Comprensión de matriz hessiana y matriz jacobiana

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Notas personales:

1: fórmula de expansión de Taylor unaria

Ejemplo: f(x) = 3x² + 2x + 5 Expansión de Taylor en x=0 o x=1

Cuando x=0:

Cuando x=1:

No importa cuánto sea igual a Xk, la suma de las fórmulas expandidas finales es igual a f(x) = 3x² + 2x + 5

2: fórmula de expansión binaria de Taylor

Expansión de Taylor de x e y en k:

simplificado:

Simplificación:
①
$F_{xx}^{\prime \prime }$está tomando dos derivadas con respecto a x.

②
$F_{xy}^{\prime \prime }$Es derivar primero con respecto a x y luego derivar con respecto a y.

③
$F_{yx}^{\prime \prime }$Es derivar primero con respecto a y y luego derivar con respecto a x.
(donde ③ = ②)

④
$F_{yy\_}^{\prime \prime }$está tomando la derivada dos veces con respecto a y.

3: matriz hessiana de funciones binarias

Función binaria punto $f(x_{},X_{})$ en$X^{\left(k\right)}(x_1^{(k},X_2^{(k})$ en el desarrollo de Taylor es:

donde $\Delta x{\_}_{}$= $X_{}$− $X_1^{(k}$, $\Delta x{\_}_{}$= $X_{}$− $X_2^{(k}$

Ahora mismo:

(1): donde

es $f\left(X\right)$ en$X^{\left(k\right)}$ Gradiente en el punto.

（2）：$G\left(X^{\left(k\right)}\right)$es$f(x_{},X_{})$ en$X^{}$Matriz de arpilleraen${}^{(}$${}^k$${}^{)}$ . Está dada por la función$f(x_{},X_{})$ en$X^{}$La matriz cuadrada compuesta por las derivadas parciales de segundo orden en${}^{(}$${}^k$${}^{)\; .}$

4: Matriz hessiana de funciones multivariadas

1: Función multivariada $f(x_{},X_{},...,X_{})$ en el punto$X^{}$La expansión de Taylor en${}^{(}$${}^k$${}^{)}$
es: Escriba la expansión de Taylor (Taylor) en forma de matriz:
donde:

es$f\left(X\right)$ en$X^{\left(k\right)}$ Gradiente en el punto.
(2):$G\left(X^{\left(k\right)}\right)$es$f(x_{},X_{},...,X_{})$ en$X^{}$Matriz de arpilleraen${}^{(}$${}^k$${}^{)}$ . Está dada por la función$f(x_{},X_{},...,X_{})$ en$X^{\left(k\right)}$ compuesta de derivadas parciales de segundo orden$norte\ast Matriz\; cuadrada\; de\; orden\; n$ .

2:

Por ejemplo:

5: Matriz jacobiana de funciones multivariadas (matriz jacobiana)

1. Resumen
Supongamos $f$ :$R^{norte}$ →$R^m$ es una función cuya entrada es un vector$X\in R^n$ , la salida es el vector$y=f\left(x\right)\in R^m$ , y$metro\ge n$ es un estilo europeo$Convertir\; espacio\; n-$ dimensional a mmeuclidiano$La\; función\; del\; espacio\; dimensional\; m$ , esta función está determinada por$Compuesto\; por\; m$ funciones reales:$F_{}(X_{},\dots ,X_{})$ ,…,$F_{}(X_{},\dots ,X_{})$ Las derivadas parciales de estas funciones (si existen) se pueden componer en$La\; matriz\; de\; m\ast n$ , esta es la llamada matriz jacobiana:

Entonces la matriz jacobiana es una $metro\times n$ matriz, generalmente definida como

2: Ejemplo
Veamos un proceso de ajuste de datos real, entrada:
variable independiente: $X=$ {$1,2,4,5,8$ }
Variable dependiente:$y=$ {$3.2939,4.2699,7.1749,9\_3008,20.259$ }

Objetivo: Usar la función $F={pag}_{}*mi{}^{{pag}_{}\ast x}-y$para ajuste, donde la variable independiente$x$ , variable dependiente$y$ , parámetro${pag}_{}$y ${pag}_{}$, para parámetro ${pag}_{}$y ${pag}_{}$Toma la derivada:

${mi}^{p\ast x}$ contra$p$ se deriva:$X\ast {mi}^{pag\ast x}$

Descripción de la matriz jacobiana:

Jacobian矩阵 =

[   exp(p2),     p1*exp(p2)]
[ exp(2*p2), 2*p1*exp(2*p2)]
[ exp(4*p2), 4*p1*exp(4*p2)]
[ exp(5*p2), 5*p1*exp(5*p2)]
[ exp(8*p2), 8*p1*exp(8*p2)]

Ahora mismo:

referencias

matriz Hessiana

Matrices hessianas y jacobianas

Matriz jacobiana 1

Matriz jacobiana 2
Matriz jacobiana Comprensión intuitiva de imágenes