Varios tipos estándar de sistemas de control automático (con ejemplos)

1. Allanando el camino para el conocimiento relacionado con el espacio de estados

Antes de leer este artículo, el lector predeterminado ya conoce los conocimientos relevantes del espacio de estados, que incluyen:

• Existe más de una forma de expresión del espacio de estados, la cual se puede expresar en $\tilde{X}=$Transformar sobre la base de$T$$x\; ;$
• El espacio de estados es un medio para estudiar las variables internas del proceso dinámico del sistema y las variables de estado seleccionadas $X_{}$en más de una forma;
• Todas las variables de estado xi x_i en el sistema$X_{}$No tiene por qué tener un significado físico, a veces sólo se establece por conveniencia de la representación matemática; además, no todas las variables de estado serán observadas o medidas.

Todas las expresiones del espacio de estados en este artículo se establecen con base en la siguiente ecuación diferencial:
$$\begin{gathered} y^{\left(n\right)}+a_{norte-}{y}^{(norte-1)}+a_{norte-}{y}^{(norte-2)}+\cdots +a_{}y+a_{}y+a_{}y= \\ {b}_{}{tu}^{\left(n\right)}+b_{norte-}{tu}^{(norte-1)}+\cdots +b_{}\dot{tu}+b_{}tu\text{\hspace{1em}( 1 )} \end{gathered}$$ Tenga en cuenta queen la fórmula anterior,$y^{}$Coeficiente an = 1antes${}^{(}$${}^n$${}^{)\; a\_n\; =\; 1}$$a_{}=1$ .

En cambio, el objetivo es escribirlo en la siguiente forma de espacio de estados:
$$\begin{gathered} \dot{X}=unax+BU\_ \\ Y=CX\_+DU\_\_ \end{gathered}$$

2. La entrada del sistema [no contiene] la partida derivada

Es decir, el lado derecho de la fórmula (1) solo contiene $u$，式(1)变为：
$$y^{\left(n\right)}+a_{norte-}{y}^{(norte-1)}+a_{norte-}{y}^{(norte-2)}+\cdots +a_{}y+a_{}y+a_{}y=b_{}tu\text{\hspace{1em}( 2 )}$$ En este momento, la cantidad de estado se selecciona como:
{ x ˙ 1 = x 2 x ˙ 2 = x 3 ⋮ x ˙ n − 1 = xnx ˙ n = − a 0 x 1 − a 1 x 2 − ⋯ − an − 1 xn + b 0 uy = x 1 \begin{cases} \dot x_1 = x_2 \\ \dot x_2 = x_3 \\ \vdots \\ \dot x_{n-1} = x_n \\ \dot x_n = -a_0 x_1 - a_1 x_2 - \cdots - a_{n-1} x_n + b_0 u \\ y = x_1 \end{cases}⎩ ⎨ ⎧X˙1=X2X˙2=X3⋮X˙norte − 1=XnorteX˙norte=− un0X1−a1X2−⋯−anorte − 1Xnorte+b0tuy=X1​Dado el infinitesimal:
$$A=\left[\begin{array}{ccccc}0& 1& 0& \cdots & 0\\ 0& 0& 1& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & 1\\ -{un}_{}& -{un}_{}& -{un}_{}& & -{un}_{norte-}\end{array}\right]$$$$B=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ ⋮\\ 0\\ b_{}\end{array}\right],C=\left[\begin{array}{cccc}& & & \end{array}\right],D=0\text{\hspace{1em}( 3 )}$$

3. [Contiene] el elemento derivado en la entrada del sistema.

En este caso, la ecuación diferencial del sistema tiene la forma de fórmula (1):
$$\begin{gathered} y^{\left(n\right)}+a_{norte-}{y}^{(norte-1)}+a_{norte-}{y}^{(norte-2)}+\cdots +a_{}y+a_{}y+a_{}y= \\ {b}_{}{tu}^{\left(n\right)}+b_{norte-}{tu}^{(norte-1)}+\cdots +b_{}\dot{tu}+b_{}tu\text{\hspace{1em}( 1 )} \end{gathered}$$此时状态量选择为：
{ x ˙ 1 = x 2 + h 1 ux ˙ 2 = x 3 + h 2 u ⋮ x ˙ n − 1 = xn + hn − 1 ux ˙ n = − a 0 x 1 − a 1 x 2 − ⋯ − an − 1 xn + hnuy = x 1 + h 0 u \begin{cases} \dot x_1 = x_2 + h_1 u \\ \dot x_2 = x_3 + h_2 u \\ \vdots \ \ \dot x_{n-1} = x_n + h_{n-1} u \\ \dot x_n = -a_0 x_1 - a_1 x_2 - \cdots - a_{n-1} x_n + h_n u \\ y = x_1 + h_0 u \end{casos}⎩ ⎨ ⎧X˙1=X2+h1tuX˙2=X3+h2tu⋮X˙norte − 1=Xnorte+hnorte − 1tuX˙norte=− un0X1−a1X2−⋯−anorte − 1Xnorte+hnortetuy=X1+h0tudonde el nuevo parámetro $h_{}$为：
$$\begin{gathered} h_{}=b_{} \\ {h}_{}=b_{norte-}-\sum _{j=1}{a}_{norte-}{h}_{yo-}\text{\hspace{1em}( 4 )} \end{gathered}$$ Especifica la ecuación:
$$A=\left[\begin{array}{ccccc}0& 1& 0& \cdots & 0\\ 0& 0& 1& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & 1\\ -{un}_{}& -{un}_{}& -{un}_{}& & -{un}_{norte-}\end{array}\right]$$$$B=\left[\begin{array}{c}{h}_{}\\ h_{}\\ ⋮\\ h_{norte-}\\ h_{}\end{array}\right],C=\left[\begin{array}{cccc}& & & \end{array}\right],D=h_{}\text{\hspace{1em}( 5 )}$$ Matriz visible$A$ es el mismo que en la fórmula (3).

4. La entrada del sistema [contiene] término derivado, pero $b_{}=0$

En este momento, el lado derecho de la ecuación diferencial (1) del sistema comienza desde $b_{norte-}{tu}^{(n-1)}$开始：
$$\begin{gathered} y^{\left(n\right)}+a_{norte-}{y}^{(norte-1)}+a_{norte-}{y}^{(norte-2)}+\cdots +a_{}y+a_{}y+a_{}y= \\ {b}_{norte-}{tu}^{(norte-1)}+\cdots +b_{}\dot{tu}+b_{}tu\text{\hspace{1em}( 1 )} \end{gathered}$$ Sustituir la fórmula (4) es fácil de saber,$h_{}=0$ , entonces se puede seleccionar un nuevo conjunto de variables de estado de acuerdo con las siguientes reglas:
{ x ˙ 1 = − a 0 xn + b 0 ux ˙ 2 = x 1 − a 1 xn + b 1 u ⋮ x ˙ n − 1 = xn − 2 − an − 2 xn + bn − 2 ux ˙ n = xn − 1 − an − 1 xn + bn − 1 uy = xn \begin{cases} \dot x_1 = -a_0 x_n + b_0 u \\ \ punto x_2 = x_1 - a_1 x_n + b_1 u \\ \vdots \\ \dot x_{n-1} = x_{n-2} - a_{n-2} x_n + b_{n-2} u \\ \ punto x_n = x_{n-1} - a_{n-1} x_n + b_{n-1} u \\ y = x_n \end{cases}⎩ ⎨ ⎧X˙1=− un0Xnorte+b0tuX˙2=X1−a1Xnorte+b1tu⋮X˙norte − 1=Xnorte − 2−anorte − 2Xnorte+bnorte − 2tuX˙norte=Xnorte − 1−anorte − 1Xnorte+bnorte − 1tuy=Xnorte​Da la función infinitesimal:
$$A=\left[\begin{array}{ccccc}0& 0& \cdots & 0& -{un}_{}\\ 1& 0& \cdots & 0& -{un}_{}\\ 0& 1& \cdots & 0& -{un}_{}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ & & & & -{un}_{norte-}\end{array}\right]$$$$B=\left[\begin{array}{c}{b}_{}\\ b_{}\\ ⋮\\ b_{norte-}\end{array}\right],C=\left[\begin{array}{cccc}& & & \end{array}\right],D=0\text{\hspace{1em}( 6 )}$$

5. Tipo estándar controlable

En este caso, la ecuación diferencial del sistema tiene la forma de fórmula (1):
$$\begin{gathered} y^{\left(n\right)}+a_{norte-}{y}^{(norte-1)}+a_{norte-}{y}^{(norte-2)}+\cdots +a_{}y+a_{}y+a_{}y= \\ {b}_{}{tu}^{\left(n\right)}+b_{norte-}{tu}^{(norte-1)}+\cdots +b_{}\dot{tu}+b_{}tu\text{\hspace{1em}( 1 )} \end{gathered}$$此时状态量选择为：
{ x ˙ 1 = x 2 x ˙ 2 = x 3 ⋮ x ˙ n = − a 0 x 1 − a 1 x 2 − ⋯ − an − 1 xn + uy = − β 0 x 1 − β 1 x 2 − ⋯ − β n − 1 xn \begin{cases} \dot x_1 = x_2 \\ \dot x_2 = x_3 \\ \vdots \\ \dot x_n = -a_0 x_1 - a_1 x_2 - \cdots - a_{n-1} x_n + u \\ y = -\beta_0 x_1 - \beta_1 x_2 - \cdots - \beta_{n-1} x_n \end{cases}⎩ ⎨ ⎧X˙1=X2X˙2=X3⋮X˙norte=− un0X1−a1X2−⋯−anorte − 1Xnorte+tuy=− segundo0X1−b1X2−⋯−bnorte − 1Xnorte​donde el nuevo parámetro $b_{}$为：
{ β 0 = b 0 − a 0 bn β 1 = b 1 − a 1 bn ⋮ β i = bi − aibn ⋮ β n − 2 = bn − 2 − an − 2 bn β n − 1 = bn − 1 − an − 1 bn (7) \begin{casos} \beta_0 = b_0 - a_0 b_n \\ \beta_1 = b_1 - a_1 b_n \\ \vdots \\ \beta_i = b_i - a_i b_n \\ \vdots \\ \beta_ {n-2} = b_{n-2} - a_{n-2} b_n \\ \beta_{n-1} = b_{n-1} - a_{n-1} b_n \end{cases} \ etiqueta {7}⎩ ⎨ ⎧b0=b0−a0bnorteb1=b1−a1bnorte⋮byo=byo−ayobnorte⋮bnorte − 2=bnorte − 2−anorte − 2bnortebnorte − 1=bnorte − 1−anorte − 1bnorte​( 7 ) Observe el infinitesimal:
$$A=\left[\begin{array}{ccccc}0& 1& 0& \cdots & 0\\ 0& 0& 1& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & 1\\ -{un}_{}& -{un}_{}& -{un}_{}& & -{un}_{norte-}\end{array}\right]$$$$B=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ ⋮\\ 0\\ \end{array}\right],C=\left[\begin{array}{cccc}{b}_{}& b_{}& & b_{norte-}\end{array}\right],D=0\text{\hspace{1em}( 8 )}$$

6. Estándar considerable

La forma canónica observable es la transpuesta de la forma canónica controlable:
$$A_{}={A_{}}^T,B_{}={C_{}}^T,C_{}={B_{}}^T$$ donde los subíndices$c,o$ denotan matrices controlables y observables, respectivamente. Esto da:
$$A=\left[\begin{array}{ccccc}0& 0& \cdots & 0& -{un}_{}\\ 1& 0& \cdots & 0& -{un}_{}\\ 0& 1& \cdots & 0& -{un}_{}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ & & & & -{un}_{norte-}\end{array}\right]$$$$B=\left[\begin{array}{c}{b}_{}\\ b_{}\\ b_{}\\ ⋮\\ b_{norte-}\end{array}\right],C=\left[\begin{array}{cccc}& & & \end{array}\right],D=0\text{\hspace{1em}( 9 )}$$

7. El tipo equivalente de la ecuación característica de la función de transferencia [cuando no hay raíz repetida]

Nota: ¡Este tipo sólo se puede utilizar cuando la ecuación característica de la función de transferencia no tiene raíces repetidas!

Según los diferentes métodos de selección de las variables de estado, generalmente existen dos expresiones del tipo equivalente.

A partir de la fórmula (1), la relación de la función de transferencia en el plano complejo se puede escribir:
$$W\left(s\right)=\frac{b_{}{s}^{norte}+b_{norte-}{s}^{norte-1}+\cdots +b_{}s+b_{}}{s^{norte}+a_{norte-}{s}^{norte-1}+\cdots +a_{}s+a_{}}=\frac{norte(s}{D\left(s\right)}$$donde $D\left(s\right)=0$ es la ecuación característica de la función de transferencia y su raíz característica es${yo}_{}$. Entonces el denominador se puede escribir como:
$$D\left(s\right)=\left(s-{yo}_{}\right)\left(s-{yo}_{}\right)\cdots \left(s-{yo}_{}\right)$$此时传递函数即:
$$W\left(s\right)=\frac{norte(s}{D\left(s\right)}=\frac{b_{}{s}^{norte}+b_{norte-}{s}^{norte-1}+\cdots +b_{}s+b_{}}{\left(s-{yo}_{}\right)\left(s-{yo}_{}\right)\cdots \left(s-{yo}_{}\right)}$$展开即得：
$$W\left(s\right)=\frac{norte(s}{D\left(s\right)}=\frac{Y(s)}{U\left(s\right)}=\sum _{yo=1}\frac{C_{}}{s-{yo}_{}}\text{\hspace{1em}( 10 )}$$ ci$C_{}$es la función de transferencia $W\left(s\right)$ en el polo${yo}_{}$处的留数：
$$C_{}=\left(s-{yo}_{}\right)W\left(s\right){|}_{s={\lambda }_{}}\text{\hspace{1em}( 11 )}$$从而
$$Y(s)=\sum _{yo=1}\frac{C_{}}{s-{yo}_{}}U\left(s\right)$$

7.1 Tipo I

El cambio de diseño es
$$X_{}\left(s\right)=\frac{}{s-{yo}_{}}U\left(s\right)$$则有
{ x ˙ 1 = λ 1 x 1 + ux ˙ 2 = λ 2 x 2 + u ⋮ x ˙ n = λ nxn + uy = c 1 x 1 + c 2 x 2 + ⋯ + cnxn \ comenzar{casos} \dot x_1 = \lambda_1 x_1 + u \\ \dot x_2 = \lambda_2 x_2 + u \\ \vdots \\ \dot x_n = \lambda_n x_n + u \\ y = c_1 x_1 + c_2 x_2 + \ cdots + c_n x_n \end{casos}⎩ ⎨ ⎧X˙1=yo1X1+tuX˙2=yo2X2+tu⋮X˙norte=yonorteXnorte+tuy=C1X1+C2X2+⋯+CnorteXnorte​Especifique el valor límite:
$$A=\left[\begin{array}{ccccc}{yo}_{}& & & & \\ & {yo}_{}& & & \\ & & \ddots & & \\ & & & {yo}_{norte-}& \\ & & & & {yo}_{}\end{array}\right]$$$$B=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ ⋮\\ 1\\ \end{array}\right],C=\left[\begin{array}{cccc}{C}_{}& C_{}& & C_{}\end{array}\right],D=0\text{\hspace{1em}( 12 )}$$ donde$A$ esuna matriz diagonal y los elementos de la diagonal principal son todos raíces características${yo}_{}$, mientras que el resto de elementos son todos 0 .

7.2 Tipo II

El cambio de diseño es
$$X_{}\left(s\right)=\frac{C_{}}{s-{yo}_{}}U\left(s\right)$$ en comparación con el primer tipo,$X_{}El\; numerador\; de\; (s)$ ya no es 1 sino$C_{}$。则有
{ x ˙ 1 = λ 1 x 1 + c 1 ux ˙ 2 = λ 2 x 2 + c 2 u ⋮ x ˙ n = λ nxn + cnuy = x 1 + x 2 + ⋯ + xn \begin{casos } \dot x_1 = \lambda_1 x_1 + c_1 u \\ \dot x_2 = \lambda_2 x_2 + c_2 u \\ \vdots \\ \dot x_n = \lambda_n x_n + c_n u \\ y = x_1 + x_2 + \cdots + x_n \end{casos}⎩ ⎨ ⎧X˙1=yo1X1+C1tuX˙2=yo2X2+C2tu⋮X˙norte=yonorteXnorte+Cnortetuy=X1+X2+⋯+Xnorte​Especifique el valor límite:
$$A=\left[\begin{array}{ccccc}{yo}_{}& & & & \\ & {yo}_{}& & & \\ & & \ddots & & \\ & & & {yo}_{norte-}& \\ & & & & {yo}_{}\end{array}\right]$$$$B=\left[\begin{array}{c}{C}_{}\\ C_{}\\ ⋮\\ C_{norte-}\\ C_{}\end{array}\right],C=\left[\begin{array}{cccc}& & & \end{array}\right],D=0\text{\hspace{1em}( 13 )}$$ donde$A$ es una matriz diagonal, igual que la del primer tipo.

8. El tipo equivalente de ecuación característica de la función de transferencia [cuando hay múltiples raíces]

Aquí tomamos como ejemplo una ecuación característica con una raíz triple. Sea la ecuación característica en este momento
$$D\left(s\right)={\left(s-{yo}_{}\right)}^3\left(s-{yo}_{}\right)\cdots \left(s-{yo}_{}\right)$$ donde${yo}_{}$es un polo real triple, y el restante ${yo}_{}(yo\ne 1)$ es un polo real simple. Entonces la función de transferencia se puede descomponer en:
$$W\left(s\right)=\frac{norte(s}{D\left(s\right)}=\frac{Y(s)}{U\left(s\right)}=\frac{C_{}}{{\left(s-{yo}_{}\right)}^3}+\frac{C_{}}{{\left(s-{yo}_{}\right)}^2}+\frac{C_{}}{\left(s-{yo}_{}\right)}+\sum _{yo=4}\frac{C_{}}{s-{yo}_{}}\text{\hspace{1em}( 14 )}$$ El método de selección de la variable de estado es el mismo que el del primer tipo y el del segundo tipo. La matriz del espacio de estados en este momento es:
$$A=\left[\begin{array}{cccccc}{yo}_{}& 1& & & & \\ & {yo}_{}& 1& & 0& \\ & & {yo}_{}& & & \\ & & & {yo}_{}& & \\ & 0& & & \ddots & \\ & & & & & {yo}_{}\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\\ 1\\ ⋮\\ \end{array}\right]$$$$C=\left[\begin{array}{cccccc}{C}_{}& C_{}& C_{}& C_{}& & C_{}\end{array}\right],D=0\text{\hspace{1em}( 15 )}$$ Especifique las ecuaciones:
$$A=\left[\begin{array}{cccccc}{yo}_{}& & & & & \\ 1& {yo}_{}& & & 0& \\ & 1& {yo}_{}& & & \\ & & & {yo}_{}& & \\ & 0& & & \ddots & \\ & & & & & {yo}_{}\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{c}{C}_{}\\ C_{}\\ C_{}\\ C_{}\\ ⋮\\ C_{}\end{array}\right]$$$$C=\left[\begin{array}{cccccc}& & & & & \end{array}\right],D=0\text{\hspace{1em}( 16 )}$$ Conviene explicar que, en las fórmulas (15) y (16),$A$ ya no es una matriz diagonal completa, debido a la raíz repetida${yo}_{}$La existencia de , ${yo}_{}$在A{\bmA}Hay unsubbloque$correspondiente\; en\; A$ , y su interior es una matriz con 1 en el triángulo superior o en el triángulo inferior (como$subbloque\; en\; la\; esquina\; superior\; izquierda\; de\; A$ ). Además, en B o C, los subbloques correspondientes también tienen sus restos. $A$、$segundo$、C {\ bm C}El orden de los subbloques en$C$${yo}_{}$tienen la misma multiplicidad, como en este ejemplo ${yo}_{}$es una raíz triple, entonces A {\bm A}El subbloque en la esquina superior izquierda$de\; A$$segundo$、C {\ bm C}Los subbloques en$C\; también\; son\; de\; tercer\; orden.$En este artículo, los subbloques están separados por líneas finas para una fácil identificación.

9. Ejemplos

9.1 Partida derivada [No incluida] en la entrada del sistema

Sea la ecuación diferencial del sistema
$$y^{\left(3\right)}+2y+5y+2años=2ves$$ n$norte=3$ , entonces sus coeficientes se pueden escribir inmediatamente:$a_{}=2,a_{}=5,a_{}=2,a_{}=1;b_{}=2$。Ver (3):
$$A=\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ -& -& -\end{array}\right]$$$$B=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ b_{}\end{array}\right],C=\left[\begin{array}{ccc}& & \end{array}\right],D=0$$

9.2 [contiene] elementos derivados en la entrada del sistema

Sea la ecuación diferencial del sistema
$$y^{\left(3\right)}+2y+5y+2años=2\ddot{tu}+3\dot{tu}+puedes$$ ver$norte=3$ , entonces sus coeficientes se pueden escribir inmediatamente:$a_{}=2,a_{}=5,a_{}=2,a_{}=1;b_{}=1,b_{}=3,b_{}=2,b_{}=0$ . Sustituyendo en la fórmula (4) primero calcule$h_{}$:
$$\begin{gathered} h_{}=b_{norte-}-\sum _{j=1}{a}_{norte-}{h}_{yo-}⟹ \\ {h}_{}=b_{}=b_{}=0, \\ {h}_{}=b_{3-1\_}-\sum _{j=1}{a}_{3-}{h}_{1-}=b_{}-a_{}{h}_{}=2, \\ {h}_{}=b_{3-2\_}-\sum _{j=1}{a}_{3-}{h}_{2-}=b_{}-a_{}{h}_{}-a_{}{h}_{}=3-2\times 2=-1 \\ {h}_{}=b_{3-3\_}-\sum _{j=1}{a}_{3-}{h}_{3-}=b_{}-a_{}{h}_{}-a_{}{h}_{}-a_{}{h}_{}=1+2\times 1-5\times 2=-7 \end{gathered}$$ Sustituyendo en la fórmula (5):
su matriz de espacio de estados es:
$$A=\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ -& -& -\end{array}\right]$$$$B=\left[\begin{array}{c}{h}_{}\\ h_{}\\ h_{}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}2\\ -1\\ -\end{array}\right],C=\left[\begin{array}{cccc}& & & \end{array}\right],D=h_{}=0$$

9.3 La entrada del sistema [contiene] término derivado, pero $b_{}=0$

Aún tomando la ecuación diferencial de 9.3 como ejemplo, observe que $b_{}=b_{}=0$ . Luego se puede sustituir en la fórmula (6):
$$A=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& -2\\ 1& 0& -5\\ & & -\end{array}\right]$$$$B=\left[\begin{array}{c}{b}_{}\\ b_{}\\ ⋮\\ b_{norte-}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\\ 3\\ \end{array}\right],C=\left[\begin{array}{cccc}& & & \end{array}\right],D=0\text{\hspace{1em}( 6 )}$$

9.4 Tipo estándar controlable

Sea la ecuación diferencial del sistema:
$$y^{\left(3\right)}+2y+3y+3años=2y^{\left(3\right)}+\ddot{tu}+3\dot{tu}+4puedes$$ ver$norte=3,a_{}=3,a_{}=3,a_{}=2,a_{}=1;b_{}=4,b_{}=3,b_{}=1,b_{}=2$ . Sustituyendo la fórmula (7) para calcular el parámetro$b_{}$：
{ β 0 = b 0 − a 0 bn = 4 − 3 × 2 = − 2 , β 1 = b 1 − a 1 bn = 3 − 3 × 2 = − 3 , β 2 = b 2 − a 2 bn = 1 − 2 × 2 = − 3 (7) \begin{casos} \beta_0 = b_0 - a_0 b_n = 4 - 3 \times 2 = -2, \\ \beta_1 = b_1 - a_1 b_n = 3 - 3 \times 2 = -3, \\ \beta_2 = b_2 - a_2 b_n = 1 - 2 \times 2 = -3 \end{cases} \tag{7}⎩ ⎨ ⎧b0=b0−a0bnorte=4−3×2=− 2 ,b1=b1−a1bnorte=3−3×2=− 3 ,b2=b2−a2bnorte=1−2×2=− 3( 7 ) Sustituya en la fórmula (8) para obtener:
$$A=\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ -& -& -\end{array}\right]$$$$B=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ \end{array}\right],C=\left[\begin{array}{ccc}-& -& -\end{array}\right],D=0\text{\hspace{1em}( 8 )}$$

9.5 Forma estándar considerable

Dado que la forma canónica observable es la transpuesta de la forma canónica controlable, podemos escribir inmediatamente:
$$A=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& -3\\ 1& 0& -3\\ & & -\end{array}\right]$$$$B=\left[\begin{array}{c}-2\\ -3\\ -\end{array}\right],C=\left[\begin{array}{ccc}& & \end{array}\right],D=0\text{\hspace{1em}( 8 )}$$