Homomorfismo del teorema chino del resto (homomorfismo de la transformación CRT)

1. Introducción al teorema del resto chino (CRT)

El teorema del resto chino trata sobre el método para resolver un sistema de ecuaciones de congruencia lineal en una variable. La descripción formal es: $m_1,m_2,m_n$ son n enteros primos por pares y tienen las siguientes ecuaciones de congruencia:
$\left \{ \begin{array}{lr} x\equiv a_1 \mod m_1& \\ x \equiv a_2 \mod m_2\\ ... \\ x\equiv a_n \mod m_n & \end {array} \right. ( m_1,m_2,\cdots,m_n) primo por pares$
Ahora define $M=\prod_{i=1}^{n}m_i$ ， $mim^\prime_i=\frac{M}{m_i}$ , obviamente $M_i$ 是整数。
令 $t_im^\prime_i\equiv 1 \mod m_i$
Entonces la solución del sistema de ecuaciones de congruencia es
$x\equiv \sum_{i=1}^{n} a_it_im^\prime_i \mod M$

Aquí están algunos ejemplos:

a es [0, 2, 4, 0]
m es [5, 7, 9, 11]
$m^\prime$ es [693, 495, 385, 315]
t es [2, 3, 4, 8]

a es [1, 5, 5]
m es [5, 7, 9]
$m^\prime$ es [63, 45, 35]
t es [2,5, 8]

a es [2, 5, 7, 18]
m es [5, 7, 11, 19]
$m^\prime$ es [1463, 1045, 665, 385]
t es [2 4 9 4]

2. La transformación CRT es homomórfica

La transformada CRT tiene homomorfismos aditivos y multiplicativos.
Suponemos que $\mathbf{m}=[m_1,m_2,\cdots,m_n]$ , cuyos elementos son primos por pares.
Campo $Z_M=[0,1,2,\cdots, M]$ ,其中 $M=\prod_{i=1}^{n}m_i$
Entonces $Z_M$ Los elementos en pueden tener $Z_{m_1} \times Z_{m_2} \times \cdots \times Z_{m_n}$ Los elementos en están representados de forma única.
De $Z_{m_1} \times Z_{m_2} \times \cdots \times Z_{m_n}$ a $Z_M$ La transformación de es la transformación crt, y la dirección opuesta es la transformación icrt.
Usamos un vector para representar $Z_{m_1} \times Z_{m_2} \times \cdots \times Z_{m_n}$ elementos en . El valor de la i-ésima dimensión es módulo $m_i$ de.

令 $\en Z_M$ ， $\mathbf{a}=\mathbf{icrt}(x)$ , $\mathbf{b}=\mathbf{icrt}(y)$
suma

si $\mathbf{c}=\mathbf{a}+\mathbf{b}$ ，其中 $c_i=(a_i+b_i) \mod m_i$

Decimos que el teorema del resto chino tiene homomorfismo aditivo, expresado como:
$\equiv \mathbf{crt}(\mathbf{c}) \mod M$

Prueba:
Desde cuando $\gt 2$ se puede reducir a $norte = 2$ , por lo que lo siguiente solo prueba que $\mathbf{m}=[m_1,m_2]$ situación. ( $k_1,k_2,\cdots$ indica un número entero)

Del teorema del resto chino, sabemos que
$x=a_1t_1m^\prime_1+a_2t_2m^\prime_2 + k_1m_1m_2$ ,
$y=b_1t_1m^\prime_1+a_2t_2m^\prime_2 + k_2m_1m_2$ .

$x+y=(a_1+b_1) t_1m^\prime_1+(a_2+b_2)t_2m^\prime_2 + (k_1+k_2)m_1m_2$

$c_1=a_1+b_1+k_3m_1,c_2=a_2+b_2+k_4m_2$
所以
$\mathbf{crt}(c)=k_3m_1t_1m^\prime_1+ k_4m_2t_2m^\prime_2+x+y+k_5m_1m_2$
Y $m^\prime_1=m_2,m^\prime_2=m_1$
所以 $\mathbf{crt}(c)=(k_3t_1+k_4t_2+k_5)m_1m_2+x+y$
即
$\equiv \mathbf{crt}(\mathbf{c}) \mod M$

La multiplicación
define $\mathbf{d}=x*y$ ，其中 $d_i=x_iy_i \mod m_i$

Entonces el teorema chino del resto tiene un homomorfismo multiplicativo. Expresado como:
$\equiv \mathbf{crt}(\mathbf{d}) \mod M$

Descripción:
$x*y=(a_1t_1m^\prime_1+a_2t_2m^\prime_2 + k_1m_1m_2)(b_1t_1m^\prime_1+a_2t_2m^\prime_2 + k_2m_1m_2)$
m $m_1m_2$ La sustitución múltiple de
$x*y=a_1b_1t_1^2m_1^{\prime2 } +a_2b_2t_2^2m_2^{\prime2}+k_3m_1m_2$
由于 $t_1m_1^\prime\equiv 1 \mod m_1,t_2m_2^\prime \equiv 1 \mod m_2$
有
$x*y=a_1b_1t_1m_1^\prime+a_2b_2t_2m_2^\prime+k_5m_1m_2$
Según la prueba anterior, sabemos que
$\equiv \mathbf{crt}(\mathbf{d}) \mod M$

El siguiente es el código Python de crt y su transformación inversa icrt, que es conveniente para que los lectores lo verifiquen:

import gmpy2
import numpy as np

#the elements in bases should be co-prime
def crt(a,bases):
    bases=np.array(bases,dtype=gmpy2.mpz)
    M=np.prod(bases)
    m_prime=[np.prod(bases[bases!=bases[i]]) for i in range(len(bases))]
    b=[gmpy2.invert(m_prime[i],bases[i]) for i in range(len(bases))]
    res=gmpy2.mpz(0)
    for i in range(len(bases)):
        res=(res+a[i]*b[i]*m_prime[i])%M
    res=np.array(res,dtype=int)
    return res,M

def icrt(r,bases):
    res=[r%bases[i] for i in range(len(bases))]
    return res