Conocimientos previos: fórmula de Newton-Leibniz
Paridad
establecer fff在[ − a , a ] ( a > 0 ) [-a,a](a>0)[ - un ,un ] ( un>0 ) , entonces
∫ − aaf ( x ) dx = { 2 ∫ 0 af ( x ) dx , f es una función par 0 , f es una función impar\int_{-a}^af(x)dx=\begin{cases} 2\ int_0^ af(x)dx,\qquad f es una función par\\ 0,\qquad\qquad\qquad \ \ f es una función impar\end{cases}∫− ununf ( x ) re x={ 2∫0unf ( x ) re x ,f es una función par0 , f es una función
Prueba: Para ∫ − a 0 f ( x ) dx \int_{-a}^0f(x)dx∫− un0f ( x ) re x，令x = − tx=-tX=− t , entonces
∫ - un 0 f ( x ) dx = ∫ un 0 f ( - t ) re ( - t ) = - ∫ un 0 f ( - t ) dt = ∫ 0 af ( - t ) dt = ∫ 0 af ( - x ) dx \int_{-a}^0f(x)dx=\int_a^0f(-t)d(-t)=-\int_a^0f(-t)dt=\int_0^af(-t)dt= \int_0^af(-x)dx∫− un0f ( x ) re x=∫a0F ( - t ) re ( - t )=−∫a0f ( - t ) re t=∫0unf ( - t ) re t=∫0unf ( - x ) re x
\qquad所以原式= ∫ 0 af ( x ) dx + ∫ − a 0 f ( x ) dx = ∫ 0 af ( x ) dx + ∫ 0 af ( − x ) dx =\int_0^af(x)dx+\int_{ -a}^0f(x)dx=\int_0^af(x)dx+\int_0^af(-x)dx=∫0unf ( x ) re x+∫− un0f ( x ) re x=∫0unf ( x ) re x+∫0unf ( - x ) re x
= ∫ 0 una [ F ( X ) + F ( − X ) ] dx \qquad\qquad\qquad =\int_0^a[f(x)+f(-x)]dx=∫0un[ f ( x )+f ( - x )] re x
= { 2 ∫ 0 af ( x ) dx , f es una función par 0 , f es una función impar\qquad\qquad\qquad =\begin{cases} 2\int_0^af(x)dx,\qquad f es una función par\ \ 0,\qquad\qquad\qquad \ \ f es una función impar \end{casos}={ 2∫0unf ( x ) re x ,f es una función par0 , f es una función
periódicamente
establecer fff esttT es una función continua periódica, entonces para cualquier número realaaa , ambos tienen
∫ aa + T f ( x ) dx = ∫ 0 T f ( x ) dx \int_a^{a+T}f(x)dx=\int_0^Tf(x)dx∫aa + tf ( x ) re x=∫0Tf ( x ) re x
证明：
∫ aa + T f ( x ) dx = ∫ a 0 f ( x ) dx + ∫ 0 T f ( x ) dx + ∫ T a + T f ( x ) dx \int_a^{a+T}f( x)dx=\int_a^0f(x)dx+\int_0^Tf(x)dx+\int_T^{a+T}f(x)dx∫aa + tf ( x ) re x=∫a0f ( x ) re x+∫0Tf ( x ) re x+∫Ta + tf ( x ) re x
\qquadSea x = t + T x = t + TX=t+entonces _
∫ T a + T f ( x ) dx = ∫ 0 af ( t + T ) dt = ∫ 0 af ( t ) dt \int_T^{a+T}f(x)dx=\int_0^af(t+T )dt=\int_0^af(t)dt∫Ta + tf ( x ) re x=∫0unf ( t+T ) re t=∫0unf ( t ) re t
\qquadentonces
∫ aa + T f ( x ) dx = ∫ a 0 f ( x ) dx + ∫ 0 T f ( x ) dx + ∫ T a + T f ( x ) dx \qquad\int_a^{a+T}f( x)dx=\int_a^0f(x)dx+\int_0^Tf(x)dx+\int_T^{a+T}f(x)dx∫aa + tf ( x ) re x=∫a0f ( x ) re x+∫0Tf ( x ) re x+∫Ta + tf ( x ) re x
= ∫ un 0 f ( x ) dx + ∫ 0 T f ( x ) dx + ∫ 0 af ( x ) dx \qquad\qquad\qquad\qquad =\int_a^0f(x)dx+\int_0^Tf(x) dx+\int_0^af(x)dx=∫a0f ( x ) re x+∫0Tf ( x ) re x+∫0unf ( x ) re x
= ∫ 0 T f ( x ) dx \qquad\qquad\qquad\qquad =\int_0^Tf(x)dx=∫0Tf ( x ) re x