métodos de cálculo HFUT (a) -. Chp6 integración numérica (a)

métodos de cálculo HFUT (a) -. Chp6 integración numérica (a)

Los conceptos básicos de la integración numérica de chp6.1

\ [\ Int_a ^ bf (x) dx = \ sum_ {k = 0} ^ nA_kf (x) + R [f] \ etiqueta {1} \]

\ (Ecuación 1 \ quad \) donde \ ({x_k} (k = 0, 1, ..., n) \) es el punto de cuadratura, \ ({a_k (K = 0 ,. 1, ..., n-)} \ ) para el coeficiente de cuadratura. \ (R [f] \) es el resto fórmulas de cuadratura.

estimaciones de error rectangular de izquierda
- Debido a \ (F (X) - F (A) = F (\ xi_x) (X - A) \) , se pueden obtener:
- \ [\ Begin {alineado} R [f] Y = \ int_ {a} ^ {b} f (x) d xf (a) (ba) \\ & = \ int_ {a} ^ {b} f ^ { \ prime} \ left (\ xi_ {x} \ right) (xa) dx = \ frac {(ba) ^ {2}} {2} f ^ {\ prime} (\ xi) \ quad \ xi \ in ( a, b) \ end {alineado} \]
estimación del error rectangular recto
- \ [\ Begin {alineado} R [f] Y = - \ frac {(ba) ^ {2}} {2} f ^ {\ prime} (\ xi) \ quad \ xi \ en (a, b) \ end {alineado} \]
estimación del error rectángulo
- Expandir obtenida de Taylor:
  
  \ (F (x) = f \ left (\ frac {a + b} {2} \ right) + f ^ {\ prime} \ left (\ frac {a + b} {2} \ right) \ left ( x- \ frac {a + b} {2} \ right) + \ frac {f ^ {\ prime \ prime} \ left (\ xi_ {x} \ right)} {2} \ left (x \ frac { a + b} {2} \ right) ^ {2} \)
- \ (\ Int_ {a} ^ {b} f (x) d xf \ left (\ frac {a + b} {2} \ right) (ba) = - \ frac {f ^ {\ prime \ prime} ( \ eta)} {24} (ba) ^ {3}, \ quad \ eta \ en (a, b) \)

exactitud Algebraic fórmula chp6.2 cuadratura

** ** Si la definición de la fórmula de cuadratura $$ \ la alineadas la begin {}
& \ la int_ {A} {B} ^ F (x) dx \ aprox \ sum_ K = {0}} ^ {n-A_ {F} K \ izquierdo (x_ {k} \ right ) \ end {alinean} $$ de $$ \ begin {alineadas} & f (x) = x ^ {i} (j = 0,1,2, \ cdots, m) \ end {alineado} $$ se establecen con precisión, pero $$ \ begin {alineado} & f (x) = x ^ {m + 1} \ end {alineado} $$ establecimiento inexacta, a saber:

\ [\ Begin {alineado} & \ int_ {a} ^ {b} x ^ {j} dx = \ sum_ {k = 0} ^ {n} A_ {k} x_ {k} ^ {j}, \ quad j = 0,1,2, \ ldots, m \ end {alineado} \]

Esta fórmula ha llamado \ (m \) veces exactitud algebraica.

chp6.3 tipo de interpolación fórmulas de cuadratura digitales

construcción de interpolación de Lagrange

Configuración de la función integrando de Lagrange polinomio de interpolación, se puede obtener:

\ [\ Begin {alineado} & L_ {n} (x) = \ sum_ {k = 0} ^ {n} f \ left (x_ {k} \ right) l_ {k} (x) \\\ end {alineado } \ quad $$ 因此, $$ \ begin {alineado} & \ int_ {a} ^ {b} f (x) dx \ aprox \ int_ {a} ^ {b} L_ {n} (x) dx \\ & = \ int_ {a} ^ {b} \ left [\ sum_ {k = 0} ^ {n} f \ left (x_ {k} \ right) l_ {k} (x) \ right] dx = \ sum_ {k = 0} ^ {n} \ left [\ int_ {a} ^ {b} l_ {k} (x) dx \ right] f \ left (x_ {k} \ right) \ end {alineado} \]

Cuando se hace referencia $$ A_ {k} = \ int_ {a} ^ {b} l_ {k} (x) dx \ etiqueta {2} $$

则有$$ \ begin {alineado} & \ int_ {a} ^ {b} f (x) dx \ aprox \ sum_ {k = 0} ^ {n} A_ {k} f \ left (x_ {k} \ derecha)
\ end {alineado} \ tag {3} $$

Análisis de errores

A coeficientes de cuadratura \ ((2) \) que determinan fórmula fórmula cuadratura \ ((3) \)

Para \ (f (x) \) , el resto de interpolación es \ (f (x) -L_ { n} (x) = \ frac {f ^ {(n + 1)} \ left (\ xi_ {x } \ right)} {(n + 1)!} \ omega_ {n + 1} (x) \ xi_ {x} \ en (a, b) \ quad \) disponibles

\ (R [f] \) para recordar

\ [\ Begin {alineado} R [f] Y = \ int_ {a} ^ {b} \ left [f (x) -L_ {n} (x) \ right] dx \\ & = \ frac {1} {(n + 1)!} \ int_ {a} ^ {b} f ^ {(n + 1)} \ left (\ xi_ {x} \ right) \ omega_ {n + 1} (x) dx. \ Quad \ xi_ {x} \ en (a, b) \ end {alineado} \]

derecho Constructor

Para el intervalo de \ ([a, b] \ ) función de ponderación en es \ (\ rho \) integral \ (la I = \ int_a ^ B \ Rho (X) F (x) dx \) , donde \ (\ Rho (X) \) de \ ([a, b] \ ) función de ponderación en.

Interpoladas fórmulas de cuadratura \ ((2) \) de expresión en \ (A_k (x) \) método de cálculo de cambiar, para dar:

\ [A_k = \ int_a ^ b \ rho (x) l_k (x) dx \ etiqueta {4} \]

Análisis de errores

\ [R [f] = \ frac {1} {(n + 1)!} \ Int_a ^ b \ rho (x) f ^ {n + 1} (\ xi_x) \ omega_ (n + 1) dx \]

fórmula Newton-Cotes

\ [A_ {k} = \ int_ {a} ^ {b} l_ {k} (x) dx = \ int_ {a} ^ {b} \ prod_ {i = 0} ^ {n} \ frac {x- x_ {i}} {x_ {k} -x_ {i}} dx \ stackrel {x_ {i} = a + ésimo} {=} \ frac {(- 1) ^ {nk}! h} {k (nk )!} \ int_ {0} ^ {n} \ prod_ {i = 0 \ encima de i \ neq k} ^ {n} (ti) dt \ etiqueta {5} \]

令 $$ C_ {k} ^ {(n)} = \ frac {1} {ba} A_ {k} = \ frac - {! Nk (nk)} {(1) ^ {nk}} \ {int_ 0} ^ {n} \ prod_ {i = 0 \ encima de i \ neq k} ^ {n} (ti) dt, k = 0,1, \ ldots, n $$

则有 $$ \ quad \ int_ {a} ^ {b} f (x) dx \ aprox (ba) \ sum_ {k = 0} ^ {n} C_ {k} ^ {(n)} f \ left ( x_ {k} \ right) \ etiqueta {6} $$

Como fórmulas Newton-Cotes , donde \ (C_K ^ {(n) } \) de coeficiente de Costas