica proporciona una serie de algoritmos y técnicas para resolver estos problemas. La optimización numérica tiene una amplia gama de aplicaciones en diversos campos, incluido el aprendizaje automático, el análisis de datos, el diseño de ingeniería, etc.

Algunos algoritmos y métodos de optimización numérica de uso común:

a. Modelado de problemas de optimización

Transformar problemas prácticos de optimización en formulaciones matemáticas, definiendo funciones objetivo y restricciones. La función objetivo puede ser una función que debe minimizarse o maximizarse, y las restricciones pueden ser restricciones de igualdad o restricciones de desigualdad.

B. Método de descenso de gradiente:

El método de descenso de gradiente es un algoritmo de optimización iterativo que se acerca gradualmente a la solución óptima actualizando el vector de solución en la dirección opuesta al gradiente de la función. Este método es particularmente adecuado para problemas de optimización de funciones convexas y diferenciables.

Descenso de gradiente ～ función convexa ～ global (o atrapado en el mínimo local)

C. Método de Newton y método cuasi-Newton

El método de Newton es un método de optimización basado en información derivada de segundo orden, que encuentra el punto mínimo resolviendo el sistema de ecuaciones. El método cuasi-Newton es un método aproximado de Newton, que no necesita calcular la matriz derivada de segundo orden, pero utiliza la información de puntos de iteración históricos para aproximar la información de segundo orden.

D. Algoritmos evolutivos

El algoritmo evolutivo es un tipo de método de optimización basado en el principio de la evolución biológica, como el algoritmo genético, el algoritmo de optimización de enjambre de partículas, el algoritmo de colonia de hormigas, etc. Estos métodos buscan gradualmente la solución óptima en el espacio de soluciones simulando el proceso de evolución en la naturaleza.

E. Optimización restringida

En problemas de optimización restringida, es necesario encontrar la solución óptima bajo restricciones dadas. Los métodos de optimización restringida más utilizados incluyen el método de función de penalización, el método del multiplicador de Lagrange y la condición KKT, etc.

F. Optimización global

En los problemas de optimización global, es necesario encontrar la solución óptima global de la función, no sólo la solución óptima local. Los métodos de optimización global incluyen algoritmo genético, algoritmo de recocido simulado y optimización de enjambre de partículas.

4. Solución numérica

a. Ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO)

$eq?y%27%27+py%27+y%3D0$

$eq?y0%3Dy%270%3D0$

Método de Euler: este método utiliza pasos discretos para aproximar la solución de la EDO.
Método de Runge-Kutta: este es un método numérico de orden superior, que incluye versiones de cuarto orden y de orden superior.
Método de Runge-Kutta (RK4): Este es un método clásico de Runge-Kutta de cuarto orden que logra una alta precisión al aproximar la solución paso a paso.
Métodos de varios pasos: como los métodos Adams-Bashforth y Adams-Moulton, estos métodos utilizan múltiples puntos de datos históricos para aproximar la solución.

B. Ecuaciones diferenciales parciales (PDE)

Método de diferencias finitas: este es un método numérico común y simple que discretiza el PDE en una cuadrícula y calcula la solución en forma de diferencia aproximada.
Método de elementos finitos: este es un método numérico más avanzado que discretiza el PDE en pequeños subdominios y utiliza funciones básicas para aproximar la solución.
Método de volumen finito: este es un método numérico comúnmente utilizado en dinámica de fluidos y transferencia de calor. Discretiza el PDE en un volumen de control y calcula el flujo.

En tercer lugar, ¿qué tipo de algoritmo es un buen algoritmo?

"capaz"

Ser capaz de resolver problemas reales significa poder producir resultados correctos.

"permitir"

El resultado del algoritmo tiene alta precisión y puede cumplir con los requisitos o expectativas del problema.

La red neuronal actual tiene una alta tasa de precisión, pero aún debe juzgarse

"rápido"

La velocidad de ejecución del algoritmo es rápida y puede dar el resultado en un plazo de tiempo razonable.

Estas tres características suelen restringirse entre sí y es difícil lograr el mejor estado al mismo tiempo. En aplicaciones prácticas, es necesario sopesar estas tres características y seleccionar el algoritmo más apropiado según las necesidades y escenarios específicos. A veces puede ser necesario elegir entre "cuasi" y "rápido".

【Métodos de cálculo numérico】Introducción

1. La historia de las matemáticas minimalistas

1. El período de incipiente