método uno
En matemáticas avanzadas, podemos usar derivadas para encontrar la longitud del arco de una curva sin usar ecuaciones paramétricas. Este método se conoce como diferenciación de longitud de arco.
Supongamos que hay una curva cuya ecuación es y = f(x) , y queremos la longitud del arco entre dos puntos A(x1, y1) y B(x2, y2) en la curva.
Primero, denotamos dos puntos A y B en la curva como x1 y x2 respectivamente, y luego calculamos la diferencia de longitud de arco ds de la curva entre estos dos puntos.
De acuerdo con el teorema de Pitágoras, podemos obtener la expresión de ds:
ds = √(dx^2 + dy^2)
donde dx = x2 - x1, dy = f(x2) - f(x1).
Entonces podemos usar la definición de la derivada para aproximar dy.
dy = f'(x) * dx
Sustituyendo la expresión de dy en la expresión de ds se obtiene:
ds = √(dx^2 + (f'(x) * dx)^2)
Simplificando aún más, obtenemos:
ds = √(1 + (f'(x))^2) * dx
Ahora, podemos integrar ds para calcular la longitud del arco en la curva. Para cualquier punto x en la curva, podemos expresar la longitud del arco como:
L = ∫[x1,x2] √(1 + (f'(x))^2) dx (Solo mira esta fórmula)
Resolviendo esta integral, podemos encontrar la longitud del arco L entre dos puntos A y B en la curva.
Cabe señalar que este método solo es aplicable al caso en el que la curva es continuamente diferenciable. Si hay discontinuidades o puntos no diferenciables en la curva, debemos considerar otras formas de calcular la longitud del arco.
Método dos
En matemáticas avanzadas, podemos usar derivadas para encontrar la longitud del arco de una curva. Los pasos específicos son los siguientes:
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Supongamos que hay una curva, que se puede expresar como una ecuación paramétrica : x = f(t), y = g(t), donde t pertenece a cierto intervalo.
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Primero encontramos el vector tangente a la curva: r'(t) = (f'(t), g'(t)).
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Calcular el módulo del vector tangente: |r'(t)| = sqrt((f'(t))^2 + (g'(t))^2).
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Defina la función de longitud de arco: s(t) = ∫[a, t] |r'(t)| dt , donde a es el valor del parámetro en un punto de la curva.
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Derivando la función de longitud de arco s(t), se puede obtener la derivada de la función de longitud de arco de la curva: ds/dt = |r'(t)|.
A través de los pasos anteriores, podemos usar la derivada para encontrar la derivada de la función de longitud de arco de la curva, para encontrar la longitud de arco de la curva.