conocimiento previo
introducir
De acuerdo con el concepto de integral definida, podemos obtener
∫ abf ( x ) dx = lim norte → + ∞ 1 norte ∑ yo = 1 nf ( un + segundo − ani ) \int_a^bf(x)dx=\lim\limits_{n\to +\infty}\dfrac 1n\sum\limits_{i=1}^{n}f(a+\dfrac{ba}{n}i)∫asegundof ( x ) re x=norte → + ∞límitenorte1yo = 1∑nf ( un+norteb−unyo )
Entonces, para partes de la forma
lim norte → + ∞ 1 norte ∑ yo = 1 nai \lim\limits_{n\to +\infty}\dfrac 1n\sum\limits_{i=1}^na_inorte → + ∞límitenorte1yo = 1∑nayo
Este tipo de fórmula se puede obtener por integral definida.
ejemplo
Determinar límite norte → + ∞ ( nn 2 + 1 + nn 2 + 2 2 + ⋯ + nn 2 + n 2 ) \lim\limits_{n\to+\infty}(\dfrac{n}{n^2+1 }+\dfracción}{n^2+2^2}+\cdots+\dfracción}{n^2+n^2})norte → + ∞límite(norte2+1n+norte2+22n+⋯+norte2+norte2n)
Solución:
\qquad原式= lim norte → + ∞ 1 norte ∑ yo = 1 norte 1 1 + (en ) 2 = ∫ 0 1 1 1 + x 2 dx = arctan x ∣ 0 1 = π 4 =\lim\limits_{n \to+\infty}\dfrac 1n\sum\limits_{i=1}^n\dfrac{1}{1+(\frac in)^2}=\int_0^1\dfrac{1}{1+x^ 2}dx=\arctan x\bigg\vert_0^1=\dfrac{\pi}{4}=norte → + ∞límitenorte1yo = 1∑n1+(norteyo)21=∫011+X21d x=arcánX
01=4pag